精品解析：2026年湖南省长沙市湖南师大附中多校联考考前模拟数学试题

湖南师大附中2026届初三第三次模拟考试·数学 一．选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列四个实数中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数大小的比较原则计算判断即可． 【详解】∵， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，运用合并同类项，单项式除法，单项式乘多项式，完全平方公式逐个计算选项即可判断． 【详解】解：对选项A：， A错误； 对选项B：， B错误； 对选项C：，和等式右侧一致， C正确； 对选项D：， D错误． 4. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，大约是一根头发丝直径的二十分之一，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 5. 为了解学生的体质健康水平，国家每年都会进行中小学生体质健康测试和抽测复核．在某次抽测复核中，某校九(1)班10名男生引体向上测试的成绩(单位：个)如下：7，11，10，11， 6， 14， 11， 10， 11， 9．这组数据的众数是（ ） A. 11 B. 10.5 C. 10 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：∵在这组数据：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9中，11出现的次数最多，共出现4次， ∴这组数据的众数为11． 6. 一元二次方程的两根之和为p，两根之积为q，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和p和两根之积q，再根据点的横纵坐标的正负判断点所在象限． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵点的横坐标、纵坐标都为正， ∴点位于第一象限． 7. 如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是中中点， ∴， 故选：C． 8. 我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设共有x人，根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”列出方程，即可求解． 【详解】解：设共有x人，则可列方程为 ． 故选：B． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式 B. 数据，，，，的中位数是4 C. “清明时节雨纷纷”是必然事件 D. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，则乙的成绩比甲的稳定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了统计与概率的有关知识，难度不大．利用调查方式的选择、中位数的定义、事件可能性大小判定及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式，故此选项符合题意； B、数据3，5，4，1，2的中位数是3，故此选项不符合题意； C、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故此选项不符合题意； D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差，则甲的成绩比乙的稳定，故此选项不符合题意． 故选：A． 10. 如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据实际数据寻找变量间的函数关系式，解题的关键是先确定不同有机物中碳原子数x与氢原子数y的对应值，再代入选项验证或根据规律推导关系式． 先列出甲烷、乙烷、丙烷、丁烷的原子数）与原子数）对应值：甲烷、乙烷、丙烷、丁烷；再将对应值代入各选项，或根据“每增1个C原子增2个H原子”的规律，推导x与y的关系式，进而判断正确选项． 【详解】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系： 甲烷：时，； 乙烷：时，； 丙烷：时，； 丁烷：时，． A、若，当时，，此选项不符合题意； B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意； C、若，当时，，此选项不符合题意； D、若，当时，，此选项不符合题意． 故选：B． 二．填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解的方法，分别使用提公因式法和公式法即可求解． 【详解】根据因式分解的方法，先提取公因式得，再利用公式法得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 12. 若一个多边形的每一个外角为，则边数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为，计算边数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，该多边形每一个外角为， 因此边数． 13. 已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的解代入原一元二次方程，求出的值，再对所求代数式变形计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， ． 14. 将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数图象求出反比例函数的解析式，令，求解y． 【详解】解：已知氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系， ∴设y与x之间的函数解析式为， 由图象可得函数图象过点， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为． 15. 草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______． (结果含π) 【答案】 【解析】 【分析】先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角，再由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由圆锥母线长、高，得底面半径为， 底面周长为， 扇形弧长公式为， 化简得， 解得， ∴扇形卡纸的圆心角的度数为， ∴面积为：． 16. 推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令 ， 等式两边都乘以x，得 等式两边都减，得 等式两边分别分解因式，得． ③ 等式两边都除以，得． ④ 等式两边都减m，得． ⑤ 所以任意一个实数都等于． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_______． 【答案】④##4 【解析】 【分析】根据等式的性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，据此判断错误步骤即可． 【详解】解：， ， 的两边不能除以， 因此开始出现错误的是第④步． 三．解答题(共8小题，第17、18、19题6分，第20、21题8分，第22、23题9分，第24、25题10分，共72分) 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值和特殊三角函数值计算即可； 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算、零指数幂、绝对值、负整数指数幂和特殊三角函数值，解题的关键是明确它们各自的计算方法． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】, 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则对分式进行化简，然后将代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值， 解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，正确化简分式是解题的关键． 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程，请你根据他的作法证明． 已知：如图1，直线l及直线l外一点 P． 求作：直线，使得． 作法：如图2， ①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点 C，交射线于点 D，分别以点 C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 E，作射线； ③以点P为圆心，为半径作弧，交射线于点Q(不与点A重合)，作直线．所以直线就是所求作的直线． 证明：连接，， 在和中， （ ）（ ） ∴（ ）． ∴． ∵， ∴ （ ）(填推理的依据)． ∴ ． ∴． 【答案】证明：连接，，图形如图所示： 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴（等边对等角）． ∴． ∴． 【解析】 【详解】略 20. 人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：、B：、C：、D：、E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： （1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______°； （2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？ （3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）300，54 （2）约有1750人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的相关知识，用样本估计总体，用树状图以及列表法求概率等知识． （1）结合频数分布直方图和扇形统计图，根据B组人数除以B组的占比，即可求出抽查的学生人数，用乘以“E”组人数的占比即可求出“E”组所对应的圆心角度数． （2）先求出C等级人数，再用总体乘以C等级人数占比即可． （3）列出表格，然后找出总的情况以及恰好抽到一名男生和一名女生的情况，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 随机抽查的学生共有（人）， 扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为， 故答案为：300，54； 【小问2详解】 C等级人数为（人）， （人）， 答：估计等级为C的学生约有1750人； 【小问3详解】 根据题意，列表如下： 女 女 女 男 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 女，女 男，女 男 女，男 女，男 女，男 从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 21. 如图，在海岸线上有B、C两个观测点，B、C之间距离为，海上有一小岛A，在小岛A处分别测得观测点B在小岛A的南偏西方向，观测点C在小岛A的南偏西方向，求小岛A与海岸线的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】小岛到海岸线的距离约为57.1米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用--方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、一元一次方程的解法是解题的关键．先过点A作，垂足为D，设米，根据，然后代值计算即可求出小岛到海岸线的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D， 设米， ∵， ∴， 即， 解得：， 答：小岛到海岸线的距离约为米． 22. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，分别过点B、点C作CO，BO的平行线交于点E，连接AE交BD于点H，交BC于点F． （1）求证：四边形OCEB是矩形； （2）若BF=1，求菱形ABCD的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）12 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质求出∠BOC=90°，根据平行四边形和矩形的判定得出即可； （2）首先证明△BEF∽△CAF得，求出CF的长，再求出BD的长，进而可求出菱形ABCD的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 即∠BOC=90°， ∵CE∥BO，BE∥CO， ∴四边形OCEB是平行四边形， ∴四边形OCEB是矩形； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴ 由（1）知，四边形OCEB是矩形， ∴BE=OC ∴BE= ∵BE//AC ∴∠BEA=∠CAE，∠EBC=∠BCA ∴△BEF∽△CAF ∴ ∵BF=1， ∴CF=2 ∴BC=BF+CF=3 ∴ 菱形ABCD的周长为：3×4=12 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判断和性质、矩形的判断和性质以及相似三角形的判定与性质，证明△BEF∽△CAF是解题的关键． 23. 随州曾侯乙编钟入选《世界记忆名录》，带来了复制编钟的热销． 某旅游纪念品商店销售A，B两种复制编钟，每套进价分别为700元、440元，进价、售价均保持不变．下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种编钟 B种编钟 第一天 2套 3套 3100元 第二天 3套 4套 4400元 （1）求A、B两种编钟的销售单价； （2）若该商店准备用不超过11000元的资金再次采购这两种编钟共20套，则A种编钟最多能采购多少套？ （3）若该商店打算再次采购一批这两种编钟（A，B两种都要采购）进行销售，全部销售完后，能否正好实现720元的销售利润？若能，请直接给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A，B两种编钟的销售单价分别为800元，500元 （2）A种编钟最多能采购8套 （3）能．采购方案有两种：A种3套，B种7套；A种6套，B种2套 【解析】 【分析】本题考查的二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用， （1）设A，B两种编钟的销售单价分别为x元，y元，根据题意列方程组并解方程组即可解决； （2）设采购A种编钟a套，则采购B种编钟套，根据用不超过11000元的资金再次采购这两种编钟共20套列不等式解决； （3）设采购A种编钟m套，采购B种编钟n套，得出，求出正整数解即可； 【小问1详解】 解：设A，B两种编钟的销售单价分别为x元，y元， 依题意，得， 解得 答：A，B两种编钟的销售单价分别为800元，500元； 【小问2详解】 解：设采购A种编钟a套，则采购B种编钟套， 依题意，得， 解得， ∵a是正整数， ∴a最大是8，即A种编钟最多能采购8套． 【小问3详解】 解：能．理由如下： 设采购A种编钟m套，采购B种编钟n套， ， ， 均为正整数， 或， 采购方案有两种：A种3套，B种7套；A种6套，B种2套． 24. 若关于x的一次函数与二次函数同时满足 ，则称函数与函数互为“联络”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”)； ①一次函数的“联络”函数为；________ ②一次函数的“联络”函数的顶点在反比例函数的图象上； ③关于x的一次函数的“联络”函数的图象与x轴一定会有公共点． （2）平面内有一点，将P点向左平移个单位长度，或者将P点向右平移k个单位长度，或者将P点向下平移个单位长度，平移后的三个对应点都在一次函数的“联络”函数的图象上，试求k和a的值； （3）若关于x的一次函数的“联络”函数的图象与x轴交于不同两点A，B，函数的图象与它的“联络”函数的图象交于不同两点C，D，记以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为S，其中实数．令求w的取值范围． 【答案】（1）①；②；③ （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）已知一次函数，则可求得其“联络”函数，根据相关知识即可判断各说法； （2）先求出点P平移后的点的坐标；再求出函数，由抛物线的对称性质求得k的值，进而求得a的值； （3）求出函数，它与x轴的两个交点，再设，求出，根据，利用二次函数的知识即可求解． 【小问1详解】 解：关于x的一次函数与二次函数同时满足 ， 则， ∴， ∴，； ①一次函数的“联络”函数为，故说法错误； ②一次函数的“联络”函数， ∵，其顶点为， ∴， ∴顶点在反比例函数的图象上，故说法正确； ③关于x的一次函数的“联络”函数， 当， ， ∴的图象与x轴一定会有公共点，故说法正确． 【小问2详解】 解：将P点向左平移个单位长度得到点；或者将P点向右平移k个单位长度得到点，或者将P点向下平移个单位长度得到点； 由（1）知，一次函数的“联络”函数，且点在函数的图象上，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴， 解得， ∴，； 将上述两点代入得，解得； 即，； 【小问3详解】 解：由（1）知，一次函数的“联络”函数为， 令， 解得， ∴与x轴的两个交点坐标分别为， ∵， ∴， ∴， 设函数与的两个交点为， 令， 整理得， 由题意知，是上述方程的两个不同的解， ∴， ∵， ∴， ∴， 即异号， ∴两点中有一点位于的上方，另一点则位于的下方， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ， 令，则， ∵， ∴， 对于函数，当时，y随t的增大而增大， 当时，；当时， ∴当时，， ∴． 25. 如图1，圆内接四边形中， ，对角线交于点，延长交于点． （1）上有点H，连接交 于点Q，若， 求证： ①；②； （2）如图2，若成立时， ①试判断 的形状并说明理由； ②若，则 是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：①如图所示： ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴为弧中点， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，即； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①是直角三角形，理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B、D、E在以C为圆心，为半径的圆上，此时为直径， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ②是定值，为1 【解析】 【分析】（1）①根据圆周角定理得出，结合已知可得出，结合圆内接四边形的性质可得出，即可证明；②根据相似三角形的判定得出，，再由其性质即可证明； （2）①根据弧、弦的关系得出，根据相似三角形的判定得出，确定，化简，得出，证明，得出，进而得出，则点B、D、E在以C为圆心，为半径的圆上，此时为直径，根据直径所对的圆周角是直角可得出，即可得出结论； ②根据勾股定理求出，结合①中，求出，证明，求出，，则，过D作于M，证明，求出，最后根据三角形的面积公式及相似三角形的性质代入化简即可． 【小问1详解】 ①略；②略； 【小问2详解】 ①略 ②由①得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 过D作于M， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2026届初三第三次模拟考试·数学 一．选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个实数中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，大约是一根头发丝直径的二十分之一，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 为了解学生的体质健康水平，国家每年都会进行中小学生体质健康测试和抽测复核．在某次抽测复核中，某校九(1)班10名男生引体向上测试的成绩(单位：个)如下：7，11，10，11， 6， 14， 11， 10， 11， 9．这组数据的众数是（ ） A. 11 B. 10.5 C. 10 D. 2 6. 一元二次方程的两根之和为p，两根之积为q，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式 B. 数据，，，，的中位数是4 C. “清明时节雨纷纷”是必然事件 D. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，则乙的成绩比甲的稳定 10. 如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A. B. C. D. 二．填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11. 因式分解：_______． 12. 若一个多边形的每一个外角为，则边数的值是__________． 13. 已知是关于的一元二次方程的解，则________． 14. 将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 15. 草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______． (结果含π) 16. 推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令 ， 等式两边都乘以x，得 等式两边都减，得 等式两边分别分解因式，得． ③ 等式两边都除以，得． ④ 等式两边都减m，得． ⑤ 所以任意一个实数都等于． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_______． 三．解答题(共8小题，第17、18、19题6分，第20、21题8分，第22、23题9分，第24、25题10分，共72分) 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程，请你根据他的作法证明． 已知：如图1，直线l及直线l外一点 P． 求作：直线，使得． 作法：如图2， ①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点 C，交射线于点 D，分别以点 C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 E，作射线； ③以点P为圆心，为半径作弧，交射线于点Q(不与点A重合)，作直线．所以直线就是所求作的直线． 证明：连接，， 在和中， （ ）（ ） ∴（ ）． ∴． ∵， ∴ （ ）(填推理的依据)． ∴ ． ∴． 20. 人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：、B：、C：、D：、E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： （1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______°； （2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？ （3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，在海岸线上有B、C两个观测点，B、C之间距离为，海上有一小岛A，在小岛A处分别测得观测点B在小岛A的南偏西方向，观测点C在小岛A的南偏西方向，求小岛A与海岸线的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 22. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，分别过点B、点C作CO，BO的平行线交于点E，连接AE交BD于点H，交BC于点F． （1）求证：四边形OCEB是矩形； （2）若BF=1，求菱形ABCD的周长． 23. 随州曾侯乙编钟入选《世界记忆名录》，带来了复制编钟的热销． 某旅游纪念品商店销售A，B两种复制编钟，每套进价分别为700元、440元，进价、售价均保持不变．下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种编钟 B种编钟 第一天 2套 3套 3100元 第二天 3套 4套 4400元 （1）求A、B两种编钟的销售单价； （2）若该商店准备用不超过11000元的资金再次采购这两种编钟共20套，则A种编钟最多能采购多少套？ （3）若该商店打算再次采购一批这两种编钟（A，B两种都要采购）进行销售，全部销售完后，能否正好实现720元的销售利润？若能，请直接给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 24. 若关于x的一次函数与二次函数同时满足 ，则称函数与函数互为“联络”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”)； ①一次函数的“联络”函数为；________ ②一次函数的“联络”函数的顶点在反比例函数的图象上； ③关于x的一次函数的“联络”函数的图象与x轴一定会有公共点． （2）平面内有一点，将P点向左平移个单位长度，或者将P点向右平移k个单位长度，或者将P点向下平移个单位长度，平移后的三个对应点都在一次函数的“联络”函数的图象上，试求k和a的值； （3）若关于x的一次函数的“联络”函数的图象与x轴交于不同两点A，B，函数的图象与它的“联络”函数的图象交于不同两点C，D，记以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为S，其中实数．令求w的取值范围． 25. 如图1，圆内接四边形中， ，对角线交于点，延长交于点． （1）上有点H，连接交 于点Q，若， 求证： ①；②； （2）如图2，若成立时， ①试判断 的形状并说明理由； ②若，则 是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $