8.6.1 直线与直线垂直 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练聚焦“直线与直线垂直”，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，以正方体等模型为载体，构建从概念辨析到空间角计算的递进路径，培养几何直观与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|异面直线位置关系、正方体中简单垂直判断|以选择题（1-5）、填空题（9-10）为主，通过长方体模型直观辨析位置关系，夯实空间观念| |提升层|异面直线成角计算、复杂几何体（刍甍）应用|含多选（7-8）及情境题（6），结合翻折展开（11）、中点连线（12），提升空间想象与转化能力| |综合层|垂直证明、体积与角度综合计算|解答题（13-15）融合正方体中异面直线角证明、正三棱柱垂直论证，培养逻辑推理与数学表达能力|

8.6.1　直线与直线垂直（同步训练） 一、选择题 1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(　 ) A.相交　　 B.异面 C.相交或异面　 D.平行 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　) A.45° B.60° C.90° D.120° 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1的所有面对角线中，所在直线与直线A1B互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为(　) A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1D与BC1所成的角为(　 ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果两条直线和没有公共点，那么与的位置关系是(　) A.共面　　　 B.平行 C.异面　 D.平行或异面 6.刍甍，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”形的五面体，其中四边形ABCD为矩形，△ADE和△BCF都是等腰三角形，AE＝ED＝BF＝CF＝AD，EF∥AB，若AB＝3EF，且AD＝2EF，则异面直线AE与CF所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 7.(多选)如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是(　　) A.相交直线 B.异面直线 C.共面直线 D.平行直线 8.(多选)有三条直线，，，下列命题正确的有(　　) A.若∥，∥，则∥ B.若⊥，⊥，则∥ C.若∥c，⊥，则⊥ D.若与，与都是异面直线，则与也是异面直线 二、填空题 9.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________ 10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有________条． 11.如图所示的是正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有__________对． 12.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________ 三、解答题 13.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小． 14.如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB＝BB′＝2，求证：BD⊥AC′． 15.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点． (1)求三棱锥E－DFC的体积；(2)求异面直线A1E与D1F所成的角的余弦值． 参考答案及解析： 一、选择题 1.C 解析：如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与AD相交，与BC异面． 2.B 解析：连接A1B，BC1．∵E，F，G，H分别是AA1，AB，BB1，B1C1的中点，∴A1B∥EF，BC1∥GH．∴A1B和BC1所成的角为异面直线EF与GH所成的角．连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°． 3.B 解析：如图，易知△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°，又AC∥A1C1，所以异面直线AC与A1B的夹角为60°，符合题设．同理，面对角线B1C，B1D1，AD1也满足题意，所以满足条件的面对角线共4条．故选B． 4.D 解析：如图，连接B1C，设B1C∩BC1于点O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥CD，A1B1＝CD，故四边形A1B1CD是平行四边形，所以B1C∥A1D，则∠BOC(或其补角)即为异面直线A1D与BC1所成的角，因为BCC1B1为正方形，故∠BOC＝90°，所以异面直线A1D与BC1所成的角为90°．故选D． 5.D 解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D． 6.C 解析：如图，设EF＝1，在AB上取点G满足AG＝EF＝1，故AG∥EF且AG＝EF，故四边形AGFE是平行四边形，故AE∥GF，异面直线AE与CF所成的角为∠GFC(或其补角)，GF＝AE＝CF＝2，CG＝＝＝2，故△GFC为等边三角形，故∠GFC＝．故选C． 7.ABC 解析：由平面几何知识和异面垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，故选ABC． 8.AC 解析：对于A，由基本事实4可知本命题正确；对于B，当⊥，⊥时，，可以垂直，故本命题错误；对于C，根据平行线的性质可以判断本命题正确；对于D，把，，三条线放在长方体的棱上，则与，与都是异面直线，与可以平行，故本命题错误． 二、填空题 9.答案：60° 解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，又因为∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°． 10.答案：8 解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理，△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与AD1也成60°角，则在面对角线中，与AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角． 11.答案：3 解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对． 12.答案：5 解析：如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角．∴∠MPN＝90°.又∵PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5. 三、解答题 13.解：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1， ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)． ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1．∴异面直线DB1与EF所成的角为90°． 14.证明：如图，取CC′的中点E，连接BE，DE． 因为D为AC的中点，所以DE∥ AC′，DE＝AC′ 所以∠BDE(或其补角)就是异面直线BD与AC′所成的角． 因为在正三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝BB′＝2， 所以BD＝×2＝，AC′＝2，BE＝＝，DE＝， 所以BD2＋DE2＝BE2．所以∠BDE＝90°，即BD⊥DE，所以BD⊥AC′． 15.解：(1)∵在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点． ∴点E到平面DFC的距离d＝AD＝2，S△DFC＝×FC×DC＝×1×2＝1． ∴三棱锥E－DFC的体积V＝×S△DFC×d＝×1×2＝． (2)如图，取BB1的中点G，连接A1G，EG，则A1G∥D1F， ∴∠EA1G是异面直线A1E与D1F所成的角(或所成角的补角)． ∵A1G＝＝＝，A1E＝A1G＝，EG＝＝＝， ∴ cos ∠EA1G＝＝＝． ∴异面直线A1E与D1F所成角的余弦值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $