第十章 概率综合测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学第十章概率同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，覆盖概率核心概念与实际应用，适配新授课知识内化与思维进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|独立事件、互斥对立事件、古典概型|单选1-6题以摸球、游戏等简单情境巩固概念，培养抽象能力与运算能力| |提升层|概率公式综合应用、随机模拟|多选9-11题结合电子元件系统概率，填空14题涉及多台ATM占用问题，发展推理意识与数据意识| |综合层|概率与统计结合、实际问题建模|解答题17-19题以酸奶销售、面试通过等情境，综合考查模型构建与应用，体现模型观念与应用意识|

第十章　概率 一、单项选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,3个黄球,从中有放回地摸球,用A1表示第一次摸得黄球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与(　　) A.是相互独立事件 B.不是相互独立事件 C.是互斥事件 D.是对立事件 2.甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏(石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头),现两人同时随机出拳,则游戏只进行一回合就分出胜负的概率是(　　) A. B. C. D. 3.已知某样本空间中共有18个样本点,其中事件A有10个样本点,事件B有8个样本点,事件A∪B有16个样本点,则P(∩B)=(　　) A. B. C. D. 4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(　　) 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　1417　4698　0371　6233　2616　8045 6011　3661　9597　7424　7610　4281 A.0.4 B.0.45 C.0.5 D.0.55 5.某城市一年的空气质量状况如下表所示: 污染指数T 不大于30 (30,60] (60,100] (100,110] (110,130] (130,140] 概率P 其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50<T≤100时,空气质量为良;当100<T≤150时,空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到良或优的概率为(　　) A. B. C. D. 6.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设事件E表示“取出的3件产品全不是次品”,事件F表示“取出的3件产品全是次品”,事件G表示“取出的3件产品中至少有1件是次品”,则下列结论正确的是(　　) A.F与G互斥 B.E与G互斥但不对立 C.E,F,G任意两个事件均互斥 D.E与G对立 7.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是(　　) A. B. C. D. 8.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球,事件A为“两球同色”,事件B为“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为(　　) A.P(A)<P(B) B.P(A)=P(B) C.P(A)>P(B) D.视m,n的大小而定 二、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况的示意图如下.现随机选取一个成员,则他(　　) A.只属于音乐小组的概率为 B.只属于英语小组的概率为 C.属于至少2个小组的概率为 D.属于不超过2个小组的概率为 10.给出下列四个命题,其中正确的命题有(　　) A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为,则比赛5场,甲胜3场 B.抛掷一颗质地均匀的骰子,记事件A为“向上的点数为1或4”,事件B为“向上的点数为奇数”,则A与B互为对立事件 C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是 D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率 11.如图,A1,A2,A3,A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统,设每个电子元件能正常工作的概率均为p(0<p<1),则(　　) A.甲系统正常工作的概率为8p4 B.甲系统正常工作的概率为2p2-p4 C.乙系统正常工作的概率为1-(1-p)2 D.甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率 三、填空题 12.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有　　　　　条鱼.  13.为了践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念,某市在经济快速发展的同时,更注重城市环境卫生的治理,经过几年的治理,市容市貌焕然一新.为了调查市民对城区环境卫生的满意程度,研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查,并将满意程度统计成上图所示的频率分布直方图,其中a=2b.若按照分层随机抽样的方式从分数在[50,60),[60,70)内的市民中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,则至少有1人的分数在[50,60)内的概率为　　　　　.  14.某自助银行有A,B,C,D四台ATM(自助取款机),在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为. (1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为　　　　;  (2)某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为　　　　　.  四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y. (1)求满足条件“为整数”的事件的概率; (2)求满足条件“x-y<2”的事件的概率. 16.某校高一(一)班,经过一轮选举投票后,选出三名男生(记为A1,A2,A3)与两名女生(记为B1,B2),需要再进行二轮投票从中选出两人分别担任班长与生活委员. (1)如果一人可以兼任两种职务,写出样本空间,并计算选到两人都是男生的概率; (2)如果一人只能担任一种职务,写出样本空间,并计算选到至少有一名女生的概率. 17.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.若最高气温不低于25 ℃,则需求量为500瓶;若最高气温位于区间[20,25)内,则需求量为300瓶;若最高气温低于20 ℃,则需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到如下的频数分布表: 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率. 18.甲、乙两位同学参加某高校的入学面试.入学面试中有3道难度相当的题目,已知甲答对每道题目的概率都是,乙答对每道题目的概率都是.若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是相互独立的,且甲、乙两人互不影响. (1)求甲第二次答题通过面试的概率; (2)求乙最终通过面试的概率; (3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率. 19.某地为了解居民可支配收入情况,随机抽取100人,经统计,这100人去年可支配收入(单位:万元)均在区间[4.5,10.5]内,按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分成6组,频率分布直方图如图所示,上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1. (1)求a,b的值,并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)用样本的频率估计概率,从该地居民中抽取甲、乙、丙3人,若每次抽取的结果互不影响,求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率. 参考答案 1.A　由题意可得,表示第二次摸到的不是白球,即表示第二次摸到的是黄球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到黄球互不影响,故事件A1与是相互独立事件. 故选A. 2.C　记“甲出石头”“甲出剪刀”“甲出布”分别记为事件A1,A2,A3; 记“乙出石头”“乙出剪刀”“乙出布”分别记为事件B1,B2,B3. 该实验样本空间为Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3)},共9个样本点,其中“游戏只进行一回合就分出胜负”的样本点为除了(A1,B1),(A2,B2),(A3,B3)3个样本点之外的剩余6个样本点,故游戏只进行一回合就分出胜负的概率为. 故选C. 3.C　由题意可得事件共有18-10=8个样本点,由A∪B有16个样本点,又P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B),故A∩B共有10+8-16=2个样本点,则∩B有8-2=6个样本点,故P(∩B)=.故选C. 4.A　在20组数据中,至少击中3次的为7527,9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共8次,故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为=0.4.故选A. 5.C　空气质量为优、良、轻微污染彼此互斥,所求概率为.故选C. 6.D　由题意可知事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,但其中必有一个发生,故事件E与事件G对立,所以B错误,D正确;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A,C错误.故选D. 7.D　该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共有15个样本点,b>a包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以b>a的概率是.故选D. 8.A　设事件A1为“取出的都是白球”,事件A2为“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1∪A2,P(A)=P(A1)+P(A2)=. 设事件B1为“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,事件B2为“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,则B1,B2互斥,且B=B1∪B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=. 因为m≠n,所以2mn<m2+n2, 故P(A)<P(B).故选A. 9.CD　由题图知,参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60(人),只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10,6,8,故只属于音乐小组的概率为;只属于英语小组的概率为,故A,B错误; “属于至少2个小组”包含“属于2个小组”和“属于3个小组”两种情况,故他“属于至少2个小组”的概率为; “属于不超过2个小组”包含“属于1个小组”和“属于2个小组”两种情况,其对立事件是“属于3个小组”,故他“属于不超过2个小组”的概率P=1-,故C,D正确.故选CD. 10.CD　甲胜的概率为,表示甲每次获胜的可能性都是,但不一定比赛5场,甲胜3场,故A错误;事件A与B都包含“向上的点数为1”这个事件,故不是对立事件,故B错误;由频率的概念可知抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是,故C正确;频率在一定程度上反映了事件发生的可能性,随着实验次数的改变而改变,当实验次数相当大时,频率非常接近概率,而概率是事件本身的属性,不随实验次数的多少而改变,是定值,故D正确.故选CD. 11.BD　甲系统正常工作的对立事件是A1,A2中至少有一个元件不能正常工作,且A3,A4中至少有一个元件不能正常工作,∴甲系统正常工作的概率P=1-(1-p2)(1-p2)=2p2-p4,故A错误,B正确;乙系统正常工作的情况为A1,A2中至少有一个元件能正常工作,且A3,A4中至少有一个元件能正常工作,∴乙系统正常工作的概率P=[1-(1-p)2][1-(1-p)2]=p4-4p3+4p2,故C错误;∵0<p<1,∴(2p2-p4)-(p4-4p3+4p2)=<0,∴甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率,故D正确.故选BD. 12.750　设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为,由题意得,∴n=750. 13.　由频率分布直方图得,(0.010+a+b+0.035+0.010)×10=1,∴a+b=0.045,又a=2b,解得a=0.030,b=0.015. ∵[50,60),[60,70)两段频率比为0.1∶0.15=2∶3, ∴按照分层随机抽样的方式从分数在[50,60)内的市民中抽取2人,记为a1,a2,从分数在[60,70)内的市民中抽取3人,记为b1,b2,b3,设x1,x2分别表示从这5人中抽取的2人,则数组(x1,x2)表示该试验的样本点. ∴该试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点, 其中,至少有1人的分数在[50,60)内包含的样本点有7个,∴至少有1人的分数在[50,60)内的概率P=. 14.(1)　(2)　(1)该客户需要等待意味着A与B同时被占用,故所求概率P1=. (2)依题意,该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率P2=. 15.解根据题意,可以用(x,y)来表示得到的点数情况,则试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16种情况. (1)记“为整数”为事件A,则A={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)},共8种情况,则P(A)=. (2)记“x-y<2”为事件B,则B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)},共13种情况,则P(B)=. 16.解(1)样本空间Ω={(A1,A1),(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A1),(A2,A2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A1),(A3,A2),(A3,A3),(A3,B1),(A3,B2),(B1,A1),(B1,A2),(B1,A3),(B1,B1),(B1,B2),(B2,A1),(B2,A2),(B2,A3),(B2,B1),(B2,B2)},共25个样本点. 记抽到两人都是男生的事件为A,事件A包含的基本事件有 (A1,A1),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A1),(A2,A2),(A2,A3),(A3,A1),(A3,A2),(A3,A3),共9个,则P(A)=. (2)样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A1),(A3,A2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,A1),(B1,A2),(B1,A3),(B1,B2),(B2,A1),(B2,A2),(B2,A3),(B2,B1)},共20个;记选到至少有一名女生的事件为B,事件B包含的基本事件有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,A1),(B1,A2),(B1,A3),(B1,B2),(B2,A1),(B2,A2),(B3,A3),(B2,B1),共14个,则P(B)=. 17.解(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,得到最高气温位于区间[20,25)内和最高气温低于20 ℃的天数为2+16+36=54,∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P=. (2)当最高气温大于等于25 ℃时,需求量为500瓶,Y=450×(6-4)=900(元); 当最高气温位于区间[20,25)内时,需求量为300瓶,Y=300×(6-4)-(450-300)×(4-2)=300(元); 当最高气温低于20 ℃时,需求量为200瓶, Y=200×(6-4)-(450-200)×(4-2)=-100(元). 当最高气温大于等于20 ℃时,Y >0, 由前三年六月份各天的最高气温数据得,当温度大于等于20 ℃的天数为90-(2+16)=72, ∴估计Y大于零的概率P=. 18.解(1)设“甲第二次答题通过面试”为事件A,则P(A)=. (2)设“乙最终通过面试”为事件B,对立事件为“乙最终没通过面试”, ∵P()=, ∴P(B)=1-. (3)设“甲、乙两人至少有一人通过面试”为事件C,对立事件为“甲、乙两人都没有通过面试”, ∵P()=, ∴P(C)=1-. 19.解(1)由频率分布直方图,可得0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1,则a+b=0.55①, 因为居民收入数据的第60百分位数为8.1, 所以0.05+0.12+a+(8.1-7.5)×b=0.6, 则a+0.6b=0.43②, 将①与②联立,解得 所以平均值为0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.72. (2)根据题意,设事件A,B,C分别为甲、乙、丙在[7.5,8.5)内,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3. ①事件“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内”可表示为AB∪AC∪BC,且AB,AC,BC两两互斥,则P1=P(AB∪AC∪BC)=0.3×0.3×(1-0.3)+0.3×(1-0.3)×0.3+(1-0.3)×0.3×0.3=0.189. ②事件“抽取3人全在[7.5,8.5)内”可表示为ABC, 则P2=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027, 所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为P1+P2=0.189+0.027=0.216. 11 学科网（北京）股份有限公司 $