精品解析：2026年湖北省襄阳市襄州区襄州联盟二模数学试题

2026年湖北省襄阳市襄州区襄州联盟二模数学试题 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列各数：0，，，．其中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 走马灯是中国传统宫灯与光影玩具的经典结合．下图走马灯的灯体为正六棱柱，它的示意图如图所示，则灯体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 5. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 7. 如图，已知点，若将线段平移至，其中点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为8，E是边上一点，且，交延长线于点F，平分交于点M，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，计15分） 11. 中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为________． 12. 计算：=_____． 13. 小明从《红星照耀中国》《红岩》《长征》三本书中随机挑选两本，其中拿到《长征》与《红星照耀中国》的概率为______． 14. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___． 15. 如图1，等腰三角形中，，，点D为的中点，点P为上一个动点，若的长为x，，点P从点B运动到点C时，y关于x的函数关系图象如图2所示，则 （1）______； （2）图象最低点M的纵坐标为______． 三、解答题（本大题共9小题，计75分） 16. 计算：． 17. 如图，某民间手艺人制作风筝的支撑骨架中，点E，F分别在的延长线上，平分，．求证：． 18. 某小区在设计时，计划在如图1的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图2所示，已知，，该地冬至正午太阳高度角为，求此时太阳照到住宅楼墙面的位置与地面之间的高度的长．（参考数据：，，．结果保留小数点后一位） 19. 智启未来，创想无限．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在C组中的数据：83，83，83，86，87，88，88，88，88，89． 七、八年级成绩数据统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83.9 83.9 中位数 m 84 众数 78 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，m＝______； （2）该校七年级有学生300人，八年级有学生270人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出一条理由． 20. 根据以下素材，探究完成任务： 背景 进位制是重要的计数思想，我国古代数学著作《九章算术》中早有相关记载与应用．下面我们认识进位制，探究进位制数的转化规则． 素材一 进位制是一种计数方法，使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即为k进制，日常生活中常用十进制．任意一个k进制数，均可按照位权展开转化为十进制数．例如： 二进制数； 三进制数． 素材二 小明同学设计了一个k（k为大于2的整数）进制数，该数转化为十进制数为36． 解决问题： 任务一 （1）二进制数转化为十进制数为______； （2）八进制数转化为十进制数为______． 任务二 （3）分别将、、转化为十进制数，根据你发现的规律，直接写出______（用含k的代数式表示） （4）求素材二中k的值． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点D在上，且，连接，过点D作的切线，交的延长线于点与的延长线交于点F，连接． （1）从以下两个结论中：①平分；②平分，选择一个正确的结论，并证明； （2）若，，求的长． 22. “一刻钟便民生活圈”是指以社区居民为服务对象，以满足居民日常生活消费为目标，服务范围为步行约15分钟的社区商圈．宜昌市某街道为落实“一刻钟便民生活圈”建设，计划在辖区的A、B两个社区统一配置便民早餐车20辆，其中，A社区的早餐车数量不少于10辆，B社区的早餐车数量不少于5辆．经过抽样调查，发现A社区每辆早餐车的日均服务量（单位：人次）与早餐车数量（单位：辆）之间满足函数关系：，B社区每辆早餐车的日均服务量（单位：人次）与早餐车数量（单位：辆）之间满足函数关系：．已知早餐车每服务1人次产生的社会便民效益值（包括节省通勤时间、提升幸福感等）为2个单位． （1）若街道决定在A社区配置15辆早餐车，此时A、B两个社区的早餐车日均服务量是多少？产生的社会便民效益总值是多少？ （2）为了更高效的利用资源，街道希望合理分配20辆早餐车，使A、B两个社区产生的社会便民效益总值最大化，请你通过计算设计出最优配置方案，并求出A、B两个社区产生的最大社会便民效益总值． 23. 在矩形中，将绕点A逆时针旋转到位置，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点E恰好落在对角线上时，若，，求的长； （3）如图3，直线分别交于点G，交于点M，且，． ①求证：； ②设的面积为，的面积为，直接写出的值． 24. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求b的值； （2）若，求点P的坐标； （3）定义：抛物线上两点，之间的曲线部分叫做抛物线弧MN（含端点M、N），记，h为抛物线弧上最高点与最低点的纵坐标之差，则称为M、N的特征值．点Q在抛物线上（不与点P重合）位于点P左侧，且轴．记P、C的特征值为，C、Q的特征值为，设． ①求F关于t的函数解析式； ②若函数F的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖北省襄阳市襄州区襄州联盟二模数学试题 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列各数：0，，，．其中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是整数，是有限小数，是分数，都属于有理数；只有是无理数， ∴无理数的个数为个． 2. 走马灯是中国传统宫灯与光影玩具的经典结合．下图走马灯的灯体为正六棱柱，它的示意图如图所示，则灯体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确左视图的定义，再分析六棱柱从左面观察所得图形的形状，最后匹配选项得出答案． 【详解】走马灯的灯体为正六棱柱左视图为： ， 选B． 3. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法逐一排除即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 4. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 5. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 6. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解∶ A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误； C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误； D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误； 故选∶ A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7. 如图，已知点，若将线段平移至，其中点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据，两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题． 【详解】解：线段由线段平移得到， 且，，，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图象的变化，解题的关键是熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同． 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 9. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，正方形的边长为8，E是边上一点，且，交延长线于点F，平分交于点M，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，四边形是正方形，则有，，然后证明，再证明是的中位线，由中位线定理可得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，计15分） 11. 中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：数据27600000用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 计算：=_____． 【答案】． 【解析】 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 小明从《红星照耀中国》《红岩》《长征》三本书中随机挑选两本，其中拿到《长征》与《红星照耀中国》的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出所有等可能的结果数，再求出满足题意的结果数，最后根据概率公式计算结果． 【详解】解：记拿到《红星照耀中国》为，拿到《红岩》为，拿到《长征》为． 从三本书中随机挑选两本，所有等可能的结果为，，，共种， 其中拿到《长征》与《红星照耀中国》的结果只有种， 根据概率公式可得拿到《长征》与《红星照耀中国》的概率为． 14. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果. 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键. 15. 如图1，等腰三角形中，，，点D为的中点，点P为上一个动点，若的长为x，，点P从点B运动到点C时，y关于x的函数关系图象如图2所示，则 （1）______； （2）图象最低点M的纵坐标为______． 【答案】 ①. 6 ②. 3 【解析】 【分析】（1）根据图象分析即可得到； （2）设的中点为，连接，并延长至，使得，连接，解直角三角形可得为等边三角形，再由即可求解． 【详解】解：（1）由图可知； （2）设的中点为，连接，并延长至，使得，连接， 则， ，， ，，， 又，则关于对称， ， 为等边三角形， 又点D为的中点， ，， 又， 图象最低点M的纵坐标为． 三、解答题（本大题共9小题，计75分） 16. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【详解】原式 . 17. 如图，某民间手艺人制作风筝的支撑骨架中，点E，F分别在的延长线上，平分，．求证：． 【答案】解：证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由可得，根据角平分线的定义可得，再由“”证明即可得到． 【详解】略 18. 某小区在设计时，计划在如图1的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图2所示，已知，，该地冬至正午太阳高度角为，求此时太阳照到住宅楼墙面的位置与地面之间的高度的长．（参考数据：，，．结果保留小数点后一位） 【答案】 【解析】 【分析】如图，过A作于E，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：如图，过A作于E， 由题意得，四边形为矩形，， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． ∴太阳照到住宅楼墙面的位置与地面之间的高度的长为1.4米． 19. 智启未来，创想无限．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在C组中的数据：83，83，83，86，87，88，88，88，88，89． 七、八年级成绩数据统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83.9 83.9 中位数 m 84 众数 78 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，m＝______； （2）该校七年级有学生300人，八年级有学生270人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出一条理由． 【答案】（1）； 补全七年级成绩数据条形统计图如下： （2） （3） 解：该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是， 但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数， 且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好； 【解析】 【分析】（1）根据题意，先得到A组的人数并补全条形统计图，根据中位数的概念求； （2）利用样本估计总体进行求解即可； （3）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：七年级A组有（人）， 30人成绩数据从小到大第15、16位的均值， ； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知七年级80分以上的有人， 故七年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人）， 由扇形统计图可知八年级80分以上的占， 故八年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人）， 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有359人； 【小问3详解】 略 20. 根据以下素材，探究完成任务： 背景 进位制是重要的计数思想，我国古代数学著作《九章算术》中早有相关记载与应用．下面我们认识进位制，探究进位制数的转化规则． 素材一 进位制是一种计数方法，使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即为k进制，日常生活中常用十进制．任意一个k进制数，均可按照位权展开转化为十进制数．例如： 二进制数； 三进制数． 素材二 小明同学设计了一个k（k为大于2的整数）进制数，该数转化为十进制数为36． 解决问题： 任务一 （1）二进制数转化为十进制数为______； （2）八进制数转化为十进制数为______． 任务二 （3）分别将、、转化为十进制数，根据你发现的规律，直接写出______（用含k的代数式表示） （4）求素材二中k的值． 【答案】（1）11 （2）130 （3） （4）5 【解析】 【分析】（1）参照素材1进行转换即可； （2）参照素材1进行转换即可； （3）参照素材1进行转换，结合规律即可求解； （4）根据题意转化为十进制，再解方程即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； ； ； 则； 【小问4详解】 解：， 整理得， 解得或（舍去）， 素材二中k的值为． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点D在上，且，连接，过点D作的切线，交的延长线于点与的延长线交于点F，连接． （1）从以下两个结论中：①平分；②平分，选择一个正确的结论，并证明； （2）若，，求的长． 【答案】（1）选①， 证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵与相切， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，即平分． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证，得到，进而可得，即平分； （2）先利用圆周角定理可证，解法一：先证，再根据相似的性质求线段长即可； 解法二：延长交于G点，连接，求出，设的半径为r，再在中利用勾股定理求得，结合中位线的性质可得，再利用勾股定理求即可； 解法三：过O点作交于H点，设半径为r，先求出，再在中利用勾股定理求得，再利用勾股定理求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵为直径， ∴， ∴，． 又∵， ∴． ∴， ∴． 由（1）知：平分． ∴，． 解法一：∵，， ∴为的中位线． ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴， ∴， ∴． 解法二：如图，延长交于G点，连接． ∵，． ∴垂直平分． ∴，． 又∵， 在，． 设的半径为r，在中，由解得，． 又∵D为中点，O为中点， ∴是的中位线． ∴， ∴． 解法三：如图，过O点作交于H点，设半径为r． ∵为直径， ∴． 又∵， ∴垂直平分． ∴． ∵， ∴， ， ， E为中点，即为的中位线， ∴． ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴． 在中，由解得，． ∴， ∴． 22. “一刻钟便民生活圈”是指以社区居民为服务对象，以满足居民日常生活消费为目标，服务范围为步行约15分钟的社区商圈．宜昌市某街道为落实“一刻钟便民生活圈”建设，计划在辖区的A、B两个社区统一配置便民早餐车20辆，其中，A社区的早餐车数量不少于10辆，B社区的早餐车数量不少于5辆．经过抽样调查，发现A社区每辆早餐车的日均服务量（单位：人次）与早餐车数量（单位：辆）之间满足函数关系：，B社区每辆早餐车的日均服务量（单位：人次）与早餐车数量（单位：辆）之间满足函数关系：．已知早餐车每服务1人次产生的社会便民效益值（包括节省通勤时间、提升幸福感等）为2个单位． （1）若街道决定在A社区配置15辆早餐车，此时A、B两个社区的早餐车日均服务量是多少？产生的社会便民效益总值是多少？ （2）为了更高效的利用资源，街道希望合理分配20辆早餐车，使A、B两个社区产生的社会便民效益总值最大化，请你通过计算设计出最优配置方案，并求出A、B两个社区产生的最大社会便民效益总值． 【答案】（1）A、B两个社区的早餐车日均服务量为1950人次，产生的社会便民效益总值为3900个单位 （2）设两个社区产生的社会便民效益总值为S 由题意得，解得． ， 即 ∵，， ∴当时，S随的增大而减小． ∴当时，S有最大值，． 答：A、B社区各配置10辆早餐车产生的社会便民效益总值最大，最大社会便民效益总值为4800个单位． 【解析】 【分析】首先明确两个社区早餐车数量的关系：因为总共有20辆早餐车，所以设A社区配置辆时，B社区配置（）辆，同时根据题目给出的数量限制确定的取值范围。 （1）如果已知A社区配置15辆，那么可先算出B社区的配置数量，再分别代入对应社区的日均服务量函数，求出各自的日均服务量，之后结合每人次的效益值计算总效益。 （2）先分别写出A、B社区的总服务量关于的表达式，再乘以单位人次的效益值，得到总效益关于的二次函数，之后根据二次函数的增减性质，结合的取值范围，求出总效益的最大值及对应的值。 【小问1详解】 解：当时，， ，． A、B两个社区的早餐车日均服务量：（人次） 产生的社会便民效益总值：（单位）． 【小问2详解】 解：设A社区配置辆早餐车，则B社区配置辆早餐车，两个社区产生的社会便民效益总值为 S． 由题意得，解得． ． 该二次函数对称轴为直线， ∵，且开口向下， ∴当时，S随的增大而减小． 故当时，S取得最大值，． 此时． 答：A、B社区各配置10辆早餐车产生的社会便民效益总值最大，最大社会便民效益总值为4800个单位． 23. 在矩形中，将绕点A逆时针旋转到位置，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点E恰好落在对角线上时，若，，求的长； （3）如图3，直线分别交于点G，交于点M，且，． ①求证：； ②设的面积为，的面积为，直接写出的值． 【答案】（1）证明：由旋转的性质可知：，，， ∴． 在和中， ∵，且， ∴． （2） （3）①证明：连接，由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，即可证明相似． （2）过点C作于点G，由折叠知和矩形性质证，得，得，，由，得，所以． （3）①连接，由旋转性质得，可得，又，得，所以． ②以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设，则， ∴，∴，∴，求出直线的解析式为；直线的解析式为．联立解得，设与交于点N，则，得，，可得，得，所以，得,∴．由，得​，所以​． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作于点G， 由折叠知，， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【小问3详解】 ①略 ②解：∵矩形中，，， ∴以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设，则，． ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． 联立， 解得， 设与交于点N， 则， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， , ， ∴， ∴． 由（1）知， ∵​， ∴​． 24. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求b的值； （2）若，求点P的坐标； （3）定义：抛物线上两点，之间的曲线部分叫做抛物线弧MN（含端点M、N），记，h为抛物线弧上最高点与最低点的纵坐标之差，则称为M、N的特征值．点Q在抛物线上（不与点P重合）位于点P左侧，且轴．记P、C的特征值为，C、Q的特征值为，设． ①求F关于t的函数解析式； ②若函数F的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）将代入即可求； （2）先求出坐标，进而得到，设点，过点作轴交于，再分点在轴下方和点在轴上方两种情况，结合求解即可； （3）①由题可知点P，Q关于对称轴对称，则，进而可得，，再分和两种情况求解析式即可； ②根据①中的解析式，分情况求出，的解，根据方程的解得到的范围即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知， 令时，， 时，，即， 解得或，则，， ， 又点在抛物线上，设，过点作轴交于， 当点在轴下方时， 则，又， ， 整理得，解得或（舍去）， 此时； 当点在轴上方时， 则，又， ， 整理得，解得或（舍去）， 此时； 综上，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：①∵点，是抛物线不同的两点，点Q在点P的左侧，轴， ∴点P，Q关于对称轴对称，则， ∴，， ∴，， （i）若，则P，C两点之间的曲线部分的最高点为点C，最低点为点T， ∴，， ∴． Q，C两点之间的曲线部分的最高点为点C，最低点为点Q， ∴，， ∴， ∴； （ii）若，则P，C两点之间的曲线部分的最高点为点P，最低点为点T， ∴，， ∴． Q，C两点之间的曲线部分的最高点为点Q，最低点为点C， ∴，， ∴． ∴； 综上，； ②当时，， 令，解得，， 令，解得，， ∵最小值为，最大值为， ∴或， ∵， ∴； 当时，， 令，解得，， 令，解得，， ∵最小值为，最大值为， ∴或， ∵， ∴， 综上所述，t的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $