专题03平行四边形 期末复习讲义 -2025-2026学年苏科版数学八年级下册

专题03平行四边形期末复习讲义 期末复习◆重点 熟记平行四边形定义、边角及对角线性质，掌握判定定理，厘清性质与判定的逻辑区别。 依托图形性质求解边长、周长、内角度数、对角线线段长，掌握角平分线模型求值运算。 灵活选取判定定理完成证明；突破平行四边形结合角平分线、中点综合几何题型。 规范几何推理书写格式，吃透线段证明、图形判定等大题。 核心题型◆归纳 题型1.数图形中平行四边形的个数 题型2.利用平行四边形的性质求解 题型3.利用平行四边形的性质证明 题型4.平行四边形性质的其他应用 题型5.证明四边形是平行四边形 题型6.判断能否构成平行四边形 题型7.添一个条件成为平行四边形 题型8.已知三点求平行四边形的点的个数 题型9.全等三角形拼平行四边形问题 题型10.平行四边形的判定与性质求解 题型11.平行四边形性质和判定的应用 题型12.平行四边形的动点问题 题型13.平行四边形折叠问题 题型14.平行四边形的最值问题 题型15.平行四边形与角平分线的有关计算 重点知识◆梳理 【知识点一、平行四边形定义、性质】 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作：▱ABCD ✅基本元素：边（共4条，分为对边和邻边.）角（共4个，分为对角和邻角.）对角线（共2条，互相平分）对称中心（对角线的交点） 2.平行四边形的性质 边：两组对边分别平行且相等.即AB∥CD、AD∥BC；AB=CD、AD=BC； 角：两组对角相等，邻角互补.即∠ A=∠C、∠B=∠D；邻角和为180°； 对角线：互相平分.即OA=OC、OB=OD，分为四个等面积小三角形； 对称性：中心对称图形（对称中心为对角线交点），非轴对称图形（特殊除外） 性质类别 具体性质 几何语言 图示 边 两组对边分别平行且相等 AB∥CD，AD∥ BC；AB=CD，AD=BC 角 两组对角相等，邻角互补 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补：∠A+∠B=180^°（其余邻角同理） 对角线 互相平分，分为四个等面积小三角形 设AC与BD交于点O，则OA=OC，OB=OD；AOB=BOC=COD=DOA 对称性 中心对称图形，非轴对称图形（特殊除外） 对称中心为对角线交点O；一般不是轴对称图形（矩形、菱形等特殊情况除外） 【知识点二、平行四边形的判定】 判定方法 具体内容 几何语言（以▱ABCD为例） 图示 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形 方法二 两组对边分别相等 ∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形 方法三 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC），∴四边形ABCD是平行四边形 方法四 两组对角分别相等 ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形 方法五 对角线互相平分 设AC与BD交于点O，∵ OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形 【知识点三、平行四边形周长、面积】 周长计算公式 ：C=2(a+b). a、b为平行四边形一组邻边边长 原理：平行四边形两组对边分别相等，周长=2×（邻边之和） 面积计算公式：S=ah. a为平行四边形底边，h为底边a对应的垂直高. 核心要求：底和高必须一一对应，不可混搭计算 【知识点四、易错点提醒】 1.“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形（反例：等腰梯形） 2.对角线相等、垂直不是平行四边形的性质（矩形、菱形专属） 3.面积计算需注意底与高对应，不可乱乘 4.审题区分“四边形”与“平行四边形”，避免误用性质 题型解析◆精准备考 题型1.数图形中平行四边形的个数 1．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 2．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 3．如图所示，的三个顶点的坐标为，，． (1)把向左平移7个单位后得到对应的，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)把绕坐标原点O顺时针旋转后得到对应的，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出旋转后的，并写出点的坐标； (3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 题型2.利用平行四边形的性质求解 1．如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 3．如图，在平行四边形中，，求和的度数． 题型3.利用平行四边形的性质证明 1．如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，中，，的平分线与的延长线相交于点，与交于点，且点为边的中点，过点作的垂线，垂足为．若，则的长为 ______ ． 3．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过作线段交于点，交于点，求证：． 题型4.平行四边形性质的其他应用 1．如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点O是的对称中心，点E为边的中点，点F为边上的点，且．若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是______． 3．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，网格中有线段、、，点、、、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，不写作法，保留作图痕迹． (1)_________； (2)在点右侧作线段，使且，连接； (3)在的上方作，且点N在格点上，并直接写出、间的距离． 题型5.证明四边形是平行四边形 1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中O为对角线与的交点；D． 2．已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．如图所示， （1）在直线上取一点（不与点重合），连接； （2）以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（与点位于直线异侧）； （3）连接交于点，连接，． 根据以上作图过程及所作图形，在下列结论：①；②；③中，一定正确的是______（填写序号）． 3．如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点F． (1)请用尺规作的角平分线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ． ①________． 平分，平分， ， ②________． ③________． 四边形是平行四边形． ④________． 四边形为平行四边形． 题型6.判断能否构成平行四边形 1．在四边形中，O是对角线的交点，且与面积相等，则下列条件不一定能推出四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 2．一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是________． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画等腰三角形，使其面积为3； (2)在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为5； (3)在图③中，画平行四边形，使其面积为6． 题型7.添一个条件成为平行四边形 1．如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（     ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④ 2．已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形． 3．如图，在中，点、分别在边、上，且． (1)求证：； (2)连接，请添加一个条件：________，使四边形是平行四边形，不需要说明理由． 题型8.已知三点求平行四边形的点的个数 1．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 2．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在网格中找出一点D，使得点D与A，B，C构成平行四边形，画出这个平行四边形； (2)将先向下平移4个单位长度，再向左平移6个单位长度，得到，画出； (3)若点E为的中点，则的面积为______． 题型9.全等三角形拼平行四边形问题 1．下列说法正确的有（    ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；    ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；    ④平行四边形的四个内角之比可以是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 3．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 题型10.平行四边形的判定与性质求解 1．如图，两条宽度为2和6的纸条交叉放置，重叠部分是四边形，若，则四边形的面积是（     ） A．81 B．12 C． D． 2．如图，为边长为2的等边三角形内部一动点，连接，，，过点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则图中阴影部分面积的和为____________________． 3．如图，在梯形中，，求的长度． 题型11.平行四边形性质和判定的应用 1．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 2．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，那么______（填“”“”或“”）．    3．如图，已知，，，．求证：． 题型12.平行四边形的动点问题 1．如图1，点是边上一动点，沿→→→的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（     ） A．5 B．2 C．3 D．6 2．如图，在中，．动点M，N分别在边上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为_____ ． 3．如图①，在中，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发在上往返运动；同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿运动，到C点停止．当点P、点Q中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点P运动的时间为秒． (1)当点P从A向D运动时，_____，_____；当点P从D向A运动时，_____（用含t的代数式表示）． (2)如图②，点M、N分别为、的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有满足条件的t的值． 题型13.平行四边形折叠问题 1．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当时，则 B．当恰好为的中点时，则的面积为 C．在折叠的过程中，的周长有可能是的2倍 D．当时，连结，四边形是等腰梯形 2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 3．如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，，，，求的长． 题型14.平行四边形的最值问题 1．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 2．我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 3．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点，点．动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半； (3)求的最小值． 题型15.平行四边形与角平分线的有关计算 1．在平行四边形中，分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交，，于，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，并延长相交于点，点恰好在上，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，对角线，，，连接，的平分线与交于点F，与交于点G，则的长为________． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行四边形期末复习讲义 期末复习◆重点 熟记平行四边形定义、边角及对角线性质，掌握判定定理，厘清性质与判定的逻辑区别。 依托图形性质求解边长、周长、内角度数、对角线线段长，掌握角平分线模型求值运算。 灵活选取判定定理完成证明；突破平行四边形结合角平分线、中点综合几何题型。 规范几何推理书写格式，吃透线段证明、图形判定等大题。 核心题型◆归纳 题型1.数图形中平行四边形的个数 题型2.利用平行四边形的性质求解 题型3.利用平行四边形的性质证明 题型4.平行四边形性质的其他应用 题型5.证明四边形是平行四边形 题型6.判断能否构成平行四边形 题型7.添一个条件成为平行四边形 题型8.已知三点求平行四边形的点的个数 题型9.全等三角形拼平行四边形问题 题型10.平行四边形的判定与性质求解 题型11.平行四边形性质和判定的应用 题型12.平行四边形的动点问题 题型13.平行四边形折叠问题 题型14.平行四边形的最值问题 题型15.平行四边形与角平分线的有关计算 重点知识◆梳理 【知识点一、平行四边形定义、性质】 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作：▱ABCD ✅基本元素：边（共4条，分为对边和邻边.）角（共4个，分为对角和邻角.）对角线（共2条，互相平分）对称中心（对角线的交点） 2.平行四边形的性质 边：两组对边分别平行且相等.即AB∥CD、AD∥BC；AB=CD、AD=BC； 角：两组对角相等，邻角互补.即∠ A=∠C、∠B=∠D；邻角和为180°； 对角线：互相平分.即OA=OC、OB=OD，分为四个等面积小三角形； 对称性：中心对称图形（对称中心为对角线交点），非轴对称图形（特殊除外） 性质类别 具体性质 几何语言 图示 边 两组对边分别平行且相等 AB∥CD，AD∥ BC；AB=CD，AD=BC 角 两组对角相等，邻角互补 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补：∠A+∠B=180^°（其余邻角同理） 对角线 互相平分，分为四个等面积小三角形 设AC与BD交于点O，则OA=OC，OB=OD；AOB=BOC=COD=DOA 对称性 中心对称图形，非轴对称图形（特殊除外） 对称中心为对角线交点O；一般不是轴对称图形（矩形、菱形等特殊情况除外） 【知识点二、平行四边形的判定】 判定方法 具体内容 几何语言（以▱ABCD为例） 图示 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形 方法二 两组对边分别相等 ∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形 方法三 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC），∴四边形ABCD是平行四边形 方法四 两组对角分别相等 ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形 方法五 对角线互相平分 设AC与BD交于点O，∵ OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形 【知识点三、平行四边形周长、面积】 周长计算公式 ：C=2(a+b). a、b为平行四边形一组邻边边长 原理：平行四边形两组对边分别相等，周长=2×（邻边之和） 面积计算公式：S=ah. a为平行四边形底边，h为底边a对应的垂直高. 核心要求：底和高必须一一对应，不可混搭计算 【知识点四、易错点提醒】 1.“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形（反例：等腰梯形） 2.对角线相等、垂直不是平行四边形的性质（矩形、菱形专属） 3.面积计算需注意底与高对应，不可乱乘 4.审题区分“四边形”与“平行四边形”，避免误用性质 题型解析◆精准备考 题型1.数图形中平行四边形的个数 1．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案． 【详解】解：设EF与NH交于点O， ∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB， ∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD， 则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 2．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 3．如图所示，的三个顶点的坐标为，，． (1)把向左平移7个单位后得到对应的，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)把绕坐标原点O顺时针旋转后得到对应的，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出旋转后的，并写出点的坐标； (3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析，； (3)或或 【分析】此题考查了平移、旋转的作图，利用平行四边形判定作图，准确作图是解题的关键． （1）根据平移方式作出点A，B，C的对应点，，，顺次连接，并写出点的坐标； （2）根据旋转方式作出点A，B，C的对应点，，，顺次连接，并写出点的坐标； （3）根据平行四边形的判定作出的图形，找出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）如图所示，即为所求，点的坐标为； （3）如图所示，点、、均满足要求，即点D的坐标为或或 题型2.利用平行四边形的性质求解 1．如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴． 2．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】先证，得，所以，又因为，所以，再根据平行四边形性质得，所以，把代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 3．如图，在平行四边形中，，求和的度数． 【答案】 【分析】由平行四边形的对角相等的性质可求得的度数；由平行的性质可求得的度数，即可求得的度数． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴，， ∴， ∴． 题型3.利用平行四边形的性质证明 1．如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 可证明四边形为平行四边形，可求得，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明、为等边三角形，可判断②③，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故结论①正确． 平分， ． 又， ， ， ， ． ， ， 是等边三角形， ． 又， ， 是等边三角形， ， 是的平分线，，故结论②③正确． 综上所述，其中正确的个数是． 故选：D． 2．如图，中，，的平分线与的延长线相交于点，与交于点，且点为边的中点，过点作的垂线，垂足为．若，则的长为 ______ ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出，再根据等腰三角形的性质可求出的长，进而可求出的长，证明，所以，所以，问题得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线与的延长线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵点E为边的中点， ∴． ∵过点A作的垂线，垂足为H． ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的运用，难度中等． 3．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过作线段交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，证明，即可得到． 【详解】证明：在平行四边形中，点是对角线的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ． 在和中，， ， ． 题型4.平行四边形性质的其他应用 1．如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积．三角形BGP的面积等于EBP的面积，三角形HPD的面积等于三角形PDF的面积，从而可得到AEPH的面积等于GCFP的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个． 【详解】解：∵ABCD为平行四边形，BD为对角线， ∴△ABD的面积等于△BCD的面积， 同理△BGP的面积等于△EBP的面积，△PFD的面积等于△HPD的面积， ∵△BCD的面积减去△BGP的面积和△PDF的面积等于平行四边形PGCF的面积，△ABD的面积减去△EBP和△HPD的面积等于平行四边形AEPH的面积． ∴▱PGCF的面积等于▱AEPH的面积． ∴同时加上平行四边形PFDH和BGPE， 可以得出▱AEFD面积和▱HGCD面积相等，▱ABGH和▱BCFE面积相等． 所以有3对面积相等的平行四边形． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质. 2．如图，点O是的对称中心，点E为边的中点，点F为边上的点，且．若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是______． 【答案】 【分析】根据三角形性质可得S1=， S2=，根据平行四边形性质可得 ，然后可以得到解答． 【详解】解：如图，连结OC，则A、O、C三点在同一直线上， ∵O是AC中点，E是BC中点， ∴S1=， ∵DF=， ∴S2=， ∴S1：S2=， 即， 故答案为． 【点睛】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中线的性质及平行四边形的对称性是解题关键． 3．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，网格中有线段、、，点、、、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，不写作法，保留作图痕迹． (1)_________； (2)在点右侧作线段，使且，连接； (3)在的上方作，且点N在格点上，并直接写出、间的距离． 【答案】(1)90 (2)图见解析 (3)图见解析，、间的距离为 【分析】（1）借助网格，由勾股定理求得，，．根据勾股定理逆定理，，可判定为直角三角形，故； （2）依据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，在网格中平移线段，确定格点，使且，再连接，完成作图； （3）根据全等三角形的性质以及点N在的上方，在网格中确定格点，使与三边对应相等，作出全等三角形．再利用勾股定理求出，即为N、Q之间的距离． 【详解】（1）解：连接，如下图： 由图可得，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：∵且， ∴四边形为平行四边形， 如下图，即为所作， （3）解：如下图，连接，即为所作， 由图可得，． 题型5.证明四边形是平行四边形 1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中O为对角线与的交点； D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵， ∴四边形是梯形或平行四边形，故此选项符合题意． 2．已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．如图所示， （1）在直线上取一点（不与点重合），连接； （2）以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（与点位于直线异侧）； （3）连接交于点，连接，． 根据以上作图过程及所作图形，在下列结论：①；②；③中，一定正确的是______（填写序号）． 【答案】② 【分析】根据作图可得，则四边形是平行四边形，进而即可求解． 【详解】解：根据作图可得，则四边形是平行四边形， ∴，不一定相等，，故①不一定正确，②正确， ∵不一定相等，则不一定成立，即③不一定正确． 3．如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点F． (1)请用尺规作的角平分线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ． ①________． 平分，平分， ， ②________． ③________． 四边形是平行四边形． ④________． 四边形为平行四边形． 【答案】(1)如图，的角平分线即为所作 (2)①，②，③，④ 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）以C为圆心、的长度为半径画弧交于点E，连接，问题得解； （2）根据题干的思路填空即可． 【详解】（1）以C为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接， 作图如答案所示； 作图证明：∵是平行四边形， ∴，， 根据作图有：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2） 略 题型6.判断能否构成平行四边形 1．在四边形中，O是对角线的交点，且与面积相等，则下列条件不一定能推出四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意可得，．再根据，，作出图形说明B；当时，根据“角角边”证明，可得，再根据“角角边”证明，可得，进而得出说明A；当时，根据“斜边直角边”证明，可得，即可说明C；当时，再证明，可得，即可解答D． 【详解】解：∵ ，和共底， ∴点和点到直线的距离相等，即，且． 当时，，此时四边形不是平行四边形，所以B符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形，所以A不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，所以C不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，则D不符合题意． 2．一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是________． 【答案】平行四边形 【解析】略 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画等腰三角形，使其面积为3； (2)在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为5； (3)在图③中，画平行四边形，使其面积为6． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺的网格作图，解题关键是掌握勾股定理、平行四边形的判定以及三角形和平行四边形面积的求法． （1）先确定格点，使其为等腰三角形，再验证面积即可； （2）先确定格点，使其为等腰直角三角形，再验证面积即可； （3）先确定格点，使其为平行四边形，再验证面积即可；． 【详解】（1）解：如图所示：； 等腰三角形的面积； （2）解：如图所示：，，且符合 等腰直角三角形的面积； （3）解：如图所示： 且与平行， 平行四边形的面积； 题型7.添一个条件成为平行四边形 1．如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（     ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④ 【答案】C 【分析】根据已有条件：，结合平行四边形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：如图，已有条件：， ①添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ③添加，根据可得， 又， ∴， ∴， ∴可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ④添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； 综上：C符合题意． 2．已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】平行四边形一般有五种判定方法，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；本题根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加， ∵四边形中，， ∴四边形为平行四边形． 添加， ∵四边形中，， ∴四边形为平行四边形． 3．如图，在中，点、分别在边、上，且． (1)求证：； (2)连接，请添加一个条件：________，使四边形是平行四边形，不需要说明理由． 【答案】(1)证明：， ，， 在和中，， (2)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质，运用边角边原理证明即可； （2）根据平行四边形的判定求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，添加， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， 连接，添加， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形． 题型8.已知三点求平行四边形的点的个数 1．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 2．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 【答案】 或或 【分析】本题分三种情况讨论，利用平行四边形的对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可. 【详解】解：设已知三个顶点分别为，如图， 当以为平行四边形的一条边时，根据平行四边形的对边平行且相等， 可知，将点向左或向右移动3个单位长度，得到第四个点，分别为或； 当以为对角线时，则为平行四边形的一条边，将点先向左移动1个单位，再向下移动3个单位，得到点， 故点先向左移动1个单位，再向下移动1个单位，得到第四个点； 综上：第四个点的坐标可能为或或. 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在网格中找出一点D，使得点D与A，B，C构成平行四边形，画出这个平行四边形； (2)将先向下平移4个单位长度，再向左平移6个单位长度，得到，画出； (3)若点E为的中点，则的面积为______． 【答案】(1)平行四边形如图（有两个点，答案不唯一）： (2)如图 (3)2 【分析】（1）过的顶点作对边的平行线交点即为点D； （2）根据平移规则画出即可； （3）先利用割补法求出，再由点E为的中点，得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ∵点E为的中点， ∴． 题型9.全等三角形拼平行四边形问题 1．下列说法正确的有（    ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；    ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；    ④平行四边形的四个内角之比可以是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定和性质，逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，故①正确； ②平行四边形的性质为对角相等，邻角互补，并非对角互补，故②错误； ③将两个全等三角形的一组相等边重合反向拼接，即可得到平行四边形，故③正确； ④平行四边形对角相等，邻角互补，若四个内角比为，满足对角占比相等，根据四边形内角和为，可计算得四个角分别为，，，，满足对角相等，邻角和为，符合平行四边形的性质，故④正确， 综上，正确的说法共有3个． 2．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】14或16或18 【分析】如图，过点作于点D，由三线合一得到，然后利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵，， ∴， ∴，    如图①所示：可得四边形 是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：． 3．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型10.平行四边形的判定与性质求解 1．如图，两条宽度为2和6的纸条交叉放置，重叠部分是四边形，若，则四边形的面积是（     ） A．81 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意判定四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式，用面积表示出和，结合已知条件建立方程求解即可 【详解】解：∵ 纸条的对边平行， ∴ ， ∴ 四边形是平行四边形， 设平行四边形的面积为， 边上的高为，边上的高为， 由题意可知，的值分别为2和6， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2．如图，为边长为2的等边三角形内部一动点，连接，，，过点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则图中阴影部分面积的和为____________________． 【答案】/ 【分析】过点作三边的平行线即可把等边三角形分成三个平行四边形和三个等边三角形，再根据平行四边形和等边三角形的性质得到即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作交于，交于，过点作交于，交于，过点作交于，交于，过点作于， ∴四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴， ∵边长为2的等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． 3．如图，在梯形中，，求的长度． 【答案】6 【分析】作交于点，得到四边形为平行四边形，得到，进而求出，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可. 【详解】解：作交于点， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 在中，， ∴. 题型11.平行四边形性质和判定的应用 1．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 2．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，那么______（填“”“”或“”）．    【答案】 【分析】取格点E，连接，构造平行四边形，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接，    ∵，， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握构造平行四边形是解题的关键． 3．如图，已知，，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】先利用直角三角形内角求，推出，得，再结合证明四边形是平行四边形，从而得． 【详解】解：略． 题型12.平行四边形的动点问题 1．如图1，点是边上一动点，沿→→→的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（     ） A．5 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据点是边上一动点，沿→→→的路径移动，可得出，，再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：根据点的运动路径，可得出，， 又四边形是平行四边形， ∴， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得， 即与间的距离是． 2．如图，在中，．动点M，N分别在边上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为_____ ． 【答案】1 【分析】先推导出图形变化规律可知：当增大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大，进而求出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ， ∴， 由图形变化规律可知：由，，得为等腰三角形， ∴当变大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大， ∵动点，分别在边，上， ∴时，取得最大值，此时的面积最大 ∵，， 此时， ∴． 3．如图①，在中，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发在上往返运动；同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿运动，到C点停止．当点P、点Q中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点P运动的时间为秒． (1)当点P从A向D运动时，_____，_____；当点P从D向A运动时，_____（用含t的代数式表示）． (2)如图②，点M、N分别为、的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)或；； (2)或4或 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）分三种情况：当点P第一次从点A向点D运动时，四边形为平行四边形，当点P从点D向点A运动时，四边形为平行四边形，当点P第二次从点A向点D运动时，四边形为平行四边形，分别画出图形，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当点第一次从向运动时，，则， 当点第二次从向运动时，，则， ∵， ∴； 当点从向运动时， ． （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点M、N分别为、的中点， ∴， 当点P第一次从点A向点D运动时，四边形为平行四边形，如图所示： 则此时， 即， 解得：； 当点P从点D向点A运动时，四边形为平行四边形，如图所示： 则此时， 即， 解得：； 当点P第二次从点A向点D运动时，四边形为平行四边形，如图所示： 则此时， 即， 解得：； 综上，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或4或． 题型13.平行四边形的折叠问题 1．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当时，则 B．当恰好为的中点时，则的面积为 C．在折叠的过程中，的周长有可能是的2倍 D．当时，连结，四边形是等腰梯形 【答案】D 【分析】A选项在中由勾股定理可得；B选项先证明，再由勾股定理得，故；C选项在折叠过程中，与的周长相等；D选项当时，，，故四边形是等腰梯形，故选项D正确． 【详解】解：，， ，四边形是矩形， 由折叠得，， ， ， 设，则，在中，有，解得，故选项A不正确； 当恰好为的中点时，则时，由折叠得F也为的中点，故， ， ， ，故选项B不正确； 在折叠过程中，，，， ∴， 又∵， 与的周长相等，故选项C不正确； 如图，当时，，， ∴， ，， ， ∵， ， ， 四边形是等腰梯形，故选项D正确． 2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 【答案】 6 【分析】根据折叠得到，因为，可得，所以，进一步将线段转化即可求得． 【详解】解：将一张平行四边形纸片折叠，折痕为， ，， ， ， ， ， 周长为 ， 即 ． 3．如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是对角线的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴； (2)证明：如图，延长交的延长线于，延长交的延长线于， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∴，即， 同理可得：， ∵， ∴， ∴，， ∴ 由（1）可得：， ∴， ∴，即， ∴； (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，证明，得出，由折叠的性质可得，即可得证； （2）延长交的延长线于，延长交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，，，证明，得出，，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，从而得出，即可得证； （3）过点作交的延长线于，过点作于，连接，求出，，从而即可得出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，求出，证明是等腰直角三角形，得出，，再求出，最后由直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作交的延长线于，过点作于，连接，设交于点P， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于，则，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为． 题型14.平行四边形的最值问题 1．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】设与的交点为O，过点O作，由题意易得，，要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长，然后问题可求解． 【详解】解：设与的交点为O，过点O作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 2．我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由于的长为定值，求的最小值转化为求的最小值，通过平移变换，将线段平移至，使得转化为，利用两点之间线段最短结合勾股定理即可求解． 【详解】解：为定值， 求的最小值，即求的最小值， 如图，将点向右平移个单位长度得到点，连接， 点的坐标为， 点的坐标为， 由平移的性质可知，且， 四边形是平行四边形， ， ， 当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， 过点作交的延长线于点， 在中， 水平直角边长为， 竖直直角边长为， 根据勾股定理得： 的最小值为， 的最小值为． 3．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点，点．动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半； (3)求的最小值． 【答案】(1)点B的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，点，可得，即可求解； （2）过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点，可得，由题意得，，，，由的面积是平行四边形OABC面积的一半，可得，代入值即可求解； （3）由（2）可得，，，可得，取点，作点关于轴的对称点，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴点B的坐标为． （2）解：如图，过点作轴于点，延长交于点，过点作于点，过点作轴于点，取的中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴，是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可得， 由题意得，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴由题意得，， ∴，符合题意， ∴当时，的面积是平行四边形面积的一半． （3）解：由（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， 取点， ∵， ∴要使最小，即在轴上找一点，使得最小， 作点关于轴的对称点， ∴当，，三点共线时，的最小值为， ∴的最小值为． 题型15.平行四边形与角平分线的有关计算 1．在平行四边形中，分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交，，于，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，并延长相交于点，点恰好在上，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据作图可得，根据平行四边形的性质可得，，进而结合平行线的性质可得出，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】解：根据作图可得分别平分 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 1．如图，在中，，对角线，，，连接，的平分线与交于点F，与交于点G，则的长为________． 【答案】 【分析】如图，过作于，作于，求出，，根据即可求出答案． 【详解】解：如图，过作于，作于， ∵在中，，，， ∴，，，，，，，， ∵的平分线与交于点F， ∴， 设, ∴，， ∴， 解得：, ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形性质及勾股定理，求得，得 ，进而得 ． （2）利用同高三角形面积比等于底边比，得出． （3）由 得 ，推出 为等腰三角形．利用平行线性质转化角，结合题设角关系，推导出 为 的角平分线．再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形的面积比得出 ，求得 ，从而算出 的横坐标． 【详解】（1）解：由得， 又∵，故． ∵四边形为平行四边形， ∴且． ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴ （2）解：如图，连接， ∵， ∴的面积为 （3）解：当时，即，解得，即， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， 即是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即点E的横坐标为． 【点睛】这道题是一道典型的初中几何综合压轴题，融合了坐标系、平行四边形性质、勾股定理以及角平分线性质． 1．数形结合：第（1）、（2） 问充分利用了坐标系的特点，将几何长度转化为坐标运算，体现了“以数解形”的思想． 2．转化思想：第 （3） 问中，面对复杂的角关系式，通过平行线性质和等腰三角形性质，将其转化为“角平分线”这一几何模型，是解题的关键突破点． 3．面积法：利用“等高三角形面积比等于底边比”建立面积关系，进而求出线段比，是处理此类几何难题的常用高级技巧． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $