期末必考题检测卷-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 融合科技前沿（如纳米材料研究）与文化传承（如二十四节气），梯度设计考查数学眼光、思维与语言，适配七年级下册期末综合检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|科学记数法、轴对称、平行线性质|结合《科学》论文情境考抽象能力| |填空题|6|同底数幂运算、网格角度计算|以“抖空竹”抽象几何模型考空间观念| |解答题|8|整式运算、概率应用、几何证明|24题“倍长中线”模型迁移考推理意识，23题新定义运算与矩形面积结合考应用意识|

期末必考题检测卷-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列文字语言与图形语言相符的是（    ） A．点P在直线n上 B．点M在的外部 C．直线m、n相交于点B D．可以用表示 4．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线相交于点，点在直线上．利用直尺和圆规作，下列结论错误的是（   ） A．弧②与弧①的半径相等 B． C．的理论依据是“同位角相等，两直线平行” D． 8．如图是一张台球桌的桌面示意图，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰着上的点后便反弹滚向桌边，碰着上的点后便反弹滚向点．已知，滚动路径，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．已知四边形为长方形．如图，点在线段上，将其沿折叠得到图，分别交于，再将沿折叠得到图，点恰好落在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 10．“以数解形”“以形助数”数形结合的思想方法在数学学习中非常重要．如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别于点Q，P．若四边形和四边形都是正方形，，，则正方形的边长为（   ） A．8 B．6 C．7 D．5 二、填空题 11．已知，则的值为_____． 12．如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 13．如图，小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是______． 14．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是_____（从“黑球”、“白球”、“红球”、“黄球”中选择一个填空） 15．如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 16．如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为___________． 三、解答题 17．计算： (1) (2) (3) (4) 18．先化简，再求值： (1)，其中，； (2) ，其中，且． 19．如图，正方形网格的每个小正方形的边长为．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)求的面积． 20．如图，直线交于点O，平分，，，求的度数． 阅读下面的解答过程并填空． 解：∵（已知）， ____°． ∵___，， ___． ∵直线交于点O（已知）， （________）． ∵平分（已知）， ________（角平分线定义）． 即_______． 21．某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． (1)求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． (2)求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． (3)若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 22．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 23．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 24．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末必考题检测卷-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C D B D B B B 1．D 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是熟练应用知识点解题；科学记数法的表示形式为为整数，据此表示即可． 【详解】解：∵ ∴故选：D． 2．D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3．C 【分析】此题考查了点与直线的位置关系、角的内部与外部、两直线相交、角的表示等知识．根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 点P在直线n外，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； B. 点M在的内部，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； C. 直线m、n相交于点B，故文字语言与图形语言相符，符合题意；     D. 不可以用表示，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； 故选：C 4．C 【分析】本题考查的是事件的分类，准确区分必然事件、随机事件、不可能事件是解题的关键．根据事件发生的可能性，“手可摘星辰”是不符合客观现实的，属于不可能事件． 【详解】解：：“黄河入海流”是必然事件； ：“大漠孤烟直”是随机事件； ：“手可摘星辰”是不可能事件； ：“红豆生南国”是随机事件． 故选：． 5．D 【分析】本题考查了单项式乘法、合并同类项、同底数幂的除法及积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．根据整式的运算法则，包括单项式乘法、合并同类项、同底数幂的除法及积的乘方，逐项计算判断． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了两直线平行同旁内角互补，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据两直线平行同旁内角互补求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，平行线的性质与判定，由作图方法可知，弧②与弧①的半径相等，，则可由同位角相等，两直线平行得到，再由平行线的性质可得，根据现有条件无法得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，弧②与弧①的半径相等，， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中，只有D选项中的结论错误，符合题意， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的性质及垂直的性质．解题关键是熟练掌握它们的性质．由垂直的定义得到，进而求出，利用角平分线性质求出，依据平行线和垂直关系推出，得到， 再由角平分线性质确定，最后根据，用减去得出度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 的平分线垂直于，的平分线垂直于， ∴，，， ， ， ， ∵平分， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查的是长方形与折叠的问题，平行线的性质，由折叠性质得到角相等是关键．先利用长方形的直角与对边平行性质，结合第一次折叠得到等角关系推出，再由平行线性质得到；接着结合第二次折叠的等角关系，算出，最后通过平角定义推出，从而得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 由折叠得：，， ∴ ， ∵， ∴， 由折叠得，且在上， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，：设，则可得到，根据得到，根据长方形的面积公式得到，据此根据完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∵重叠部分是面积为8的长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴正方形的边长为6， 故选：B． 11．/ 【分析】本题主要考查同底数幂的除法运算法则的逆用．先逆用同底数幂的除法运算法则，即，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查用判定三角形全等，从而将与转移到同一个三角形中求得． 【详解】解：如图，在和中： ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．/度 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点C作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． 故答案为：． 14．白球 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到黑球的概率为，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是白球， 故答案为：白球． 15．6 【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质；由题意易得，，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：6． 16． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用． 六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴ ∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ． ∵正方形与六边形面积相等： ∴ ∴． 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再相加减即可； （2）运用平方差和完全平方公式进行计算； （3）用多项式中的每一项除以，再相加减即可； （4）运用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．(1)，12 (2)，96 【分析】（1）先利用多项式除以单项式，平方差公式进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别确定、、关于的对称点、、，再顺次连接即可； （2）由对称可得，则，当、、三点共线时，的值最小，所以连接交于，则即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，连接交于，则即为所求； （3）． 20．；；；对顶角相等；； 【分析】根据垂线定义得出，求出，再根据对顶角相等得出，根据角平分线定义求出结果即可． 【详解】解：∵（已知）， ． ∵，， ， ∵直线交于点O（已知）， （对顶角相等）． ∵平分（已知）， （角平分线定义）． 即． 21．(1) (2) (3)选择转转盘方式或翻奖牌方式，理由见解析 【分析】（）本题考查古典概型，解题核心是数出转盘中 “10 元” 区域的数量，结合总区域数，用概率公式计算； （）本题考查古典概型，解题核心是数出翻奖牌中能获得代金券的卡片数量，结合总卡片数，用概率公式计算； （）本题考查概率的实际应用与决策，解题核心是分别计算两种方式的期望代金券金额，通过比较大小选择更有利的方式． 【详解】（1）解：转转盘方式中，所有等可能的结果有8种，其中顾客获得10元代金券的结果有4种，所以（顾客获得10元代金券）； （2）解：翻奖牌方式中，所有等可能的结果有9种，其中顾客获得代金券的结果有6种，所以（顾客获得代金券）； （3）解：答案不唯一．例如： 选择转转盘方式：因为转转盘方式获得代金券的概率为，大于翻奖牌方式获得代金券的概率． 选择翻奖牌方式：因为翻奖牌方式有的概率获得30元的代金券． 22．(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 23．(1)11 (2)①；② 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）①利用新定义的运算法则化简，再整体代入求解即可； ②利用矩形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，再将①中数据整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②图中阴影部分的面积 ， ∵，， ∴原式． 24．(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长至点，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解：， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵为整数，， ∴的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $