精品解析：2026年陕西宝鸡市第一中学中考考前模拟数学信息卷

九年级信息卷 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个实数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 1.010010001……（每两个1之间依次增加一个0） 2. 鲁班锁（如图①）的核心结构源于中国古代建筑中首创的榫卯技术．其内部卯榫咬合，外观严丝合缝，凝结着古人不平凡的智慧．图②是鲁班锁其中一个组件的示意图，则该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线内，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分交于点，作的中垂线交于点，交于点，连接，若，则图中与相等的角（不增加辅助线，除外）共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，图象向右平移个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：___________． 10. 西安某中学开展“传统文化进课堂”活动，如图，小明同学用一副七巧板拼了一个春晚主题的骏马图，若为某个正多边形的一个内角，则这个正多边形的边数是________． 11. 图①是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图②是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于________． 12. 如图，四边形是的内接四边形，为直径，连接，若，，则的长为________．（结果保留） 13. 如图，在菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 14. 如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 17. 化简：． 18. 如图，已知点在直线上，请用尺规作图法，在直线的上方作，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图所示的类似帆船的图形由与拼成，寓意着广大考生考试过程“一帆风顺”，已知，，且，求证：． 20. “骐骥驰骋”中的“骐骥”出自《楚辞·离骚》“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路”，象征中华民族开拓进取的精神．某文创公司出品了四种吉祥物吊坠“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，深受大家喜爱，甲购买这四种吉祥物吊坠各一个摆放在家中，既可装点家居，也寓意着将这份开拓进取的精神带入日常生活之中． （1）甲从个吉祥物吊坠中任选一个挂在书包上，选中“骐骐”的概率为________． （2）若甲从个吉祥物吊坠中随机选择其中的个赠送给好友，请用列表或画树状图的方法，求选中的两个吉祥物吊坠的名字中的“字”能够拼成“骐骥”或“驰骋”的概率． 21. 小明参观中国文昌航天发射场，对航天科普展览区的一个模拟火箭发射场景的模型产生了兴趣，决定借助所学的数学知识计算出整个发射场景模型的高度．如图，火箭模型竖直矗立在矩形平台上，在阳光的照射下，小明站在火箭模型影子的顶端处测得自己的影长为米，他沿着方向走了米到达警戒线旁的点处，用仪器测得平台上点的仰角，已知矩形平台的宽度米，且平台高度，小明的身高为米，点，，，，在同一直线上，点，，在同一直线上，请根据以上数据计算出火箭发射场景模型的高的长．（参考数据：，，） 22. 小亮利用假期时间在学校的无土栽培实验室开展了某种植物的无土栽培实验，他通过老师了解到这种植物的高度（单位：）与生长时间（单位：月）满足一次函数关系，于是利用课余时间观测统计了该植物的生长时间（单位：月）和植物高度的（单位：）的部分数据如下表所示： 生长时间/月 0 1 2 3 4 植物高度 （1）求与的函数关系式． （2）老师告诉小亮该植物生长个月开始开花结果，已知无土栽培实验室的房屋高为米，请问无土栽培实验室是否能够满足该植物继续生长直至开花结果？ 23. 为持续培养学生的科学探索精神，深化人工智能教育，某校专门开设了“人形机器人”社团，并对全校学生进行知识问卷测试，以了解同学们对该领域的知晓程度．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析，给出了下面部分信息： ①七年级被抽取的学生得分频数分布表和七、八年级被抽取的学生得分统计表如下所示： 七年级被抽取的学生得分频率分布表 组别 分组 频率 不了解 比较了解 了解 非常了解 七、八年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 ②七年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：，，，， ③八年级被抽取的学生测试得分的数据：，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）________；________；________． （2）根据以上数据，你认为在此次知识问卷测试中，该校七、八年级中哪个年级被抽取的学生对“人形机器人”的知晓程度更高，请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级对人工智能“非常了解”的学生总人数． 24. 如图，内接于，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，为右侧上一点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 25. 校园消防安全是保障师生生命财产安全的重要内容，尤其在人员密集、用火用电频繁的校园环境中更需高度重视．如图，某高层建筑突发火灾，消防车及时赶到喷水灭火，已知消防车的喷水口距地面米，距着火建筑物底部水平距离米，喷出的水流路线可近似地看作抛物线的一部分，着火点距离水平地面米，且喷出的水流在离着火建筑物底部水平距离为米的位置处达到最高，以水平地面为轴，着火建筑物为轴，着火建筑物底部点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求出抛物线的表达式． （2）由于火势迅速蔓延至距离地面米的点处，消防车喷出的水流无法达到该高度，于是消防员在消防车顶点处释放出消防无人机，无人机竖直上升米到达点处喷出水流，水流路线是抛物线的一部分，此时的水流恰好喷到点下方米的点处，若点为抛物线的最高点，请求出抛物线向右平移多少米就能将水流喷射到点处（无人机只能在建筑物的左侧移动）． 26. 问题发现 （1）如图，在中，，是延长线上一点，连接，过点作，连接，，若，，，则________． 问题探究 （2）如图，在菱形中，，，是以为直径的上的一点，求的最小值． 问题解决 （3）如图，有一块边长为米的正方形空地，某单位需要在正方形内部修建一个三角形的原料加工区（），要求点在边上，米，为内部一点，连接，，，，，．现该单位计划从正方形空地的大门点处铺设一条经过边上点处再到达点的自来水管道，求点到点的距离为多少米时铺设的自来水管道（）长度最短．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级信息卷 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个实数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 1.010010001……（每两个1之间依次增加一个0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数，无理数的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】A. 是无理数，不符合题意， B. 是有理数的，符合题意， C. 是无理数，不符合题意， D. 1.010010001……（每两个1之间依次增加一个0）是无理数，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查有理数和无理数的定义，掌握有理数和无理数的定义是解题的关键． 2. 鲁班锁（如图①）的核心结构源于中国古代建筑中首创的榫卯技术．其内部卯榫咬合，外观严丝合缝，凝结着古人不平凡的智慧．图②是鲁班锁其中一个组件的示意图，则该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用简单几何体的三视图定义求解即可． 【详解】解：根据几何体可得该组件的左视图是． 3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线内，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形特征，右边三角板为等腰直角三角形，左边三角板为含角的直角三角形，再结合平行线性质求解，即可解题． 【详解】解：由图可知，右边三角板为等腰直角三角形，，  左边三角板为含角的直角三角形， ，  上下两条直线平行，  ， 即， ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别运用完全平方公式，同底数幂除法法则，积的乘方法则，平方差公式计算各选项，即可判断正确结果． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确． 5. 如图，在中，平分交于点，作的中垂线交于点，交于点，连接，若，则图中与相等的角（不增加辅助线，除外）共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角性质及已知条件推出，结合角平分线定义、线段垂直平分线性质及平行线的判定与性质，找出所有与相等的角即可． 【详解】解：是的外角， ， ， ， 即， 平分， ， ， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，图中与相等的角有、、、，共个． 6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将点的坐标代入直线求出的值，确定交点横坐标，再根据函数图象的上下位置关系写出不等式的解集． 【详解】解：点在直线上， 解得， 两直线交点的横坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 关于的不等式的解集为． 7. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，根据，分别是，的中点，可得，，是的中位线，求出，和的长，进一步可知是直角三角形，，根据，求出的面积即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，分别是，的中点， ，，是的中位线， ， ∵，，， ， ， ， 是直角三角形，， ． 8. 已知二次函数，图象向右平移个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次函数平移规律和平移后过原点得到与的关系，再求出抛物线对称轴，最后分和两种情况，结合在中取得的最大值为计算的值． 【详解】解：将二次函数向右平移3个单位长度，得平移后解析式为， ∵平移后图象经过原点， ∴， ， 解得， ∴抛物线对称轴为直线， ① 当时，抛物线开口向上，在中的最大值出现在离对称轴更远的端点， ∵，，， ∴时取得最大值， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得； ② 当时，抛物线开口向下，顶点在内，最大值在顶点处，即时取得最大值， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得； 综上，的值为或． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为， ∴这个多项式可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键． 10. 西安某中学开展“传统文化进课堂”活动，如图，小明同学用一副七巧板拼了一个春晚主题的骏马图，若为某个正多边形的一个内角，则这个正多边形的边数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据七巧板中三角板的角度特征求出的度数，再结合正多边形的外角和公式求解即可． 【详解】解：由图可得，， ∴该正多边形的一个外角为， 设这个正多边形的边数为， ∴． 11. 图①是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图②是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幻方每一横行、每一竖列数字之和相等，设第二行第一列的数为，利用第一列与第二行的和相等建立等式，通过移项即可求得的值． 【详解】解：设第二行第一列的数为． 根据幻方的规则，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等． 第一列的数字之和等于第二行的数字之和， ． ． ． ． 12. 如图，四边形是的内接四边形，为直径，连接，若，，则的长为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理求出圆心角的度数，最后代入弧长公式计算即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， 的半径， 的长． 13. 如图，在菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点E，利用菱形性质、坐标与图形、勾股定理求出点B坐标，再根据点D为中点，求出点D坐标，最后利用待定系数法求出k值即可． 【详解】解：过点B作于点E，如图， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， 解得， ， ∵与交于点，， ∴点D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． 14. 如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，进而得出点A和点H关于对称，从而确定，其最小值为线段长，根据勾股定理求出最小值． 【详解】解：设，则， 过点E作，连接，连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， 又∵， 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴点M与点H重合，即点H与点A关于直线对称， ∴， 当点P在与的交点时，最小，最小值为线段长， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘方，绝对值，二次根式乘法的运算法则计算各项，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， ∴原不等式组的解集为． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先通分计算括号内，再除法变乘法，然后约分化简即可． 【详解】解： ． 18. 如图，已知点在直线上，请用尺规作图法，在直线的上方作，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示： 【解析】 【分析】以点O为圆心，任意长为半径画弧交于点D，以点D为圆心，长为半径画弧与前弧交于点E，连接、，此时是等边三角形，即，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点C，作射线，此时． 【详解】k略 19. 如图所示的类似帆船的图形由与拼成，寓意着广大考生考试过程“一帆风顺”，已知，，且，求证：． 【答案】证明：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据题意可证明，再根据平行线的性质可得，最后运用即可证明，可得． 【详解】略 20. “骐骥驰骋”中的“骐骥”出自《楚辞·离骚》“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路”，象征中华民族开拓进取的精神．某文创公司出品了四种吉祥物吊坠“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，深受大家喜爱，甲购买这四种吉祥物吊坠各一个摆放在家中，既可装点家居，也寓意着将这份开拓进取的精神带入日常生活之中． （1）甲从个吉祥物吊坠中任选一个挂在书包上，选中“骐骐”的概率为________． （2）若甲从个吉祥物吊坠中随机选择其中的个赠送给好友，请用列表或画树状图的方法，求选中的两个吉祥物吊坠的名字中的“字”能够拼成“骐骥”或“驰骋”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用概率公式计算即可； （2）先通过列表法列举出所有可能的结果，再找出符合要求的结果数，最后根据概率公式计算得到最终概率． 【小问1详解】 解：总共有4种可能的选择结果，选中“骐骐”的结果有1种， ∴选中“骐骐”的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 骐骐 骥骥 驰驰 骋骋 骐骐 骐骐，骥骥 骐骐，驰驰 骐骐，骋骋 骥骥 骥骥，骐骐 骥骥，驰驰 骥骥，骋骋 驰驰 驰驰，骐骐 驰驰，骥骥 驰驰，骋骋 骋骋 骋骋，骐骐 骋骋，骥骥 骋骋，驰驰 由表格可得，总共有12种情况，而能够拼成“骐骥”或“驰骋”的有4种， ∴． 21. 小明参观中国文昌航天发射场，对航天科普展览区的一个模拟火箭发射场景的模型产生了兴趣，决定借助所学的数学知识计算出整个发射场景模型的高度．如图，火箭模型竖直矗立在矩形平台上，在阳光的照射下，小明站在火箭模型影子的顶端处测得自己的影长为米，他沿着方向走了米到达警戒线旁的点处，用仪器测得平台上点的仰角，已知矩形平台的宽度米，且平台高度，小明的身高为米，点，，，，在同一直线上，点，，在同一直线上，请根据以上数据计算出火箭发射场景模型的高的长．（参考数据：，，） 【答案】火箭发射场景模型的高的长为16米 【解析】 【分析】设平台高度，则模型总高，由平行光线得，利用相似比，算出．在中，由得；结合列方程，解得，故米． 【详解】解：设平台高度米，则整个模型的高度米， ∵太阳光线是平行光线， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， ∵小明身高米，影长米， ∴ 解得， 在矩形平台中，米，米， 在中，， ∴ ∴ 解得， ∴ 解得 ∴（米）． 22. 小亮利用假期时间在学校的无土栽培实验室开展了某种植物的无土栽培实验，他通过老师了解到这种植物的高度（单位：）与生长时间（单位：月）满足一次函数关系，于是利用课余时间观测统计了该植物的生长时间（单位：月）和植物高度的（单位：）的部分数据如下表所示： 生长时间/月 0 1 2 3 4 植物高度 （1）求与的函数关系式． （2）老师告诉小亮该植物生长个月开始开花结果，已知无土栽培实验室的房屋高为米，请问无土栽培实验室是否能够满足该植物继续生长直至开花结果？ 【答案】（1）； （2）无土栽培实验室不能满足该植物继续生长直至开花结果 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合已知一次函数关系和表格数据求出函数解析式，注意生长时间的取值范围； （2）将代入解析式求出植物高度，换算单位后和房屋高度比较大小，即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，设与的函数关系式为， 将，和，代入， 得， 解得， ∵生长时间为非负数， ∴， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∵3米， ∴， 答：无土栽培实验室不能满足该植物继续生长直至开花结果． 23. 为持续培养学生的科学探索精神，深化人工智能教育，某校专门开设了“人形机器人”社团，并对全校学生进行知识问卷测试，以了解同学们对该领域的知晓程度．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析，给出了下面部分信息： ①七年级被抽取的学生得分频数分布表和七、八年级被抽取的学生得分统计表如下所示： 七年级被抽取的学生得分频率分布表 组别 分组 频率 不了解 比较了解 了解 非常了解 七、八年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 ②七年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：，，，， ③八年级被抽取的学生测试得分的数据：，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）________；________；________． （2）根据以上数据，你认为在此次知识问卷测试中，该校七、八年级中哪个年级被抽取的学生对“人形机器人”的知晓程度更高，请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级对人工智能“非常了解”的学生总人数． 【答案】（1），，； （2）解：七年级知晓程度更高．理由如下： ∵七、八年级得分的平均数相等，七年级得分的中位数大于八年级得分的中位数， ∴七年级整体得分更高，知晓程度更高；（理由合理即可） （3）名． 【解析】 【分析】（1）先根据频率和为1计算，再根据中位数定义计算，求和得到八年级的平均数； （2）通过比较统计量判断知晓程度； （3）用样本占比估计总体的“非常了解”人数总和． 【小问1详解】 解：已知从七年级随机抽取10名学生，所有分组的频率和为1．不了解频率为，比较了解频率为，“了解”组共有4个数据，频率为． 因此． 七年级得分从小到大排序后，前个数据均小于，第5个和第6个数据均为，因此中位数． 八年级10个得分总和为，因此平均数； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：七年级“非常了解”的频率为， 因此七年级估计“非常了解”人数为（名）． 八年级10名学生中，得分满足的有2名，占比为， 因此八年级估计“非常了解”人数为（名）． 总人数为（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级对“非常了解”的学生总人数为名． 24. 如图，内接于，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，为右侧上一点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理得到，根据圆周角定理得到，根据等边对等角及同弧所对的圆周角相等得到，即可证明； （2）由（1）知，，得到，证明，得到，设的半径为，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设的半径为，则，． 在中，， 由勾股定理： ∴， 解得， 因此的半径为． 25. 校园消防安全是保障师生生命财产安全的重要内容，尤其在人员密集、用火用电频繁的校园环境中更需高度重视．如图，某高层建筑突发火灾，消防车及时赶到喷水灭火，已知消防车的喷水口距地面米，距着火建筑物底部水平距离米，喷出的水流路线可近似地看作抛物线的一部分，着火点距离水平地面米，且喷出的水流在离着火建筑物底部水平距离为米的位置处达到最高，以水平地面为轴，着火建筑物为轴，着火建筑物底部点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求出抛物线的表达式． （2）由于火势迅速蔓延至距离地面米的点处，消防车喷出的水流无法达到该高度，于是消防员在消防车顶点处释放出消防无人机，无人机竖直上升米到达点处喷出水流，水流路线是抛物线的一部分，此时的水流恰好喷到点下方米的点处，若点为抛物线的最高点，请求出抛物线向右平移多少米就能将水流喷射到点处（无人机只能在建筑物的左侧移动）． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）抛物线向右平移米就能将水流喷射到点处 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点横坐标为，设顶点式，代入、，解得，即可得到抛物线的表达式； （2）无人机上升后是顶点，设，代入得；设向右平移米，表达式为，代入解得，结合顶点在左侧，进行求解判断即可． 【小问1详解】 解：∵喷水口距地面2米，距建筑物底部水平距离8米，着火点在轴上，距地面18米，水流在离建筑物底部水平距离2米处达到最高， ∴，，抛物线顶点横坐标为， 设抛物线的表达式为， 将和代入表达式， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为或； 【小问2详解】 解：∵无人机从竖直上升42米到， ∴，且是的顶点， ∵点距地面43米，在轴上，在下方1米， ∴，， 设抛物线的表达式为， 将代入表达式，得 解得， ∴抛物线的表达式为， 步骤3：设平移距离并建立方程 设抛物线向右平移米， ∴平移后的抛物线表达式为， ∵平移后的抛物线需经过， ∴将代入，得 解得或， ∵ “无人机只能在建筑物的左侧移动”，即平移后顶点的横坐标需小于0， ∴ 解得， ∴舍去， ∴米， ∴抛物线向右平移米就能将水流喷射到点处． 26. 问题发现 （1）如图，在中，，是延长线上一点，连接，过点作，连接，，若，，，则________． 问题探究 （2）如图，在菱形中，，，是以为直径的上的一点，求的最小值． 问题解决 （3）如图，有一块边长为米的正方形空地，某单位需要在正方形内部修建一个三角形的原料加工区（），要求点在边上，米，为内部一点，连接，，，，，．现该单位计划从正方形空地的大门点处铺设一条经过边上点处再到达点的自来水管道，求点到点的距离为多少米时铺设的自来水管道（）长度最短．（结果保留根号） 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】先证明，则有，然后通过角度和差得出，则可证，所以，然后代入即可求解； 连接交于点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为，所以，即为的最小值，由四边形为菱形，，，则，，所以，，通过直角三角形性质可得，再根据勾股定理得，，所以，从而求解； 作，交于点，连接，，由四边形为正方形，则，，可得，（米），由，所以，则，即，证明，，得，所以点在以的长为直径的圆上运动，取点关于的对称点，以的中点为圆心，的长为半径作圆，连接交于点，交于点，当点运动到点处，点运动到点处时，自来水管道的长度最短，最短长度为，过点作于点，再证明为的中位线，则有米，可得米，（米），又点与点关于对称，所以米，则有（米），再证明，所以，代入解得（米）． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为， ∵， ∴，即为的最小值， ∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，作，交于点，连接，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴，米， ∴米，米， ∴，（米）， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在以的长为直径的圆上运动， 如图，取点关于的对称点，以的中点为圆心，的长为半径作圆，连接交于点，交于点，当点运动到点处，点运动到点处时，自来水管道的长度最短，最短长度为，即共线时，自来水管道的长度最短，过点作于点， ∴， ∴为中点， ∴为的中位线， ∴米，米， ∴（米）， ∵点与点关于对称， ∴米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得（米）， ∴当点到点的距离为米时，铺设的自来水管道长度最短． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $