期末综合提升练2025-2026学年南京市八年级下学期数学苏科版

**基本信息** 八年级下学期数学期末综合提升练（苏科版），涵盖统计、代数、几何知识，通过二维码面积估计、安全知识统计等情境题及矩形动点、菱形动态问题，考查抽象能力、推理意识与数据意识，实现基础巩固与创新应用的梯度提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|统计总体样本、分式意义、平行四边形判定|第1题结合学生体育成绩调查，考查数据意识| |填空题|10|因式分解、分式方程解、菱形面积|第11题二维码面积估计，体现数学眼光观察现实世界| |解答题|9|分式运算、几何证明、动点综合|第26题矩形折叠动点问题，考查推理能力与空间观念|

八年级下学期数学期末综合提升练 （新教材苏科版八下全册） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　） A．6800名学生是总体 B．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 4．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．若分式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．下列各式中能用平方差公式计算的是（） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连接、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好落在对角线上，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．当______时，分式的值为零． 10．因式分解：___________． 11．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为____． 12．已知，则的值为_______． 13．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 14．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 15．如图，菱形在平面直角坐标系中，，若，则菱形的面积为______． 16．如图，中，，点D，E分别在边上，且，，分别连接，点M，N分别是的中点，连接，则线段的长为______． 17．在四边形中，，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向D运动，点F从点B出发以的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t为_____________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 18．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为______． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； 20．解分式方程． (1)； (2)． 21．先化简，再求值：，并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值． 22．如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 23．为了提高师生们的安全意识，使青少年学生安全、健康成长，某校组织了一次“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生的答题成绩（单位：分）进行统计，将成绩分为四个等级：，，并根据结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取 人；扇形统计图中的B等级的圆心角度数为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)若90分及以上的答题成绩为“优秀”，该校共有2000名学生，估计该校学生答题成绩为“优秀”的人数． 24．如图，在中，，，延长至点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求四边形的面积． 25．某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． (1)款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ (2)若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 26．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 27．在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 试卷第4页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期数学期末综合提升练 （新教材苏科版八下全册） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　） A．6800名学生是总体 B．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 【答案】B 【分析】根据统计相关的基本概念，包括总体、个体、样本、普查与抽样调查的定义，判断各选项即可． 【详解】解：A．总体是我市初中八年级名学生的体育成绩，不是名学生，错误，故不符合题意； B．名学生的体育成绩是从总体中抽取的一部分个体，符合样本的定义，∴B正确； C．总体的一个个体是每名学生的体育成绩，不是每名学生，错误，故不符合题意； D．本次调查只抽取了部分学生，属于抽样调查，不是普查，错误，故不符合题意． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 3．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式分解因式的条件：多项式为三项，两项为符号相同的平方项，第三项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可. 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 4．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题根据平行四边形的判定定理对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，，，无法推出四边形对边平行或相等，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项中， 四边形内角和为，，， ， ，可得，同理可得， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； C选项中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； D选项中，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故不符合题意． 5．若分式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴， 解得：． 6．下列各式中能用平方差公式计算的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式的结构为，使用条件是两个二项式相乘，两个式子中有一项相同，另一项互为相反数，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A：，其中相同，与互为相反数，符合平方差公式的条件，可以用平方差公式计算； B：，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算； C：，不符合条件，不能用平方差公式计算； D：，两项都互为相反数，不符合条件，不能用平方差公式计算． 7．如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连接、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好落在对角线上，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，利用勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，，利用勾股定理求出，，再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴，，，，，， ∴，，， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 8．如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过作于，先由四边形是矩形，得到，，再证明，得到，证明，得到，证明，得到，根据，，得到，，，再根据，得到． 【详解】解：过作于，过作于， ∵边长为2的菱形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， 即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是． 二、填空题 9．当______时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分子为；分母不为；熟练掌握分式的值为零的条件是解答本题的关键． 根据分式的值为零的条件解答即可． 【详解】解：由分式的值为零，得，且， 解得：， 故答案为：． 10．因式分解：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 11．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为____． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 总面积乘落在黑色阴影的频率稳定值即可得出答案． 【详解】解：∵一个面积为的正方形，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 12．已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】通过对已知等式变形得到的值，再利用完全平方公式变形所求分式，即可计算出结果. 【详解】解：，可知，， ∴， 整理，得， 方程两边同时除以得：， ∴， ∴， ∴. 13．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 14．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 【答案】且 【分析】先解分式方程，再结合解为非负数和分母不为零的条件，列不等式组求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得： 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得：且． 15．如图，菱形在平面直角坐标系中，，若，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】根据菱形性质可得，分别求出，最后利用对角线求菱形的面积. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 16．如图，中，，点D，E分别在边上，且，，分别连接，点M，N分别是的中点，连接，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据题意取的中点F，连接，根据三角形的中位线的性质，可得，，，，根据勾股定理，则，求出即可． 本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用． 【详解】解：取的中点F，连接， ， 点M是的中点， 是的中位线， ，， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 17．在四边形中，，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向D运动，点F从点B出发以的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t为_____________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】分情况讨论，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由对边相等建立方程即可求出时间． 【详解】解：（），（）， ∵当其中一点到达终点，而另一点也随之停止， ∴第5秒时，两点运动终止； ①当点F在线段上（不与点重合）， ∵，， ∴， 此时，， 则有， 解得； ②如图，当点F在线段上（不与点重合），即， 则有， 解得． 综上所述，或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 18．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质． 作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，可知，根据勾股定理求出，则，，证明四边形是正方形，得到，，则，，证明，得到，则，根据勾股定理求的值即可． 【详解】解：如图，作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴ 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及立方根、绝对值、算术平方根及完全平方公式等知识点，正确计算是解题的关键． （1）先计算立方根，去绝对值，算术平方根，去括号，再合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 20．解分式方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，找到最简公分母将分式方程转化为整式方程是解题的关键． （1）方程两边乘，再化简求解，检验即可； （2）方程两边乘，再化简求解，检验即可． 【详解】（1）解：方程两边乘，得， 整理，得：， 解得：． 检验：当时，， 原分式方程的解为； （2）解：方程两边乘，得， 解得：． 检验：当时，， 原分式方程的解为． 21．先化简，再求值：，并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确根据分式的混合运算法则化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可，要注意取2，3时分式无意义，故只能取1． 【详解】解： ； 取2，3时分式无意义， ∴当时，原式 22．如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形为平行四边形，再结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由四边形为菱形，可得，再在中，用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． （2）设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 23．为了提高师生们的安全意识，使青少年学生安全、健康成长，某校组织了一次“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生的答题成绩（单位：分）进行统计，将成绩分为四个等级：，，并根据结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取 人；扇形统计图中的B等级的圆心角度数为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)若90分及以上的答题成绩为“优秀”，该校共有2000名学生，估计该校学生答题成绩为“优秀”的人数． 【答案】(1)200， (2) (3)480人 【分析】（1）用A等级人数除以其扇形统计图中所占百分比即可得到抽取的人数，用360度乘以B等级所占比例即可得到其圆心角的度数； （2）先依次求出D、C等级的人数，再补全统计图即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可 【详解】（1）解：这次抽样调查共抽取（人）； 扇形统计图中的B等级的圆心角度数为； （2）解：D等级的人数为（人）， C等级的人数为（人）， 统计图略． （3）解：（人）， 答：估计该校学生答题成绩为“优秀”的有480人． 24．如图，在中，，，延长至点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）先证，推出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）由等腰三角形三线合一可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 25．某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． (1)款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ (2)若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)款纪念品每件元，款纪念品每件元 (2)共有种购买方案 【分析】（1）设款纪念品每件元，则款纪念品每件元，根据题意，列分式方程求解即可； （2）设购买种纪念品件，购买种纪念品件，根据题意，列二元一次方程讨论求解即可． 【详解】（1）解：设款纪念品每件元，则款纪念品每件元， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：款纪念品每件元，款纪念品每件元； （2）解：设购买种纪念品件，购买种纪念品件， ， ， ，是正整数， 或或， 答：共有种购买方案． 26．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，在中由推出，再利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求出的长； （2）连接，由矩形性质得并求出、的长，由是中点得，再根据折叠的性质得、，从而推出、，利用证明，得到，设，用含的式子表示出和，最后在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长； （3）由得出为定值，因此周长最小等价于最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，先在中用勾股定理求出的长，结合折叠得算出的长，再设，用含的式子表示出和，在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点 ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得， 即； （3）解：当的周长最小时，； ∵， ∴， 当最小时，的周长最小， ∵，当、、三点共线时，最小， 如图， 在中，， 由折叠得，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即． 27．在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)秒 (3)或10或24． 【分析】（1）先证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，据此建立方程求解即可； （3）如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积，证明，平行四边形可得，即，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时，而，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积，此时；然后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵点在边上运动， ∴，． （2）解：∵，，， ， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 当是等腰三角形时，， ， 又∵， ， ， ， ， 又∵， ，解得：． ∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，t的值是秒． （3）解：如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心． 当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积， ∵， ，，而， ， ，即，解得：； ∴； 如图：过P作交延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为； 当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时， ， ，则， ∴； ∴的面积为； 如图：Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积， 此时，的面积等于的面积，即：． 综上，的面积为或10或24． 试卷第2页，共22页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $