2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）期末考试模拟试卷二

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，以智能制造、公共卫生调查等现实情境为载体，通过分层设问考查抽象能力、推理能力与数据观念，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|组合数计算、瞬时速度、导数几何意义|基础概念与运算结合，如第2题位移与瞬时速度关联| |多选题|3/18|正态分布、条件概率、函数极值|综合应用，如第10题结合硬币抛掷考查条件概率| |填空题|3/15|排列组合、条件概率、随机过程|情境化，如第14题粒子移动模型考查概率递推| |解答题|5/77|独立性检验、二项式定理、全概率公式、导数综合|现实问题驱动，如18题生产线次品率问题融合全概率与贝叶斯公式，19题导数极值点证明体现逻辑推理|

《高二下学期数学期末考试模拟试卷二》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A D A D D AD ABC 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】 2．B 【详解】已知位移函数，对其求导得速度函数：， 将代入得. 因此时的瞬时速度为. 3．B 【分析】分类讨论3个不同的数全为偶数或2个奇数和1个偶数，结合组合数运算求解. 【详解】集合中，奇数有5个，偶数有4个. 任取3个不同的数，和为偶数，需所取奇数的个数为偶数，故有两种情况： 全为偶数，有种； 取2个奇数和1个偶数，有种. 所以不同取法共有种. 4．A 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 5．D 【分析】对“至少有一个一等品”按取出一等品的个数分类计算符合条件的事件数，结合古典概型概率公式得到结果比较选项判断. 【详解】从20个零件中任取3个，总事件数为。"至少有1个一等品"表示取出的3个零件中，一等品的数量为1个、2个或3个， 共三种情况： 1个一等品+2个二等品，有种不同的取法； 2个一等品+1个二等品，有种不同的取法； 3个一等品+0个二等品，有种不同的取法； 因此概率为. A、B、C选项均不符合，所以选D. 6．A 【分析】把极值点问题转化为导数的变号零点问题，分离参数，结合函数图象可得答案. 【详解】，因为在内存在2个极值点， 所以在内存在2个变号零点， 即方程在内有两个不同的实数根， 即在内有两个不同的实数根， 令，则直线与在上有两个不同的公共点， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以有最大值， 因为， 所以直线与在上有两个不同的公共点时，. 7．D 【分析】分别赋值及，结合二项展开式即可得出答案. 【详解】令，则， 令，可得， 所以， 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0. 8．D 【分析】将原不等式在上有解问题转化为（，），结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】不等式在上有解等价于不等式在上有解， 令，，则即可. ， 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增； 因此，当时，取得最小值， ， 所以. 故的最小值为. 9．AD 【分析】根据正态曲线的特点判断AB，根据正态曲线的对称性判断CD. 【详解】对于A，由可知，故A正确； 对于B，因为，所以的分布比的分布更分散，故B不正确； 对于C，因，则， 而,故C不正确， 对于D，由可知， 所以，故D正确． 10．ABC 【详解】设抽到甲硬币为事件甲，设抽到乙硬币为事件乙， 抽到甲硬币且的概率：， 抽到甲硬币且的概率：， ， 抽到乙硬币且的概率：， 抽到乙硬币且的概率：， . 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确. 对于D，在事件发生后，取得甲硬币的概率：， 在事件发生后，取得乙硬币的概率：，在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为，D错误. 11．BCD 【详解】函数，定义域为，， 是的极大值点，有，解得或， 当时，，在上单调递减，不合题意； 当时，， 解得或，解得， 在和上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，是的极小值点，符合题意. 所以A选项错误，BC选项正确； ，时，时， 的极大值为，的极小值为， 所以恰有3个零点，D选项正确. 12．150 【分析】根据题意，按照和两种方案进行分组分配，利用排列组合公式计算即可. 【详解】依题意，可以按照和两种方案进行分组分配. 当按照分组时，有种方案； 当按照分组时，有种方案. 故不同的方案有种. 13． 【分析】利用条件概率的计算公式可求 【详解】表示“取到的两个数为偶数且和为偶数”，， 而，故， 故答案为：. 14． /0.25 【分析】B的相邻容器：A、C，A的相邻容器：B、D，D的相邻容器：A、C，C到达后停止移动 解法一：(1)表示粒子在第3小时首次到达C，说明前2小时未到达C，第3小时到达C，到达每个容器的概率都为，以此进行计算； (2)分析粒子每小时运动到C的概率找规律，列出计算式，利用数列求和知识求出均值． 解法二：设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率，分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率.分析，，，之间的递推关系，可求的值，再结合期望的关系，可求. 【详解】解法一：(1)第0小时，在B； 第1小时，只能到A，概率为； 第2小时，可能到B，可能到D，概率为； 第3小时，到C，概率为； 故； (2)由题意知；；；； ； 由此可得，偶数小时时，粒子都在B或D，无法停止，故； 奇数小时时： 由可知：， 即； 令， 则 将式两边同时乘以可得： 式减式可得：， ； 故，即． 解法二： 设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率，    分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率. 当时，则，，，， 则，因为，，则， 则，则，化简得． 15．(1)， (2) (3)有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效 【详解】（1）由列联表知， （2）由列联表知，不认真完成作业的有人，不认真完成作业且成绩不优秀的有人，所以在不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的频率为， 所以不认真完成作业且成绩不优秀的概率的估计值为． （3）零假设：假设认真完成作业与成绩优秀无关； 由列联表得到， 所以有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效. 16．(1) (2)通项为，含项的系数为 (3)最小正整数 【分析】（1）根据求解即可. （2）利用二项展开式的通项计算可得结果； （3）由通项得出含有常数项时，再结合其范围可得当时，取最小值5. 【详解】（1）因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以, 所以 （2）当时，展开式的通项为 令，解得 所以展开式中含项的系数为 （3）展开式的通项， 由于展开式含有常数项，可得 即，又 即当时，取最小值5，此时展开式含有常数项， 因此最小的正整数的值为5. 17．(1)的分布列为 0 1 2 3 (2) 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）设事件“被调查者摸到白球”，结合全概率公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生， 可得随机变量的可能取值为， 则，， ，． 所以变量的分布列为 0 1 2 3 所以期望为. （2）设事件“被调查者摸到白球”， 可得， 当时，. 18．(1)； (2)； (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率； （2）利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率； （3）通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使最大的的取值范围，进而得到最值. 【详解】（1）设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”. 由题意，，，，，，. 由全概率公式，. （2）由贝叶斯公式，. （3）由题意，，故（）. 要使最大，需满足且. 由，得， 化简得，解得，故. 由，得， 化简得，解得，故. 综上，正整数的最小值为，最大值为. 19．(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用求切线斜率，再求切线方程； （2） （ⅰ）有两个极值点等价于有两解，即有两解，令，在分析的单调性即可求解； （ⅱ）有两解，先求出满足的关系式，再令，不等式等价于，令函数，求导分析单调性再求最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则， 而，所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以. （ⅱ）有两解，即，两边取对数得, 则当时，， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即 ，，于是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期数学期末考试模拟试卷二 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．计算：（    ） A．26 B．325 C．650 D．15600 2．某质点沿直线运动，位移（单位:）与时间（单位：）之间的关系为:，则时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．从集合中任取3个不同的数.若这3个数的和为偶数，则不同取法共有（   ） A．40种 B．44种 C．48种 D．52种 4．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（    ） A． B． C． D．以上均不对 6．函数在内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．若关于的不等式在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．某中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，，则下列选项正确的是（     ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 10．有两枚外形完全相同的硬币，甲硬币正面朝上的概率为，乙硬币正面朝上的概率为，随机取出其中一枚硬币，连续抛掷3次，记正面朝上的次数为，事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．在事件发生的条件下，取到乙硬币的概率为 C．在事件发生的条件下，三次均为正面的概率为 D．在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为 11．已知是函数的极大值点，则（    ） A． B．是的极小值点 C．的单调递减区间为 D．恰有3个零点 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________种. 13．从2，3，4，5，6，7，8中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则______． 14．如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则______，______．    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 15．（本小题满分13分）为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 认真完成作业 总计 (1)求； (2)记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值； (3)能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（本小题满分15分）在的二项展开式中． (1)若展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求值； (2)若，求展开式通项和展开式中含项的系数； (3)若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值． 17．（本小题满分15分）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查．调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子．每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”． (1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； (2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； 18．（本小题满分17分）某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 19．（本小题满分17分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明：. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $