专题08二次根式期末复习讲义（15大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题08二次根式期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握二次根式定义、有意义条件、双重非负性，能准确求解字母取值范围； 熟练掌握二次根式四大核心性质，会结合字母范围化简； 分清最简二次根式、同类二次根式，掌握两类分母有理化技巧； 熟练进行二次根式四则、混合运算，会运用乘法公式简化计算。 核心题型◆归纳 题型1.二次根式的识别与有意义条件 题型2.求二次根式的值 题型3.利用二次根式的性质化简 题型4.二次根式的乘除运算 题型5.分母有理化 题型6.最简二次根式的判断与化简 题型7.同类二次根式识别 题型8.二次根式的加减运算 题型9.二次根式的简单混合运算 题型10.求二次根式中的参数 题型11.复合二次根式的化简 题型12.已知字母的值，化简求值 题型13.已知条件式，化简求值 题型14.比较二次根式的大小 题型15.二次根式的实际应用 重点知识◆梳理 【知识点一、二次根式基础概念】 1.二次根式定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式，根号下整体为被开方数，根指数固定为2，可省略不写。 ✅ 辨析：、是二次根式；不属于二次根式。 2.二次根式取值条件 二次根式有意义：被开方数 a≥0 二次根式无意义：被开方数 a＜0 复合型根式（分式+根式）：同时满足分母≠0、被开方数≥0，双重限制条件 3.两大核心根式对比 根式类型 判定核心条件 核心考点 最简二次根式 ①被开方数不含分母；②被开方数无开得尽方的因数、因式 运算最终必须化简为此形式，答题硬性要求 同类二次根式 根式化为最简后，被开方数完全相同 二次根式加减、合并运算唯一依据 【知识点二、 二次根式三大核心性质】 性质序号 运算公式 自变量取值范围 常见考点+易错警示 性质1 双重非负性 ≥0,a≥0 (a≥0） 根式+平方+绝对值和为0，则各项均为0 性质2 ）2=a(a≥0）； a≥0 先开根号再平方，直接还原被开方数，定义域受限 性质3（难点） =｜a｜ a取全体实数 去根号必去绝对值；a<0结果为-a，严禁直接消符号 ★易错总结：）2与公式形似，但定义域、化简结果完全不同. 【知识点三、二次根式四则运算】 加减运算 步骤：先化为最简根式→辨别同类根式→合并系数 法则：系数加减，根号与被开方数保持不变 乘除运算： 乘法：·= (a≥0,b≥0) 除法：= (a≥0,b>0) 最终结果必须化为最简，分母不含根号（分母有理化）  混合运算： 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 有理数运算律、乘法公式全部适用 平方差:=a-b 完全平方：=a±2+b 【知识点四：分母有理化】 1.定义：将分母中的根号去掉，使分母为有理数； 2.常用方法：能通过找到有理化因式（如的有理化因式是,a+的有理化因式是a-),对分母含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化。 【知识点五、二次根式的估值与比较大小】 1.估值方法：先对二次根式的被开方数进行平方估算，确定其介于两个相邻整数的平方之间，进而确定二次根式的取值范围； 2.比较大小： 正数比较：被开方数越大，二次根式的值越大； 正负比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数； 复杂比较：可先对两个二次根式分别平方，通过比较平方后的结果，确定原二次根式的大小（注意：仅适用于两个正数）。 题型解析◆精准备考 题型1.二次根式的识别与有意义条件 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 2．若实数x、y同时满足，则的值为________． 【答案】/0.2 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 3．（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 【答案】（1）；（2），，是变量，400是常量 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于，分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解可得答案； （2）根据常量是变化过程中保持不变的量，变化过程中变化的量是变量，可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，得解得． （2），其中，是变量，400是常量． 【点睛】本题考查了函数中自变量有意义的条件，常量与变量，解决本题的关键是熟练掌握这些概念． 题型2.求二次根式的值 1．当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 2．代数式的最小值为__________． 【答案】2 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 3．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 题型3.利用二次根式的性质化简 1．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用数轴判断和的正负，再进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ． 2．已知，，是三边的长，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系得到，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：∵a，b，c分别是的三边， ∴， ∴ ． 3．按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 【答案】(1)①；②C；③ (2)①，；② 【分析】（1）①由，再代入计算即可；②由表格信息总结归纳可得答案；③由表格信息总结归纳可得答案； （2）①由（1）的结论可得当时，代数式取得最大值；②由，可得当最大，则最大，结合，，可得当时，最大，最大值为，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，，， ∴， 当时，， ， ∴ ， ∴ ， ③当时，，， ∴当，满足条件时，； （2）解：①， ，， 结合（1）中结论可得，当时，代数式取得最大值； ，最大值为； ②在中，，， ， ， 当最大，则最大， ，结合（1）中结论可得，， 当时，最大，最大值为， 此时，， 周长的最大值为：． 题型4.二次根式的乘除运算 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 2．若，则化简________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，，，于点D． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：， ． 题型5.分母有理化 1．下列分母有理化过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同乘分母的二次根式，去掉分母中的根号，即可判断正误． 【详解】解：A选项：，该选项不符合题意； B选项：，该选项符合题意； C选项：，该选项不符合题意； D选项：，该选项不符合题意． 2．已知有理数a、b满足，则，． 【答案】， 【详解】解：∵， 且， ∴， 解得：． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式 ∵ ， ∴原式 题型6.最简二次根式的判断与化简 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母，2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件的即为所求． 【详解】解：A．，分母含根号，不是最简二次根式； B．，被开方数含分母，不是最简二次根式； C．，被开方数是小数即含分母，不是最简二次根式； D．的被开方数13是质数，不含分母，也没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，∴D符合要求． 2．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 3．设直角三角形的两条直角边长分别是和，斜边长为． (1)已知，求； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理可得，由此代入数据计算即可得出结论； （2）根据勾股定理可得，由此代入数据计算即可得出结论． 【详解】（1）解：， ； （2）， ． 题型7.同类二次根式识别 1．下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为化简后被开方数相同的二次根式，只需将各选项化简，判断被开方数是否为3即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； 对于选项B：与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； 对于选项C：是整数，与不是同类二次根式，不能合并，故C错误； 对于选项D：，与是同类二次根式，能合并，故D正确． 2．与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴． 3．已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、同类二次根式的定义、平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键． 先根据二次根式和分式有意义的条件求得，进而得；再根据同类二次根式的被开方数相同求得，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． 题型8.二次根式的加减运算 1．计算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各项化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 2．计算：________． 【答案】 【详解】解： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果； （2）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最终结果． 【详解】（1）解：原式； （2） 解：原式． 题型9.二次根式的简单混合运算 1．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则和整式乘法公式，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，无法直接合并相加，∴，A错误． 选项B：∵根据二次根式乘法法则，，∴，B正确． 选项C：∵根据完全平方公式，，∴，C错误． 选项D：∵，，，∴，D错误． 2．计算：______． 【答案】 【分析】先通分化成同分母再利用平方差公式、完全平方公式相加化简即可． 【详解】解：， ， ， ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型10.求二次根式中的参数 1．若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数． 【详解】解：成立， ，解得， 又是整数， a能取的最小整数为0， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键． 2．若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【分析】先利用不等式的性质得到的取值范围，再估算出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ， ， 为正整数，且满足， ． 3．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 题型11.复合二次根式的化简 1．若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，有意义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出是解题的关键． 2．_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 3．在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意将写成的形式，即可得出，的值； （2）将转化为的形式，即可化简； （3）将转化为的形式，转化为，化简，并解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ，． （2）解：． （3）解：， ， ． ∴原方程转化为，解得． 题型12.已知字母的值，化简求值 1．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式通过完全平方公式化简为，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 2．当时，的值为__________． 【答案】1 【分析】根据，化简求解即可； 【详解】解： 当时，原式． 3．【阅读感悟】小刚和他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 【解决问题】 请你根据小刚小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)___________． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型13.已知条件式，化简求值 1．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 2．已知，，则的值为_____． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 3．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若． ①求的值． ②直接写出代数式的值 ； ． 【答案】(1) (2)①；，2025 【分析】（1）先分母有理化，然后再进行二次根式的运算即可； （2）①由题意易得，则，然后可得，进而代入求解即可； ②由①及根据整体思想可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①； ② ； ． 题型14.比较二次根式的大小 1．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．比较大小∶ _____ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)化为最简二次根式为______，将分母有理化得______． (2)比较与的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分子分母同乘以即可；分子分母同乘以即可； （2）先将进行分母有理化，再进行比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 而， ∴． 题型15.二次根式的实际应用 1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出、的值，进而计算即可． 【详解】解：当时，（秒）； 当时，（秒）； ∴． 2．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 【答案】 【分析】由， ，得，根据镜面的反射性质，得，由，得，得，进而利用勾股定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴（负值舍去）， 即淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 3．有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 【答案】(1) (2)解：∵要裁的长方形面积为，宽为， ∴它的长为 ， ∵原长方形的长为、宽为， ∴， 即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边， ∴小牛的想法不可行． 【分析】（1）因为正方形是面积为的正方形，所以先根据正方形面积公式求其边长。因为正方形边长等于，也等于，所以代入和的长度，可分别求出长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算其面积． （2）先根据裁出长方形的面积和宽，用长方形面积公式求出其长，再将裁出长方形的长和宽分别与长方形的长和宽比较大小，判断是否可行． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为． ∵，： ∴， ． ∴长方形的面积为 ． （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08二次根式期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握二次根式定义、有意义条件、双重非负性，能准确求解字母取值范围； 熟练掌握二次根式四大核心性质，会结合字母范围化简； 分清最简二次根式、同类二次根式，掌握两类分母有理化技巧； 熟练进行二次根式四则、混合运算，会运用乘法公式简化计算。 核心题型◆归纳 题型1.二次根式的识别与有意义条件 题型2.求二次根式的值 题型3.利用二次根式的性质化简 题型4.二次根式的乘除运算 题型5.分母有理化 题型6.最简二次根式的判断与化简 题型7.同类二次根式识别 题型8.二次根式的加减运算 题型9.二次根式的简单混合运算 题型10.求二次根式中的参数 题型11.复合二次根式的化简 题型12.已知字母的值，化简求值 题型13.已知条件式，化简求值 题型14.比较二次根式的大小 题型15.二次根式的实际应用 重点知识◆梳理 【知识点一、二次根式基础概念】 1.二次根式定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式，根号下整体为被开方数，根指数固定为2，可省略不写。 ✅ 辨析：、是二次根式；不属于二次根式。 2.二次根式取值条件 二次根式有意义：被开方数 a≥0 二次根式无意义：被开方数 a＜0 复合型根式（分式+根式）：同时满足分母≠0、被开方数≥0，双重限制条件 3.两大核心根式对比 根式类型 判定核心条件 核心考点 最简二次根式 ①被开方数不含分母；②被开方数无开得尽方的因数、因式 运算最终必须化简为此形式，答题硬性要求 同类二次根式 根式化为最简后，被开方数完全相同 二次根式加减、合并运算唯一依据 【知识点二、 二次根式三大核心性质】 性质序号 运算公式 自变量取值范围 常见考点+易错警示 性质1 双重非负性 ≥0,a≥0 (a≥0） 根式+平方+绝对值和为0，则各项均为0 性质2 ）2=a(a≥0）； a≥0 先开根号再平方，直接还原被开方数，定义域受限 性质3（难点） =｜a｜ a取全体实数 去根号必去绝对值；a<0结果为-a，严禁直接消符号 ★易错总结：）2与公式形似，但定义域、化简结果完全不同. 【知识点三、二次根式四则运算】 加减运算 步骤：先化为最简根式→辨别同类根式→合并系数 法则：系数加减，根号与被开方数保持不变 乘除运算： 乘法：·= (a≥0,b≥0) 除法：= (a≥0,b>0) 最终结果必须化为最简，分母不含根号（分母有理化）  混合运算： 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 有理数运算律、乘法公式全部适用 平方差:=a-b 完全平方：=a±2+b 【知识点四：分母有理化】 1.定义：将分母中的根号去掉，使分母为有理数； 2.常用方法：能通过找到有理化因式（如的有理化因式是,a+的有理化因式是a-),对分母含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化。 【知识点五、二次根式的估值与比较大小】 1.估值方法：先对二次根式的被开方数进行平方估算，确定其介于两个相邻整数的平方之间，进而确定二次根式的取值范围； 2.比较大小： 正数比较：被开方数越大，二次根式的值越大； 正负比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数； 复杂比较：可先对两个二次根式分别平方，通过比较平方后的结果，确定原二次根式的大小（注意：仅适用于两个正数）。 题型解析◆精准备考 题型1.二次根式的识别与有意义条件 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若实数x、y同时满足，则的值为________． 3．（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 题型2.求二次根式的值 1．当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 2．代数式的最小值为__________． 3．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 题型3.利用二次根式的性质化简 1．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，是三边的长，则的值为________． 3．按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 题型4.二次根式的乘除运算 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．若，则化简________． 3．如图，在中，，，，于点D． (1)求的长． (2)求的长． 题型5.分母有理化 1．下列分母有理化过程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知有理数a、b满足，则，． 3．先化简，再求值：，其中． 题型6.最简二次根式的判断与化简 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 2．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 3．设直角三角形的两条直角边长分别是和，斜边长为． (1)已知，求； (2)已知，求． 题型7.同类二次根式识别 1．下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 2．与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 3．已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 题型8.二次根式的加减运算 1．计算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)． 题型9.二次根式的简单混合运算 1．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．计算：． 题型10.求二次根式中的参数 1．若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若m为正整数，且满足，则________． 3．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 题型11.复合二次根式的化简 1．若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 2．_____． 3．在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 题型12.已知字母的值，化简求值 1．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 2．当时，的值为__________． 3．【阅读感悟】小刚和他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 【解决问题】 请你根据小刚小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)___________． (2)已知，求的值． 题型13.已知条件式，化简求值 1．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为_____． 3．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若． ①求的值． ②直接写出代数式的值 ； ． 题型14.比较二次根式的大小 1．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．比较大小∶ _____ ． 3．若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)化为最简二次根式为______，将分母有理化得______． (2)比较与的大小． 题型15.二次根式的实际应用 1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 3．有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 学科网（北京）股份有限公司 $