强化课 古典概型的综合应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

课后达标 检测 一、选择题 1．抛掷一枚质地均匀的硬币4次，恰好两次正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.若用A表示正面朝上，用B表示反面朝上，则抛掷一枚质地均匀的硬币4次的样本点有，，，，，，，，，，，，，，，，共16个， 其中恰好两次正面朝上的有6个， 所以所求概率为. 2．[2024·山东青岛月考]任取一个三位正整数，则是一个正整数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.易知三位正整数有900个，而使得 为正整数的 应是2的正整数幂，显然满足要求的有，，，共3个，所以概率为.故选B. 3．甲、乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.甲、乙两人参加学习小组，若以 表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B， 则样本空间，，，，，，，，共9个样本点，且每个样本点出现的可能性相等， 其中两人参加同一个学习小组的样本点共有3个，则所求概率为. 4．刘徽是魏晋时代著名数学家，他给出的阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，即把1，2， ，排成的方阵，使其每行、每列和对角线上的数字之和均相等.如图是3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有4或6的概率是（ ） 8 1 6 3 5 7 4 9 2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.随机抽取和为15的三个数包含的样本点为，，，，，，，，共8个， 其中含有4或6的样本点有，，，，，共5个， 则含有4或6的概率是. 5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件,则发生的概率不超过的事件是（ ） A. 恰有1件一等品 B. 至少有1件一等品 C. 至多有1件一等品 D. 都不是一等品 【答案】D 【解析】选D.将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：，，，，，，，，，．其中恰有1件一等品的取法有，，，，，，共6种，则恰有1件一等品的概率为，A不符合题意；恰有2件一等品的取法有，，，共3种，则恰有2件一等品的概率为，其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为，C不符合题意；都不是一等品的取法只有，其概率为，D符合题意；至少有1件一等品的概率为，B不符合题意.故选D. 6．从这20个整数中随机选择一个数，选到的数能被2整除的概率为，选到的数能被3整除的概率为，选到的数能被2整除也能被3整除的概率为，则这个数能被2整除或能被3整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.设事件A为“选到的数能被2整除”，则，事件B为“选到的数能被3整除”，则，而事件“选到的数能被2整除也能被3整除”为，且，因为事件A，B不是互斥事件，所以. 7．已知函数的定义域为,0,，值域为，则函数是偶函数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为 的定义域为,0,，关于原点对称，值域为， 所以有 或 或 或 或 或 共6个样本点， 而当 和 时，满足 是偶函数，有2个样本点， 所以 是偶函数的概率.故选B. 8．（多选）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. 时的概率为 B. 时的概率为 C. 时的概率为 D. 是6的倍数的概率是 【答案】CD 【解析】选.先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.满足 的情形有，，，，，，故，故A错误；满足 的情形有，，,，，，，，，故，故B错误；满足 的情形有，，，，故，故C正确；满足 是6的倍数的情形有，,，,,,故,故D正确.故选. 9．（多选）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占，需要维修2次的占，需要维修3次的占.设“一年内需要维修次”，,1,2,3,则下列事件的概率正确的是（ ） A. 在一年内需要维修的概率为0.25 B. 在一年内不需要维修的概率为0.75 C. 在一年内维修不超过1次的概率为0.90 D. 在一年内最多需要维修2次的概率为0.94 【答案】ABC 【解析】选.依题意得，，，因为，，，彼此互斥，所以.对于A，记事件A为“一年内需要维修”，则,所以，A正确；对于B,记事件B为“一年内不需要维修”，则，所以，B正确；对于C，记事件C为“在一年内维修不超过1次”，则，所以，C正确；对于D，记事件D为“一年内最多需要维修2次”，则，所以，D错误. 10．（多选）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是（ ） A. 应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人 B. 第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为 C. 第5组志愿者被抽中的概率为 D. 第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为 【答案】ABC 【解析】选.第3组抽取的人数有，第4组抽取的人数有，第5组抽取的人数有，故A正确；设第3组的人分别为,,，第4组的人分别为,，第5组的人为，则6人中随机抽取2人有,,,,,,,,，,,,,,，共15个样本点，其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8个样本点，则其概率为，故B正确；第5组志愿者被抽中有5个样本点，其概率为，故C正确；第3组志愿者至少有一人被抽中有12个样本点，其概率为，故D错误.故选. 二、填空题 11．[2024·广东广州模拟]甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，则甲站在边上的概率为________. 【答案】 【解析】方法一:如图所示. 由图可看出共有24个样本点. 设“甲站在边上”为事件，则 包含（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，丙，甲），（丙，乙，丁，甲），（丙，丁，乙，甲），（丁，乙，丙，甲），（丁，丙，乙，甲），共12个样本点.故. 方法二：甲、乙、丙、丁四人站队，排头和排尾的站法有（甲，乙），（乙，甲），（甲，丙），（丙，甲），（甲，丁），（丁，甲），（乙，丙），（丙，乙），（乙，丁），（丁，乙），（丙，丁），（丁，丙），共12个样本点，设“甲站在边上”为事件，则 包含（甲，乙），（乙，甲），（甲，丙），（丙，甲），（甲，丁），（丁，甲），共6个样本点. 故. 12．据文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏： 表1 赵 钱 孙 李 周 吴 郑 王 冯 陈 褚 卫 蒋 沈 韩 杨 朱 秦 尤 许 何 吕 施 张 表2记录了某校学生人数最多的前12大姓氏： 表2 1：李 2：王 3：张 4：刘 5：陈 6：杨 7：赵 8：黄 9：周 10：吴 11：徐 12：孙 从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏，则这个姓氏是该校学生人数最多的前12大姓氏的概率为________. 【答案】 【解析】该校学生人数最多的前12大姓氏也是《百家姓》的前24大姓氏的是赵、李、周、吴、王、陈、杨、张、孙，共9个，故所求概率为. 13．连续抛掷一个质地均匀的骰子两次，得到的点数依次为,，则使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为__________. 【答案】 【解析】若方程 有2个互不相等的实数根，则.连续抛掷一个质地均匀的骰子两次，得到的点数依次为,,记为,所有可能的结果共36种，其中满足题意的有，，，，，，，,，，，，，，，，，共17种.故使得关于 的方程 有2个互不相等的实数根的概率为. 14．小明从正方形的四个顶点中任选两个顶点连了一条经过这2个点的直线，小红也从该正方形的四个顶点中任选两个顶点连了一条经过这2个点的直线，则这两条直线互相垂直的概率为________. 【答案】 【解析】因为经过正方形两个顶点的直线有6条，则小明、小红分别从这6条直线中任选1条，有 个样本点，它们等可能，而正方形经过2个顶点的直线中，互相垂直的直线有5对，每一对这样的直线，小明选1条，小红选另1条，有2个结果，因此小明、小红选取的两条直线互相垂直的样本点有10个，所以这两条直线互相垂直的概率. 三、解答题 15．已知二次函数，设集合,,1,2,3,,分别从集合和中随机取一个数，作为和，得到数对. （1） 列举出所有的数对，并求函数有零点的概率； （2） 求函数在区间上单调递增的概率. 【答案】 （1） 解：数对 的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点. 若函数 有零点，则，满足条件的有，，，，，，共6个样本点，所以函数 有零点的概率为. （2） 函数 的图象的对称轴为直线 且,又 在区间 上单调递增，则,有，，，，，，，，，，，，，共13个样本点，所以函数 在区间 上单调递增的概率为. 16．科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为，，，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为占，占，占．现有3个，2个，个．若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是的概率为． （1） 求； （2） 若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率． 【答案】（1） 解：依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是 的概率,则，解得. （2） 记3个 分别为，，，2个 分别为，，1个 为，从中随机选取2个，所有的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点，它们等可能发生， 其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有，，，，共4个样本点，其概率，所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是. 17．某企业为了解广大球迷对世界杯的了解程度，在球迷中开展了网上测试，从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示. （1） 根据频率分布直方图，求的值； （2） 若从得分在内的球迷中用分层随机抽样的方法抽取6人作世界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取的2人中至少有1名球迷得分在内的概率. 【答案】（1） 解：，解得. （2） 由分层随机抽样可知，从得分在 内的球迷中抽取（人），分别记为，，，从得分在 内的球迷中抽取（人），分别记为，，从得分在 内的球迷中抽取（人），记为.所以从这6人中选取2人的样本点有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，两人中至少有1名球迷得分在 内的样本点有，，，，，，，，，共9个.所以选取的2人中至少有1名球迷得分在 内的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $