精品解析：2026年内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校初中学业水平考试考前模拟数学试卷

内蒙古2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用实数比较大小的基本规则：正数大于0和一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小即可得到答案． 【详解】解：∵正数大于0和一切负数， ∴排除正数1和0，只需比较两个负数和， ∵，，且， ∴， ∴， ∴最小的数是． 2. 下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 3. 如图是一个圆柱体被截去一小半后剩下的几何体，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形，进行判断即可，注意，存在看不见的用虚线表示． 【详解】解：一个圆柱体被截去一小半后剩下的几何体，该几何体的左视图是 . 4. 如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（　　） A. 60° B. 120° C. 30° D. 15° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠1=120°，∠1与∠3是对顶角， ∴∠1=∠3=120°， ∵直线a∥b， 故选：A． 【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解本题的关键． 5. 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵有意义 ∴ 解得： 在数轴上表示为： 6. 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ） A. （﹣4，﹣3） B. （4，3） C. （4，﹣3） D. （﹣4，3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答． 【详解】解：∵点A（﹣4，3），点A与点B关于原点对称， ∴点B（4，﹣3）． 故选C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是解题的关键． 7. 如图，四边形内接于圆O，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出的度数和得出． 根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵对的圆周角是，圆心角是，， ∴， ∵A、B、C、D四点共圆， ∴， ∴， 故选：C． 8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知的值即为该校的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两所学校的优秀人数相同． 【详解】解：根据题意，可知的值即为该校的优秀人数， 描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 乙、丁两所学校的优秀人数相同， 点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， 丙学校的的值最大，即优秀人数最多，甲学校的的值最小，即优秀人数最少． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≠3 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不为0，列不等式求解即可. 【详解】解：根据题意，要使分式有意义，必须使x-3≠0,解得：x≠3 故答案为：x≠3 【点睛】本题考查了分式有意义，分母不为0． 10. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为__________天， 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设规定时间为天，根据快马的速度是慢马的倍列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，根据题意得： ， 整理得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：11． 11. 如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点．已知，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】首先证明，由全等三角形的性质可得，进而可得；根据等腰三角形的性质可得，即；再证明，易得；结合解得，即为等腰直角三角形，进一步可得． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，在矩形中，，，点O为边上一点，且，点E在边上．将矩形沿折叠，若线段恰好经过点D，则线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，，，可知，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，，则，，可知即D为中点，延长交于N，证明，得到，，设，则，根据等角对等边得到，求出，过点作于点，则四边形为矩形，可知，，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∵， ∴ 在中， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴，即D为中点， 延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 解得：， 过点作于点， 则四边形为矩形 ∴， ∵， ∴ 在中，． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照先算括号内，再算乘方，再算乘法，最后算加减的运算顺序求解； （2）先对分子分母因式分解，再约去公因式得到化简结果； 【小问1详解】 解：   ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题：本题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 某地区面向社会进行教师招考，招考分笔试和面试两个环节．某岗位计划招聘4位教师，现有30人参加笔试环节，笔试成绩前12名入围面试环节，最后按笔试成绩占，面试成绩占合成个人最终成绩．现收集了30名报考者的笔试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．30个数据的频数分布直方图如图： （数据分5组：） ．30个数据在这一组的是： 65 66 66 67 69 71 72 72 73 73 73 74 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布直方图中的值是____________，这30个数据的中位数是____________； （2）若一名报名者的笔试成绩为72分，判断他能否进入面试，并说明理由． （3）面试过后，经过成绩核算，总分不低于分的选手入围，甲的面试成绩是93分，恰好排第4名入围，请求甲的笔试成绩． 【答案】（1）6；70 （2）不能，， ∴前12名应该是这两组的人数和这一组的前4名，分别是74，73，73，73． 故72分不能入围． （3） 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其他组的人数即可；再由中位数的定义求解即可； （2）结合题意得出这一组的前4名，分别是74，73，73，73．即可进行判断； （3）设甲的笔试成绩为，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∵共有30人 ∴中位数为第15，,16名报考者的笔试成绩的中位数， ∵， ∴第15，,16名报考者的笔试成绩分别为69,71， ∴中位数为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设甲的笔试成绩为，则， 解得． 15. “端午临中夏，时清日复长”临近端午节时，新余市仙女湖景区为开展非遗手工体验活动，需采购两种材料：类夏布绣材料和类竹编材料．据了解，市场上类竹编材料的单价比类夏布绣材料高5元/份，购买5份类材料和6份类材料共花费250元． （1）求、两类材料的单价； （2）仙女湖景区计划采购两类材料共100份，且类数量不超过类的两倍，如何采购使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1） A类材料单价为20元/份，B类材料单价为25元/份 （2） 采购A类材料66份，B类材料34份时总费用最低，最低费用为2170元 【解析】 【分析】 （1）设A类材料单价，根据单价关系表示出B类单价，结合总花费条件列方程求解即可得到两类材料的单价； （2）设采购A类材料的数量，根据“A类数量不超过B类的两倍”得到自变量的取值范围，列出总费用的一次函数表达式，根据一次函数的增减性即可求出最低采购费用． 【小问1详解】 解：设A类材料的单价为元/份，则B类材料的单价为元/份， 根据题意得， 解得， 则， 答：A类材料单价为20元/份，B类材料单价为25元/份． 【小问2详解】 解：设采购A类材料份，总费用为元，则采购B类材料份， 根据题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为， 总费用， ∵，∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，， 此时， 答：采购A类材料66份，B类材料34份时总费用最低，最低费用为2170元． 16. 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与相切于点，点，，均在上，且为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点，，连接，，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2） 【解析】 【分析】（1）由直径所得的圆周角为直角可得，，结合可得； （2）连接，由切线的性质可得，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可得，从而证明，因此，代入数值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 17. 综合与实践 设计自由式小轮车的训练场地 问题背景 图1是某极限运动公园的自由式小轮车训练基地，数学探究小组计划以此为参考，为其他训练基地进行场地设计． 建立模型 图2是数学探究小组设计的自由式小轮车部分训练场地的示意图，从左向右依次为水平跳台段，抛物线中段，水平跳台段，抛物线中段，抛物线由抛物线水平向右平移得到，以及最终的减速停止区．以抛物线的顶点为坐标原点O，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 数模实测 根据实际需求，设计水平跳台段的高度为4米，过渡点B与y轴水平距离为4米，过渡点C与y轴水平距离为3米，长为0.25米．若骑行者从B点进入坡道段，然后从C点跳跃，在最高点G做空中转体等表演动作，最后从E点降落进入坡道段，整个空中运动轨迹是抛物线中段，抛物线的对称轴为直线，E点与C点的水平距离为1.25米． 拓展资料 ①从看到障碍物到捏下刹车需要反应时间，这是任何人不可避免的反应延迟．反应时间内小轮车保持原速，这段距离为反应距离．刹车生效后，小轮车减速至停止，这段距离为制动距离．安全距离等于反应距离加制动距离． ②当物体做匀减速直线运动时，末速度v，初速度，加速度a，与位移s（从起点指向终点的有向线段的长度）满足关系式． 问题解决： （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出点C，点E的坐标； （3）若骑行者在最高点G处做空中转体等表演动作，求最高点G与跳台的垂直距离； （4）若骑行者从过渡点F进入减速停止区时的速度为，并在此时考虑减速，反应时间0.5s，之后以的加速度做匀减速直线运动，请计算该训练场地应至少设计多长的安全距离． 【答案】（1） （2）， （3）最高点G与跳台的垂直距离米 （4）该训练场地应至少设计安全距离为米 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据抛物线的顶点为坐标原点O，设抛物线的解析式为，把代入计算即可； （2）先求出，再得到，根据平移设抛物线解析式为，，把代入得抛物线解析式为，最后根据E点横坐标为，求坐标即可； （3）根据抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式，把，，代入得抛物线的解析式，即可求出最高点，最后计算最高点G与跳台的垂直距离即可； （4）根据反应距离、制动距离、安全距离的定义求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵抛物线的顶点为坐标原点O， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵过渡点C与y轴水平距离为3米，点在第一象限， ∴点横坐标为， 当时，， ∴； ∵长为0.25米， ∴，即， ∵抛物线中段，抛物线由抛物线水平向右平移得到， ∴设抛物线解析式为，， 把代入得， 解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为， ∵E点与C点的水平距离为1.25米， ∴E点横坐标为， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：∵抛物线中段，抛物线的对称轴为直线， ∴设抛物线的解析式， 把，，代入得， ∴解得， ∴抛物线的解析式， ∴抛物线的最高点， ∴最高点G与跳台的垂直距离米； 【小问4详解】 解：∵骑行者从过渡点F进入减速停止区时的速度为，并在此时考虑减速，反应时间，之后以的加速度做匀减速直线运动， ∴反应距离为米，制动距离满足，解得， ∴该训练场地应至少设计安全距离为米． 18. 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 【答案】 （1）．理由如下： 是绕点顺时针旋转得到的， ，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ，D，G三点共线． ，， ， ， ， ． ， ， ． （2）①；②；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及旋转的性质证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； ②根据相似三角形的性质以及已知条件可得，设，则，勾股定理可得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （3）由平移的性质可得，．由，设，，勾股定理可得，根据的长得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）①， ． 在矩形中，，， ， ， ， ． ， ． ②，， ． 设，则， ， ． （3）由平移的性质可得，． 点为的中点， 垂直平分， ． ， 设，， ， ． ， ， 解得， ． ，设， ． 在中，， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个圆柱体被截去一小半后剩下的几何体，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（　　） A. 60° B. 120° C. 30° D. 15° 5. 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ） A. （﹣4，﹣3） B. （4，3） C. （4，﹣3） D. （﹣4，3） 7. 如图，四边形内接于圆O，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 10. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为__________天， 11. 如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点．已知，则_____． 12. 如图，在矩形中，，，点O为边上一点，且，点E在边上．将矩形沿折叠，若线段恰好经过点D，则线段的长是________． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 13. 计算： （1）； （2）． 四、解答题：本题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 某地区面向社会进行教师招考，招考分笔试和面试两个环节．某岗位计划招聘4位教师，现有30人参加笔试环节，笔试成绩前12名入围面试环节，最后按笔试成绩占，面试成绩占合成个人最终成绩．现收集了30名报考者的笔试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．30个数据的频数分布直方图如图： （数据分5组：） ．30个数据在这一组的是： 65 66 66 67 69 71 72 72 73 73 73 74 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布直方图中的值是____________，这30个数据的中位数是____________； （2）若一名报名者的笔试成绩为72分，判断他能否进入面试，并说明理由． （3）面试过后，经过成绩核算，总分不低于分的选手入围，甲的面试成绩是93分，恰好排第4名入围，请求甲的笔试成绩． 15. “端午临中夏，时清日复长”临近端午节时，新余市仙女湖景区为开展非遗手工体验活动，需采购两种材料：类夏布绣材料和类竹编材料．据了解，市场上类竹编材料的单价比类夏布绣材料高5元/份，购买5份类材料和6份类材料共花费250元． （1）求、两类材料的单价； （2）仙女湖景区计划采购两类材料共100份，且类数量不超过类的两倍，如何采购使总费用最低？最低费用是多少？ 16. 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与相切于点，点，，均在上，且为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点，，连接，，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 17. 综合与实践 设计自由式小轮车的训练场地 问题背景 图1是某极限运动公园的自由式小轮车训练基地，数学探究小组计划以此为参考，为其他训练基地进行场地设计． 建立模型 图2是数学探究小组设计的自由式小轮车部分训练场地的示意图，从左向右依次为水平跳台段，抛物线中段，水平跳台段，抛物线中段，抛物线由抛物线水平向右平移得到，以及最终的减速停止区．以抛物线的顶点为坐标原点O，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 数模实测 根据实际需求，设计水平跳台段的高度为4米，过渡点B与y轴水平距离为4米，过渡点C与y轴水平距离为3米，长为0.25米．若骑行者从B点进入坡道段，然后从C点跳跃，在最高点G做空中转体等表演动作，最后从E点降落进入坡道段，整个空中运动轨迹是抛物线中段，抛物线的对称轴为直线，E点与C点的水平距离为1.25米． 拓展资料 ①从看到障碍物到捏下刹车需要反应时间，这是任何人不可避免的反应延迟．反应时间内小轮车保持原速，这段距离为反应距离．刹车生效后，小轮车减速至停止，这段距离为制动距离．安全距离等于反应距离加制动距离． ②当物体做匀减速直线运动时，末速度v，初速度，加速度a，与位移s（从起点指向终点的有向线段的长度）满足关系式． 问题解决： （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出点C，点E的坐标； （3）若骑行者在最高点G处做空中转体等表演动作，求最高点G与跳台的垂直距离； （4）若骑行者从过渡点F进入减速停止区时的速度为，并在此时考虑减速，反应时间0.5s，之后以的加速度做匀减速直线运动，请计算该训练场地应至少设计多长的安全距离． 18. 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $