精品解析：2026年内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校中考前模拟预测数学试题

2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A为，是负数； 选项B：，是正数； 选项C：，是正数； 选项D：，是正数； 又∵有理数大小比较中，负数小于所有正数， ∴四个数中最小的数是． 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，中心对称图形是要寻找对称中心旋转180度后与原图重合． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，完全平方公式，同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，同底数幂除法和幂的乘方逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，先根据三角形的外角的性质得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，全国风电、光伏发电等可再生能源发挥了重要作用．根据国家能源局2025年第四季度新闻发布会信息，2025年前三季度全国风电、太阳能发电量合计达1.73万亿千瓦时，同比增长28.3%，在全社会用电量中占比达到22%．数据“1.73万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵1万亿 = ，将原数转化为形式时，可得， ∴，即万亿= . 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质，可得，由对顶角相等，可得，根据三角形外角的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 一副三角板如图方式摆放，不添加任何线，则以下结论错误的是( ) A. 图中有3个角 B. C. 是等腰三角形 D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据平行线的性质得到，判断A选项；根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算，判断B选项；根据等腰三角形的概念判断C选项；根据五边形内角和计算，判断D选项． 【分析】解：由题意可知：， ∴， ∴， 则图中有3个角，故选项A正确，不符合题意； 在中， ， 则， 由勾股定理得： ，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三个内角各不相等，不是等腰三角形，故选项C错误，符合题意； D、∵五边形的内角和为：， ， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 8. 我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　　） A. 图象具有对称性，对称轴是直线x＝1 B. 当﹣1<x<1或x>3时，函数值y随x值的增大而增大 C. 当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0 D. 当x＝1时，函数的最大值是4 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可； 【详解】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故A正确； 令 可得， ∴， ∴， ∴和是函数图象与x轴的交点坐标， 又∵对称轴是直线， ∴当或时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确； 由图象可知和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故C正确； 由图象可知，当时，函数值随x的减小而增大，当时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值， 故当时的函数值4并非最大值，故D错误， 综上，只有D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数在新定义函数中的应用等知识，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 若有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可） 【答案】3 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案． 【详解】∵有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是3， 故答案为：3 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键． 10. 小芳和爷爷计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， A B D F A A，B A，D A，F B B，A B，F D D，A D，B D，F F F，A F，B F，D 共有12种等可能结果，其中小芳和爷爷相邻而坐的有4种， 小芳和爷爷相邻而坐的概率是． 11. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：作于，如图： 函数（）与反比例函数（）交于、两点， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算与化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别算出乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则先化简，再代入计算，分母有理化即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 14. 深圳教育秉承“以万物为教材、把世界作课堂”的核心理念，某校八年级开展“每周半天”计划活动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：A光明欢乐田园、B航天农业科技示范园、C深圳湾实验室、D深圳市博物馆，现从八年级同学们进行最想去的场馆抽样问卷调查，每个同学仅能从上面4个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中所给信息解答下列问题： （1）此次抽样调查共有_____人； （2）补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为_____； （3）若该校八年级有1000名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少人： （4）该学校八年级（1）班想从上面4个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率． 【答案】（1）50 （2）如图所示： ； （3）该校八年级学生想去航天农业科技示范园的约有320人 （4） 【解析】 【分析】（1）用A场馆人数及其所占百分比即可得出本次抽查的学生人数． （2）总人数乘以B场馆人数所占比例即可得出B场馆人数，从而补全条形统计图；用乘以选择深圳市博物馆的人数所占比例即可得解； （3）总人数乘以样本B场馆人数所占比例即可得解； （4）列表得出所有等可能出现的结果，找出其中符合题意的结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽查的学生人数是人． 【小问2详解】 解：B场馆人数人， 补全条形统计图略 选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为． 【小问3详解】 解：， 答：该校八年级学生想去航天农业科技示范园的约有320人． 【小问4详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能结果，符合条件的有2种， 所以恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率． 15. 综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】（1）每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 （2）采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【解析】 【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元； 【小问2详解】 解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，即， ， 设每日总服务人次为， ， ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时， 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 16. 如图，是的外接圆，． （1）尺规作图：作出点使得四边形是平行四边形； （2）求证：是的切线； （3）与交于点，若，，求的半径． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2）如图，连接，延长交于M， ∵O是外接圆的圆心，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则问题可求解； （2）连接，延长交于M，由题意易得，然后根据平行四边形的性质可得，进而问题可求证； （3）连接，由题意易得，，，然后可得，，则有，进而可得，设的半径为r，最后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ∴， ∴， 设的半径为r，则在直角三角形中，，， 由勾股定理得，解得：． ∴的半径为． 17. 问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的关系式； 【问题解决】 （2）无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； 【答案】（1） （2）①该平台的高度为；②最大高度差为 【解析】 【分析】（1）根据题意可设抛物线C的关系式为，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）①根据题意可设抛物线的关系式为，，然后可把代入抛物线的关系式为进行求解即可； ②由①得抛物线的关系式为，当时，则有，然后结合图象可进行求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：抛物线C的顶点坐标为, 可设抛物线C的关系式为． 将点代入，得：， 解得：， 抛物线C的关系式为； 【小问2详解】 解：①根据题意可设抛物线的关系式为， ∵，，， ∴，， 此时点B正好在抛物线最高点的下方，与最高点的距离超过， 由题意可知：点D的坐标为，． 无人机乙从平台上的点M处起飞后刚好安全通过障碍物，恰好在抛物线上，将点代入得：， 解得， 即该平台的高度为． ②由①得抛物线的关系式为， 当时，解得． 结合图象可得， 当时，在时，有最大高度差，此时高度差为， 当时，在时，有最大高度差，高度差为． ∵， ∴最大高度差为． 18. 如图，在中，点在边上，将沿翻折得到，点的对称点落在内，延长交所在直线于点，交所在直线于点，延长交边于点． （1）如图1，当点在中点处时，求证：； （2）在（1）的条件下，若，，求的长； （3）如图2，当时，点在边上．若，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】(1) 利用平行四边形性质和翻折性质，通过ASA证明三角形全等． (2) 先由全等结论和对顶角证明为等腰三角形得到，，最后利用相似三角形求出． (3) 利用相似三角形求出，再证明得到，最后利用角平分线性质和面积比求出与的比值． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 将沿翻折得到， ，， ， ，即， 点是中点， ， ， 在延长线上，、、共线， ， 在和中：，，， ． 【小问2详解】 解：由(1)知， ，，， ，， ，即， ， 延长交所在直线于点，交所在直线于点， 、、、四点共线， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：设，，则， ， 设，，则， ， 延长交延长线于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， 将沿翻折得到， ，， 、、共线，、、共线， ，， ，， 、、共线，、、共线， ，， ， 在和中：，，， ， ， 平分， 点到和的距离相等， ， 又和以、为底时，高相同， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，全国风电、光伏发电等可再生能源发挥了重要作用．根据国家能源局2025年第四季度新闻发布会信息，2025年前三季度全国风电、太阳能发电量合计达1.73万亿千瓦时，同比增长28.3%，在全社会用电量中占比达到22%．数据“1.73万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一副三角板如图方式摆放，不添加任何线，则以下结论错误的是( ) A. 图中有3个角 B. C. 是等腰三角形 D. 8. 我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　　） A. 图象具有对称性，对称轴是直线x＝1 B. 当﹣1<x<1或x>3时，函数值y随x值的增大而增大 C. 当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0 D. 当x＝1时，函数的最大值是4 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 若有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可） 10. 小芳和爷爷计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是________． 11. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算与化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 14. 深圳教育秉承“以万物为教材、把世界作课堂”的核心理念，某校八年级开展“每周半天”计划活动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：A光明欢乐田园、B航天农业科技示范园、C深圳湾实验室、D深圳市博物馆，现从八年级同学们进行最想去的场馆抽样问卷调查，每个同学仅能从上面4个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中所给信息解答下列问题： （1）此次抽样调查共有_____人； （2）补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为_____； （3）若该校八年级有1000名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少人： （4）该学校八年级（1）班想从上面4个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率． 15. 综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 16. 如图，是的外接圆，． （1）尺规作图：作出点使得四边形是平行四边形； （2）求证：是的切线； （3）与交于点，若，，求的半径． 17. 问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的关系式； 【问题解决】 （2）无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； 18. 如图，在中，点在边上，将沿翻折得到，点的对称点落在内，延长交所在直线于点，交所在直线于点，延长交边于点． （1）如图1，当点在中点处时，求证：； （2）在（1）的条件下，若，，求的长； （3）如图2，当时，点在边上．若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $