专题 古典概型 概率的基本性质分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到实际应用梯度合理，有效巩固古典概型与概率性质，培养数学思维与数据应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|古典概型定义、概率基本性质（对立、互斥事件）|选择填空为主，如卡片抽取概率、互斥事件判断，夯实基础概念| |B级|事件关系、频率分布直方图应用|综合填空与解答，如事件互斥判断、频率分布直方图分析，提升推理能力| |C级|实际情境中的概率计算|表格数据概率问题，如排队人数概率分析，培养数据意识与应用能力|

专题　古典概型　概率的基本性质 A级 必备知识基础练 1.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　) A. B. C. D. 2.(多选题)下列结论错误的是(　　) A.若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=0 B.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B∪C互斥 C.若事件A与B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B) D.若事件A与B互斥,则它们的对立事件也互斥 3.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是,则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是(　　) A. B. C. D. 4.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(2,6),则向量p与q共线的概率为　　　　　.  5.从装有3个红球和2个蓝球(除颜色外完全相同)的盒子中任取两个球,则选到的两个球颜色相同的概率为　　　　　.  6.某工厂生产了一批滑雪板,这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测,已知抽到不是三等品的概率为0.97,抽到一等品或三等品的概率为0.88,则抽到一等品的概率为　　　　.  7.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,则至少有一根熔断的概率是.　 B级 关键能力提升练 8.一箱产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,下列四个事件:①恰有一件次品和恰有两件次品;②至少有一件次品和全是次品;③至少有一件正品和至少有一件次品;④至少有一件次品和全是正品.其中两个事件互斥的是　　　　.(填序号) 9.在抛掷一枚骰子的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A∪包含的样本点有　　　　　　.　  10.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率; (3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率. C级 学科素养创新练 11.据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表: 排队等候的人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)求至多2人排队等候的概率; (2)求至少2人排队等候的概率. 参考答案 1.C　从6张卡片中无放回抽取2张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况,其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况,故概率为.故选C. 2.CD　若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=1-P(A)=0,故A正确;若事件A,B,C两两互斥,则事件A,B,C不能同时发生,则事件A与B∪C也不可能同时发生,则事件A与B∪C互斥,故B正确;当A与B为互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),对于任意两个事件A,B满足P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故C错误;若事件A,B互斥但不对立,则它们的对立事件不互斥,故D错误.故选CD. 3.C　该子集恰是{a,b,c}的子集的概率为P=1-.故选C. 4.　∵试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈1,2,3,4,5,6}, ∴n(Ω)=36,满足条件的事件是使向量p=(m,n)与q=(2,6)共线,即6m-2n=0,∴n=3m, 满足这个条件的有(1,3),(2,6),共有2种结果, ∴向量p与q共线的概率P=. 5.　3个红球记为a,b,c,2个蓝球记为A,B, 则任取两个球有ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB,共10种选法, 其中颜色相同的有ab,ac,bc,AB,共4种选法, ∴选到的两个球颜色相同的概率为. 6.0.85　从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测,抽到不是三等品的概率为0.97,抽到一等品或三等品的概率为0.88, ∴抽到一等品或二等品的概率为0.97, 抽到二等品的概率为1-0.88=0.12, 则抽到一等品的概率为P=0.97-0.12=0.85. 7.0.96　设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔断”,则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.85+0.74-0.63=0.96. 8.①④　从一箱产品中任取2件,观察正品件数和次品件数,其中正品、次品都多于2件, ∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的,至少有一件次品和全是正品是互斥的, ∴①④是互斥事件. 9.2,4,5,6　A={2,4},B={1,2,3,4},={5,6},A∪={2,4,5,6}. 10.解 (1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006. (2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.设x1,x2为从评分在[40,60)的受访职工中随机抽取的2人,则(x1,x2)表示一个样本点,A=“从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人”,则A={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共10种结果,又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,故所求的概率P=. 11.解 记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥. (1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)至少2人排队等候的对立事件是“排队等候人数为0或1”,而排队等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74. 学科网（北京）股份有限公司 $