第五章 三角形 全等三角形常见模型专题 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 以四大模型为框架，通过"模型识别-辅助线构造-全等判定"三阶训练，系统培养几何直观与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公共边模型|2题|公共边隐含全等条件，利用AAS/ASA转化边角关系|从基础图形到含角平分线的综合证明，构建"公共元素"转化思维| |三垂直模型|3题|垂直条件推导等角，一线三垂直构造K型全等|从静态图形到直线旋转动态问题，形成位置关系分类讨论能力| |一线三等角模型|4题|等角顶点共线时，利用外角性质证全等|从特殊直角到一般角度，培养模型变式迁移能力| |手拉手模型|5题|共顶点等腰三角形旋转， SAS证全等得线段关系|从等腰直角到普通等腰三角形，建立旋转全等的动态认知|

全等三角形常见模型专项复习 一、公共边模型 1.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3, BE=1,则DE的长是() B E◇ A月 B.2 C.2√2 D.10 2.己知，如图△ABC中，AB=AC,∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E, ∠BDC=90°， 求证：CE=2BD. 二、三垂直模型 3.如图，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.AD=5cm,DE=3cm, BE=cm B 4.已知ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,经过A点做一条直线1.作BE⊥EF, CF⊥EF,垂足分别为E,F 图1 图2 (1)如图1，求证：BE+CF=EF. (2)如图2，找出BE,CF,EF之间的数量关系，并证明. 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B、点C作过点A的直线的垂 线BD、CE,垂足为点D、E.若BD=6,CE=2,求DE的长. D 三、一线三等角模型 6.如图①，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点C在ABC外作直线I,AM⊥I于点 M,BN⊥I于点N. B 图① 图② (1)试说明：MN=AM+BN; (2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=(90°<a<180),AC=BC,请 问(1)中的结论DE=AD+BE是否还成立？请说明理由. 7.综合与实践 在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E,在直线m上方有AB=AC,且满足 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=a (1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE、BD、CE之间满足的数量关系，并进行证明； B ▣ D A E m D A E mF 图1 图2 图3 (2)如图2，当0<a<180°时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若 成立，请进行证明； (3)如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,LBAD<∠CAE, ∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3BF,△ABC的面积 是12，请求出△FBD与△ACE的面积之和. &.在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： M M D E N C D B B D 图1 图2 图3 ①△ADC≌△CEB. ②DE=AD+BE· (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE, (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写 出这个等量关系，并加以证明. 9.一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂 线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为”一线三垂直”模型， M M 入 图 图2 图3 M D 图4 (1)如图1，在ABC中，∠BAC=90,AB=AC,点A在直线MN上，过点B作BD⊥MN于 点D,过点C作CE⊥MN于点E,由∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°得 ∠DBA= ·又知道∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌△CAE, 进而得到AD=CE,AE= (2)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE. 3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE,之间的数 量关系： (4)如图4，若将（1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线 MW上，且满足∠BDA=∠BAC=∠AEC=a,其中a为任意锐角或钝角，请问结论 △ABD≌aCAE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 四、手拉手模型 10.己知：如图，△ABD和△AEC都是等腰直角三角形， AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，连结CD,BE相交于点F,AD与BE相交于点 M.求证：BE⊥CD. 11如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,LBAC=∠DAE,点D在BC上，连接 CE. F (1)△ABD≌△ACE吗？请说明理由； (2)若DF⊥AC,点F在线段CE上，且CF=2,FE=3,求BC的长. 12.(1)如图1，ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD,BE,若BE∥CD,则 ∠BEC的度数是 图1 图2 图3 (2)如图2，ABC和△CDE都是等边三角形，点A,D,E在同一条直线上，连接BE,求 证：AE=BE+CE, (3)如图3，ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D, E在同一条直线上，CM⊥AE于点M,连接BE,求∠AEB的度数以及线段CM,AE, BE之间的数量关系. 13.综合与探究 问题背景：△ABE和aCDE为等腰直角三角形，∠AEB=∠CED=90°，AE=BE,CE=DE ,连接BD,AC. 图1 图2 图3 问题初探： (1)如图1，当B,E,C三点在同一条直线上时， ①BD与AC的位置关系为 ②BD与AC的数量关系为」 拓展探究： (2)如图2，当B,E,C三点不在同一条直线上时，BD与AC交于点F,试判断(1)中 BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由. (3)如图3，将(2)中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判 断(2)中BD与AC的位置关系和数量关系是否仍然成立. 14.如图，在ABC中，AB=AC,D是BC上一点（不与点B,C重合）.以AD为一边在 AD的右侧作ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. B D (1)①试说明：△ABD≌△ACE; ②若LBAC=90°，求∠BCE的度数. (2)设LBAC=Q,LBCE=B,则a,B之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论. 全等三角形常见模型专项复习参考答案 一、公共边模型 1.如图，∠ACB=90°，AC=BC.AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3, BE=1,则DE的长是() A. 3 2 B.2 C.2√2 D.10 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得∠E=∠ADC=90°，进 而由余角性质得到∠EBC=∠DCA,即可得到△CEB≌△ADC,得到BE=DC=1, CE=AD=3,再根据线段的和差关系可求出DE的值，掌握全等三角形的判定和性质是解 题的关键。 【详解】解：：BE⊥CE,AD⊥CE, LE=ADC=90°， LEBC+LBCE=90°. :∠BCE+∠ACD=90°， :LEBC=∠DCA, 在△CEB和△ADC中， ∠E=∠ADC ∠EBC=∠DCA, BC=AC ,△CEB≌△ADC(AAS, :BE DC=1,CE=AD=3, DE=CE-CD=3-1=2, 故选：B 2.己知，如图△ABC中，AB=AC,∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E, ∠BDC=90°， 求证：CE=2BD. B ◇ 【答案】见解析 【分析】延长BD交CA的延长线于F,先证得△ACE≌△ABF,得出CE=BF;再证△CBD≌△CFD, 得出BD=DF;由此得出结论即可. 【详解】证明：如图， B F、 C 延长BD交CA的延长线于F, ∠BAC=90 .∠BAF=∠BAC=90°，∠ACE+∠AEC=90 ∠BDC=90 ∴.∠BDC=∠FDC=90 ∴.∠ABF+∠BED=90 ZAEC ZBED :∠ACE=LABF .AB=AC .△ACEO△ABF(ASA) :CE=BF :CD平分∠ACB :∠ACD=∠BCD CD=CD ∴.△CBDO△CFD(ASA) ·BD=FD=IBF 2 :BD=1CE 2 CE =2BD 【点晴】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线 是解决问题的关键 二、三垂直模型 3.如图，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.AD=5cm,DE=3cm, BE= cm B 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解 题的关键 证明△ACD≌△CBE,根据全等三角形的对应边相等即可证得BE=CD,CE=AD,从而求 解。 【详解】解：：BE⊥CE,AD⊥CE, .∠E=∠ADC=90°， .∠DAC+∠DCA=90°， ∠ACB=90°， .∠BCE+∠DCA=90°， .∠BCE=LDAC, 在△ACD和aCBE中， ∠DAC=∠ECB ·.△ACD≌ACBE(AAS) ∠ADC=∠E AC=CB :BE CD,EC=AD=5cm .CD CE-DE =5cm-3cm =2cm, .BE 2cm, 故答案为：2. 4.己知ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,经过A点做一条直线1.作BE⊥EF, CF⊥EF,垂足分别为E,F 图1 图2 (1)如图1，求证：BE+CF=EF. (2)如图2，找出BE,CF,EF之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)BE+EF=CF,证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键。 (1)利用AAS证明ABE≌CAF,推出AE=CF,BE=AF,再利用线段的和差以及等量 代换即可证明； (2)利用AAS证明ABE≌CAF,推出AE=CF,BE=AF,再利用线段的和差以及等量 代换即可得出结论 【详解】(1)证明：：BE⊥EF,CF⊥EF, .∠AEB=∠CFA=90°， .∠BAE+∠ABE=90°， ∠BAC=90°， .∠BAE+∠CAF=90°， :∠ABE=LCAF, 在△ABE和CAF中， I∠ABE=∠CAF ∠AEB=∠CFA, AB=AC .△ABE≌△CAF(AAS), :AE=CF,BE=AF, BE CF AF AE EF (2)解：BE+EF=CF,证明如下： :BE⊥EF,CF⊥EF, ∴.∠AEB=∠CFA=90°， .∠BAE+∠ABE=90°， :∠BAC=90°， .∠BAE+∠CAF=90°， .∠ABE=∠CAF, 在△ABE和CAF中， ∠ABE=∠CAF ∠AEB=∠CFA, AB=AC ·△ABE≌△CAF(AAS), .AE CF,BE=AF, .BE EF AF EF AE C F 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B、点C作过点A的直线的垂 线BD、CE,垂足为点D、E.若BD=6,CE=2,求DE的长. D B 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据等角的余角相等得到 ∠DBA=∠CAE,然后利用AAS证明△BDA≌△AEC,可以得到DA=CE=2,AE=DB=6即 可解题 【详解】解：解：：∠BAC=90°， .∠BAD+∠CAE=90°， :BD⊥DE, .∠BDA=90°， .∠BAD+∠DBA=90°， .∠DBA=∠CAE, CE⊥DE, ∠E=90°=∠D, 在△BDA和△AEC中， 「∠ABD=∠CAE ∠D=∠E AB=AC .△BDA≌△AEC(AAS), :DA=CE=2,AE=DB=6, ∴.ED=AD+AE=2+6=8. 三、一线三等角模型 6.如图①，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点C在ABC外作直线I,AM⊥I于点 M,BN⊥I于点N M 图① 图② (1)试说明：MN=AM+BN; (2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=a(90°<a<180),AC=BC,请 问(1)中的结论DE=AD+BE是否还成立？请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2成立，理由见解析 【分析】(1)利用“AAS”,可得△AMC≌△CNB,从而AM=CN,CM=BN,根据 MN=CN+CM,等量代换即可说明MN=AM+BN; (2)利用“AAS”,可得△ADC≌△CEB,从而AD=CE,CD=BE,再根据 DE=CE+CD,等量代换即可. 【详解】(1)解：：∠ACB=90°， :∠ACM+∠BCN=90°， :AM⊥I,BN⊥1， :∠AMC=∠CNB=90°， .∠ACM+∠CAM=90°， :∠CAM=∠BCN, 在△AMC和△CNB中， ∠AMC=∠CNB ∠CAM=∠BCN, AC=CB .△AMC≌△CNB(AAS) ·AM=CN,CM=BN, MN =CN +CM :MN AM BN (2)解：DE=AD+BE成立，理由如下， :∠ACB=a90°<a<180), :∠ACD+∠BCE=180°-a, :∠ADC=a(90°<a<180), :∠ACD+∠CAD=180°-a, :LCAD=∠BCE, 在△4ADC和△CEB中， T∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE, AC=CB :△ADC≌△CEB(AAS) :AD=CE,CD=BE, DE=CE+CD, :DE AD BE. 【点晴】注意识别题中的“一线三等角"模型和类比的数学思想 7.综合与实践 在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E,在直线m上方有AB=AC,且满足 ∠BDA=LAEC=LBAC=a (1)如图1，当a=90°时，猜想线段DE、BD、CE之间满足的数量关系，并进行证明； B D A E m 图1 (2)如图2，当0<a<180°时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若 成立，请进行证明； A E m 图2 (3)如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD<LCAE, ∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3BF,△ABC的面积 是12，请求出△FBD与△ACE的面积之和. B F AE m 图3 【答案】(1)DE=BD+CE,证明见解析 (2成立，理由见解析 (34 【分析】此题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握 相关知识是解决问题的关键。 (1)根据题意得∠DBA=∠EAC,可得△DBA≌△EAC,有AD=CE和BD=AE,即可证明 结论： (2)根据∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-a,得∠EAC=∠DBA,即可证明 △DBA≌△EAC,则有AD=CE和BD=AE,即有DE=BD+CE成立： (3)根据全等三角形的判定和性质定理以及三角形的面积的计算即可得到结论 【详解】(1)解：：∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°， .∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°， ∠DBA=∠EAC, .AB=AC, :△DBA≌AEAC(AAS), :AD CE,BD=AE, 则DE=AD+AE=BD+CE. (2)解：DE=BD+CE仍然成立， 理由：：∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, ·∠BAD+∠EAC=∠BAD+LDBA=180-a, ∠DBA=∠EAC, AB AC, :·△DBA≌△EAC(AAS), :AD =CE,BD=AE, :DE AD+AE BD CE (3)解：同(2)可得aDBA≌△EAC(AAS), S.DBA =S.EAC 设ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的高为h, :BC=3BF,S△ABc=12, .S△MBF=4, 即.SFBD+SABD=4 …SFBD+S4CE=4, 8.在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： MD E ■ 图1 ①△ADC≌△CEB. ②DE=AD+BE· (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE. M 图2 (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写 出这个等量关系，并加以证明。 IM C B 图3 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)DE=BE-AD,证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是掌握AAS全等判定、直角三角形的 角互余关系： (1)先证△ADC兰△CEB,再利用全等对应边相等推导DE=AD+BE; (2)同理证明全等，结合线段位置关系得DE=AD-BE: (3)类比前两问，根据全等三角形的性质得到DE=BE-AD. 【详解】(1)解：①：∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°， :AD⊥MN于D,BE⊥MN于E, LADC=LCEB=90°， ,∠BCE+LCBE=90°， .∠ACD=∠CBE, 在△4DC和aCEB中， I∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠CBE, AC=CB .△4ADC≌△CEB(AAS). ②由①知，△4DC≌aCEB, :AD=CE,DC=BE, .DE DC+CE=BE+AD (2)解：同理可得∠ACD=∠CBE, 在△4DC和aCEB中， 「∠ADC=∠CEB=90° ∠ACD=∠CBE, AC=CB .△ADC≌△CEB(AAS), :AD=CE,DC=BE, :DE CE-CD AD-BE. (3)解：DE=BE-AD. 同理可得△ADC≌aCEB, :AD=CE,DC=BE, .DE =CD-CE BE-AD. 【点晴】解决这类旋转型全等问题的核心是抓住“AC=BC”和“角互余”这两个不变条件， 无论直线如何旋转，都能通过AAS证明△ADC兰△CEB,再根据线段的位置关系推导DE 与AD、BE的和差关系.注意旋转后线段的位置变化，避免和差符号错误， 9.一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂 线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型. M D M D 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，在ABC中，∠BAC=90,AB=AC,点A在直线MN上，过点B作BD⊥MN于 点D,过点C作CE⊥MN于点E,由∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°得 ∠DBA= ·又知道∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌△CAE, 进而得到AD=CE,AE= (2)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE. 3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE.之间的数 量关系： (4)如图4，若将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线 MW上，且满足∠BDA=∠BAC=∠AEC=a,其中a为任意锐角或钝角，请问结论 △ABD≌aCAE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 【答案】(1)∠EAC,BD (2)见解析 (3)DE=CE-BD (4)成立，理由见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌 握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化 到同一条直线上得出结论 (1)由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得∠DAC=∠BCE,因此根据AAS 可以证明aABD≌aCAE，结合全等三角形的对应边相等证得结论； (2)根据全等三角形的判定定理AAS推知△ABD≌aCAE,然后由全等三角形的对应边相等、 图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE=BD-CE; (3)同理(2)可得AD=CE,AE=BD,进而即可得出DE=AD-AE=CE-BD: (4)同理(1)可以证明∠ABD=∠CAE,根据全等三角形的判定定理AAS推知 △ABD≌△CAE. 【详解】(1)证明：BD⊥MN,CE⊥MW,∠BAC=90°， ∴.∠BAC=∠BDA=∠CEA=90 ∠BAD+∠CAE=90° ∠BAD+∠ABD=90 :.LABD=ZCAE 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE {∠ADB=∠CEA AB=CA .△ADB≌△CEAAAS :AD=CE,AE BD, (2)证明：BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90° ∴.∠BAC=∠BDA=∠CEA=90 ∴.∠BAD+∠CAE=90 ∠BAD+∠ABD=90° :ZABD ZCAE 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=CA :△ADB≌△CEA(AAS :.AD=CE,AE BD, :DE=AE-AD=BD-CE (3)DE=CE-BD, 同理(2)可得：AD=CE,AE=BD, :DE AD -AE=CE-BD (4)△ABD≌△CAE成立，理由如下： ∠ABD+∠ADB+∠BAD=180 ∠CAE+∠CAB+∠BAD=18O ∠ADB=∠CAB .∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE :{∠ADB=∠CEA AB=CA △ADB≌△CEA(AAS 四、手拉手模型 10.已知：如图，△ABD和△AEC都是等腰直角三角形， AB=AD,AC=AE,LBAD=LCAE=9O°，连结CD,BE相交于点F,AD与BE相交于点 M.求证：BE⊥CD. 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证△BAE≌△DAC推出∠ABE=∠ADC,进 而即可得证. 【详解】证明：：∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,即LBAE=∠DAC; AB=AD,AC=AE, △BAE≌△DAC; .∠ABE=∠ADC, :∠BMA=∠DMF, .∠DFM=∠MAB=90°， BE⊥CD. I1.如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,LBAC=LDAE,点D在BC上，连接 CE. (1)△ABD≌△ACE吗？请说明理由； (2)若DF⊥AC,点F在线段CE上，且CF=2,FE=3,求BC的长. 【答案】(1)全等，见解析 (27 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可； (1)推出∠BAD=∠EAC即可求证： (2)根据△ABD≌△ACE,AB=AC,推出LACB=∠ACE;证CGD≌CGF,得 CF=CD,即可求解； 【详解】(1)证明：△ABD≌△ACE, 理由：：∠BAC=∠DAE, ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠EAC, AB=AC,AD=AE, .△ABD≌△ACE; (2)解：△ABD≌△ACE, :ZB ZACE AB=AC, .LB=∠ACB, .∠ACB=∠ACE, :在aCGD和aCGF中， ∠ACB=∠ACE CG=CG ∠CGD=∠CGF=90° .CGD≌CGF, .CF=CD, .BC=BD+CD=CE+CF=CF+EF+CF=7. 12.(1)如图1，ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD，,BE.若BE∥CD,则 ∠BEC的度数是 图1 图2 图3 (2)如图2，ABC和△CDE都是等边三角形，点A,D,E在同一条直线上，连接BE.求 证：AE=BE+CE. (3)如图3，ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D, E在同一条直线上，CM⊥AE于点M,连接BE,求∠AEB的度数以及线段CM,AE, BE之间的数量关系. 【答案】(1)120°；(2)见解析；(3)∠AEB=90°，AE=BE+2CM 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关 键 (1)由题意得∠DCE=60°，结合BE∥CD即可求解； (2)证ACD≌BCE即可求解； (3)证ACD≌BCE,得AD=BE,∠ADC=∠BEC;推出LADC=LBEC=I35°， LAEB=LBEC-∠CED=90°；根据CD=CE,CM⊥DE,得DM=ME；进而得 DM=ME=CM，即可求解； 【详解】解：(1)：aCDE都是等边三角形， .∠DCE=60°， BE∥CD, .∠BEC=180°-∠DCE=120°； (2):ABC和aCDE都是等边三角形， .CA=CB,CD=CE=DE,∠ACB=∠DEC=60°， .∠ACB-∠DCB=∠DEC-LDCB,即∠ACD=LBCE, .ACD≌BCE, ·AD=BE, :AE AD +DE BE +CE (3)由题意得：CA=CB,CD=CE, .∠ACB-∠DCB=∠DEC-∠DCB,即∠ACD=∠BCE, ·.ACD≌BCE, .AD=BE,∠ADC=∠BEC: :△DCE为等腰直角三角形， .∠CDE=∠CED=45°， :点A,D,E在同一条直线上， ∴.∠ADC=∠BEC=135°， .LAEB=∠BEC-∠CED=90°； CD=CE,CM⊥DE, :DM=ME; :∠DCE=90°， :DM ME=CM :AE AD DE BE +2CM 13.综合与探究 问题背景：△ABE和△CDE为等腰直角三角形，∠AEB=∠CED=90°，AE=BE,CE=DE ，连接BD,AC. 图1 图2 图3 问题初探： （1)如图1，当B,E,C三点在同一条直线上时， ①BD与AC的位置关系为 ②BD与AC的数量关系为 拓展探究： (2)如图2，当B,E,C三点不在同一条直线上时，BD与AC交于点F,试判断(1)中 BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由， (3)如图3，将(2)中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判 断(2)中BD与AC的位置关系和数量关系是否仍然成立. 【答案】(1)①BD上AC;②BD=AC;(2)BD与AC的位置关系和数量关系没有发 生变化，见解析；(3)BD与AC的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系： 【分析】(1)根据题意证明△BED≌△AEC(SAS),再根据全等可得LDBE+LBDE=90☐， ∠ADF+∠CAE=90☐，即可求解； (2)根据题意证明△BED≌△AEC(SAS),设AE与BD交于点G,再根据全等可得 ∠DBE+∠BDE=90☐，∠ADF+∠CAE=90☐，即可求解； (3)根据题意证明△BED≌△AEC(SAS),设AE与BD交于点H,再根据全等可得 ∠AFH=∠BEH≠90☐，即可求解： 【详解】解：(1)理由：延长BD交AC于点F,如图 在ABED和△AEC中， BE=AE ∠BED=∠AEC DE=CE ,∴.△BED≌△AEC(SAS) BD=AC,∠DBE=∠CAE :∠BED=90□ .∠DBE+∠BDE=90□ :∠BDE=LADF .∠ADF+∠CAE=90□ .∠AFD=180C-(∠ADF+∠CAE)=180C-90□=90E, .BD⊥AC 故答案为：①BD⊥AC;②BD=AC; (2)由题意得∠AEB=LCED=90☐， .LAEB+∠AED=∠CED+LAED, ·∠BED=LAEC, 在△BED和△AEC中， BE=AE ∠BED=∠AEC DE=CE ∴.△BED≌△AEC(SAS), .BD=AC,∠DBE=∠CAE, ·.∠BEA=900, 设AE与BD交于点G;如图： B ∠DBE+∠BGE=90☐， .∠BGE=∠AGF, .∠CAE+∠AGF=90☐， ,:.∠AFG=180C-(∠CAE+∠AGF)=180☐-90☐=90C, BD⊥AC, :BD与AC的位置关系和数量关系没有发生变化； (3)设∠AEB=∠CED=, :ZAEB+ZAED ZCED+ZAED, .∠BED=LAEC, 在△BED和△AEC中， BE=AE ∠BED=∠AEC DE=CE ·△BED≌AAEC(SAS), .BD=AC,∠DBE=∠CAE, .∠BEA=a, 设AE与BD交于点H;如图； D B .∠DBE+∠BEA+∠BHE=180D, ∠BHE=LAHF, .LCAE+∠AFH+∠AHF=180□， ∠AFH=∠BEH≠90□， BD不垂直AC, ,BD与AC的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系： 【点晴】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是 解题的关键， 14.如图，在ABC中，AB=AC,D是BC上一点（不与点B,C重合）.以AD为一边在 AD的右侧作ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. B D (1)①试说明：△ABD≌△ACE; ②若∠BAC=90°，求LBCE的度数 (2)设LBAC=a,LBCE=B,则a,B之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论 【答案】(1)①说明见解析；②∠BCE=90 (2)a+B=180° 【分析】(1)①通过角的等量关系得到LABD=∠CAE,再结合已知边相等，利用SAS判定； ②先由全等得到角的关系，结合等腰直角三角形的性质推导∠BCE的度数. (2)通过全等三角形的角的关系，结合三角形内角和，推导α与B的数量关系。 【详解】(1)解：①：∠DAE=∠BAC, .∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即：∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中： AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS). ②AB=AC,∠BAC=90, ∴∠B=∠ACB=45°. 由①知，△ABD≌△ACE, .∠ACE=∠B=45°. .∠BCE=∠ACB+∠ACE=45+45°=90°. (2)解：由①知，△ABD≌△ACE,则LACE=∠B. :AB=AC,∠BAC=a, ·∠B=∠4CB=180-a 2 :∠BCE=∠ACB+∠ACE=180-a+180-a=180-&. 2 2 :∠BCE=B, .a+B=180° 【点晴】本题考查了全等三角形的判定(SAS)与性质、等腰三角形的性质，解题关键是通过 角的和差得到全等所需的角相等条件，再利用全等三角形的性质推导角的关系，进而得到角 度或数量关系 15.