期末复习：离散型随机变量的分布列、数学期望、方差专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦离散型随机变量三大核心考点，通过实际情境例题构建从分布列到期望、方差的知识链条，培养数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |离散型随机变量的分布列|3例+3变式|含盲盒、射击、竞赛得分等实际情境，涉及频率估计概率、条件概率|以随机变量取值及概率计算为基础，构建分布列概念，为期望方差铺垫| |离散型随机变量的数学期望|3例+3变式|涵盖不放回取球、比赛局数、商品抽检，需先求分布列再计算期望|基于分布列，通过加权平均实现随机变量平均水平的量化，体现数学思维的逻辑性| |离散型随机变量的方差|3例+3变式|包括取球编号、有放回抽取、导游人数，结合期望考查数据波动|在期望基础上，通过偏离程度刻画稳定性，形成完整的随机变量数字特征体系，培养用数学语言表达不确定现象的能力|

期末复习：离散型随机变量的分布列、数学期望、方差专项训练 期末复习：离散型随机变量的分布列、数学期望、方差专项训练 考点目录 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的方差 考点一 离散型随机变量的分布列 例1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）某校举办公益图书抽盲盒活动，共有A，B两款盲盒，每个盲盒内均有3本图书．该校设置的阅读积分奖励方案如下：若盲盒内有3本经典名著，则为“精品盲盒”，奖励阅读积分20分；若盲盒内有2本经典名著，则为“优质盲盒”，奖励阅读积分10分；若盲盒内的经典名著不超过1本，则为“普通盲盒”，奖励阅读积分5分．为了解盲盒的品质情况，负责人从两款盲盒中各随机抽取100个进行统计，得到如下的频数分布表： A款盲盒中经典名著本数频数分布表 本数 0 1 2 3 频数 10 20 40 30 B款盲盒中经典名著本数频数分布表 本数 0 1 2 3 频数 10 20 50 20 (1)从本次抽取的200个盲盒中随机抽取1个，求该盲盒为“精品盲盒”的概率； (2)将频率视为概率，假设每位学生抽取盲盒的结果相互独立，某学生随机抽取A款、B款盲盒各1个，记该学生获得的总阅读积分为X，求X的分布列． 例2．（25-26高二下·吉林辽源·期中）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台. (1)若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列. 例3．（25-26高二下·吉林延边·期中）2025年高考数学全国1卷多选题（每道题有，，，四个选项，考查位置：第9～11题），得分规则如下： 多选题（每题6分） 得分情况 正确选项个数 2个（如） 选对1个（选或） 3分 选对2个（选） 6分 3个（如） 选对1个（选或或） 2分 选对2个（选或或） 4分 选对3个（选） 6分 为让学生适应高考试卷结构，某学校组织了一场考试．已知每道多选题随机地从四个选项中做选择，学生随机作答时，是否选择每个选项的事件相互独立（有选错误选项一律得分）．每道题正确选项为2个或3个的概率均为． (1)已知第10题有三个选项符合题目要求，小张同学毫无头绪，于是他通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率； (2)第11题小王同学没有思路，但他想到了两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列； (3)若本次考试第9～11题正确选项都为2个，乙同学每道题都得满分，甲同学知道后说：“这3道题有些知识点你是会的．”若乙同学三道题都随机选择两个选项，求乙每道题都得分的概率p，并根据p值大小判定甲同学的话是否正确．（p值保留两位有效数字）． 变式1．（25-26高二下·山西临汾·期中）甲、乙两名运动员互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们的射击成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲、乙射击成绩（环数）的分布列如下： 甲 乙 环数 8 9 10 8 9 10 概率 (1)求p，q的值； (2)若甲、乙两名运动员各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率； (3)若两名运动员各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列． 变式2．（2026·宁夏银川·三模）某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 变式3．（25-26高二下·广东东莞·月考）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为．该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球． (1)求在前4球中，甲领先的概率； (2)12球过后，双方战平，已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）．设净胜分为（甲，乙的得分之差），求的分布列． 考点二 离散型随机变量的数学期望 例1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知一个不透明的箱子内装有大小质地一样，只有颜色不同的6个小球，其中4个红球，2个白球，现从箱子内不放回地逐一依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时就停止取球．用X表示停止取球时取出的小球的总数，用Y表示停止取球时箱子内剩余的白球个数． (1)求； (2)求； (3)求Y的分布列及期望． 例2．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为．从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为． (1)当时，求甲第二局获胜的概率． (2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为．记这场比赛需要进行的局数为X，求X的分布列与期望． 例3．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品和7件B商品，第二个超市中有7件A商品和8件B商品，第三个超市中有5件A商品和20件B商品．随机从这三个超市中选取一个抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次．每次抽取一件商品． (1)求第一次抽到的是A商品的概率； (2)记X表示抽到的A商品的个数，求X的分布列与期望； (3)在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率． 变式1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知袋子中共有个大小形状完全相同的球，其颜色分别为红色、黄色和蓝色，其中红球有个，现从中随机、不放回的逐个取出小球，直到将球全部取出． (1)求第二次取出的是红球的条件下，第一次取出的不是红球的概率； (2)若红球、黄球和蓝球的个数分别为3个、2个和2个，求红球被全部取出时，剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率； (3)记随机变量为最后一个红球被取出时袋子中剩余球的个数，求． 变式2．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校开展了历史知识竞赛．决赛设置两类题型，每位选手先抽取两道类题，再抽取一道类题．类题答对一道得10分，类题答对一道得20分．已知选手甲答对类题的概率为，答对类题的概率为，且各题是否答对相互独立． (1)求甲恰好答对一道题的概率； (2)设为甲的总得分，求的分布列和数学期望； (3)若选手乙答对类题的概率为，答对类题的概率为，设为乙的总得分，比较和的大小． 变式3．（25-26高二下·云南楚雄·期中）甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 考点三 离散型随机变量的方差 例1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）袋中有编号为的四个大小､质地均相同的小球，从中依次不放回地随机取出两个球，设第一次取出的球的编号为，第二次取出的球的编号为，设随机变量. (1)求的分布列及数学期望； (2)定义随机变量，求的期望及方差. 例2．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求只抽到白球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球不得分.求得分的分布列，以及的期望和方差. 例3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名，从这10名导游中随机选择4人参加比赛. (1)设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； (2)设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差. 变式1．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7． (1)求甲同学到第三天才预约成功的概率； (2)记为甲同学预约门票的天数，求的分布列、期望和方差． 变式2．（25-26高二下·吉林·期中）甲，乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为.求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列; (2)的均值和方差， 变式3．（25-26高二下·四川成都·期中）我国是全球制造业大国，制造业主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位：）． (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的分布列及数学期望． (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：离散型随机变量的分布列、数学期望、方差专项训练 期末复习：离散型随机变量的分布列、数学期望、方差专项训练 考点目录 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的方差 考点一 离散型随机变量的分布列 例1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）某校举办公益图书抽盲盒活动，共有A，B两款盲盒，每个盲盒内均有3本图书．该校设置的阅读积分奖励方案如下：若盲盒内有3本经典名著，则为“精品盲盒”，奖励阅读积分20分；若盲盒内有2本经典名著，则为“优质盲盒”，奖励阅读积分10分；若盲盒内的经典名著不超过1本，则为“普通盲盒”，奖励阅读积分5分．为了解盲盒的品质情况，负责人从两款盲盒中各随机抽取100个进行统计，得到如下的频数分布表： A款盲盒中经典名著本数频数分布表 本数 0 1 2 3 频数 10 20 40 30 B款盲盒中经典名著本数频数分布表 本数 0 1 2 3 频数 10 20 50 20 (1)从本次抽取的200个盲盒中随机抽取1个，求该盲盒为“精品盲盒”的概率； (2)将频率视为概率，假设每位学生抽取盲盒的结果相互独立，某学生随机抽取A款、B款盲盒各1个，记该学生获得的总阅读积分为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2) 10 15 20 25 30 40 0.09 0.27 0.2 0.15 0.23 0.06 【分析】（1）根据古典概型公式求解即可； （2）先根据题意得到随机变量的所有可能取值，再求出各值的概率即可得到其分布列． 【详解】（1）由频数分布表可知，本次抽取的200个盲盒中， A款中“精品盲盒”的数量为30个，B款中“精品盲盒”的数量为20个， 因此“精品盲盒”的总数量为个． 故所求概率为． （2）分别计算，两款盲盒获得对应积分的概率： 记款盲盒获得对应积分，款盲盒获得对应积分， 则，，． ，，． 因此的所有可能取值为，，，，，． ， ， ， ， ， ． 因此的分布列为 10 15 20 25 30 40 0.09 0.27 0.2 0.15 0.23 0.06 例2．（25-26高二下·吉林辽源·期中）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台. (1)若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列. 【答案】(1) (2) 0 1 2 【分析】（1）法一：求得，利用条件概率公式求解即可；法二：，利用条件概率公式求解即可． （2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列． 【详解】（1）设事件：第一次抽到品牌；设事件：第二次抽到品牌， 法一： ，则， 所以每次不放回抽取，在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率为． 法二：，则， 所以每次不放回抽取，在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率为． （2）设挑选2台电脑中品牌的台数为，的可能取值为0，1，2， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 例3．（25-26高二下·吉林延边·期中）2025年高考数学全国1卷多选题（每道题有，，，四个选项，考查位置：第9～11题），得分规则如下： 多选题（每题6分） 得分情况 正确选项个数 2个（如） 选对1个（选或） 3分 选对2个（选） 6分 3个（如） 选对1个（选或或） 2分 选对2个（选或或） 4分 选对3个（选） 6分 为让学生适应高考试卷结构，某学校组织了一场考试．已知每道多选题随机地从四个选项中做选择，学生随机作答时，是否选择每个选项的事件相互独立（有选错误选项一律得分）．每道题正确选项为2个或3个的概率均为． (1)已知第10题有三个选项符合题目要求，小张同学毫无头绪，于是他通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率； (2)第11题小王同学没有思路，但他想到了两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列； (3)若本次考试第9～11题正确选项都为2个，乙同学每道题都得满分，甲同学知道后说：“这3道题有些知识点你是会的．”若乙同学三道题都随机选择两个选项，求乙每道题都得分的概率p，并根据p值大小判定甲同学的话是否正确．（p值保留两位有效数字）． 【答案】(1) (2)小王用策略一得分的分布列为 0 2 3 小王用策略二得分的分布列为 0 4 6 (3)，甲同学的话是正确的 【分析】（1）定义随机选1、2、3个选项作答为完备事件，小张得0分为事件，已知各概率与对应条件概率，套用全概率公式求和计算出小张得0分的概率. （2）分别设策略一、策略二得分随机变量并确定取值，借助组合计数算出、各自取不同分值的概率，依次列出两个随机变量的概率分布列. （3）定义单题选两个选项得分事件和每题都得分事件，先用组合数求，再由各题答题相互独立，用独立事件概率乘法算出连题都得分的，依据该概率为小概率事件，判定乙同学基本无法乱答得满分，验证甲同学说法正确. 【详解】（1）记“随机选择个选项作答”，，“小张得0分”． ，，， ，，， 则 （2）记小王用策略一得分为随机变量，则的取值为0，2，3； 记小王用策略二得分为随机变量，的取值为0，4，6， ， ，． 小王用策略一得分的分布列为 0 2 3 ， ． 小王用策略二得分的分布列为 0 4 6 （3）设事件：“乙同学在某道题上选两个选项且得分”,事件：“乙同学每道题都得分”. 则， 所以， 故事件为极小概率事件，所以乙同学基本不可能每道题都乱答且得满分，甲同学的话是正确的． 变式1．（25-26高二下·山西临汾·期中）甲、乙两名运动员互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们的射击成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲、乙射击成绩（环数）的分布列如下： 甲 乙 环数 8 9 10 8 9 10 概率 (1)求p，q的值； (2)若甲、乙两名运动员各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率； (3)若两名运动员各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列． 【答案】(1)，. (2) (3)的分布列为 0 1 2 P 【详解】（1）由分布列的性质，得，解得，. （2）甲、乙两名运动员各射击两次，四次射击中恰有三次命中9环，则有甲命中1次9环、乙命中2次9环或甲命中2次9环、乙命中1次9环. 因此，所求事件的概率． （3）由题意可知，随机变量的可能取值有0，1，2． ，，． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 变式2．（2026·宁夏银川·三模）某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 【答案】(1)，中位数为75 (2) 0 1 2 【分析】（1）通过矩形面积和为1，可求，由中位数的计算公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1，， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． （2）由分层抽样可知， 成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， ， 0 1 2 变式3．（25-26高二下·广东东莞·月考）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为．该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球． (1)求在前4球中，甲领先的概率； (2)12球过后，双方战平，已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）．设净胜分为（甲，乙的得分之差），求的分布列． 【答案】(1) (2) 3 5 【详解】解：（1）甲与乙的比分是的概率为， 比分是的概率为， 故前4球中，甲领先的概率； （2）依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得11分胜利，即甲或获胜， 即在接下来的比赛中，甲乙的比分为或，且最后一球均为甲获胜， 记比分为为事件，则， 记比分为为事件，即前6场比赛中，乙获胜两场，期间甲发球4次，乙发球2次，， 故甲依题意获胜的概率为， 的所有可能取值为3，5， 已知甲奇数球获胜的概率为， 由条件概率有，， 故的分布列为： 3 5 考点二 离散型随机变量的数学期望 例1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知一个不透明的箱子内装有大小质地一样，只有颜色不同的6个小球，其中4个红球，2个白球，现从箱子内不放回地逐一依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时就停止取球．用X表示停止取球时取出的小球的总数，用Y表示停止取球时箱子内剩余的白球个数． (1)求； (2)求； (3)求Y的分布列及期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列： 数学期望为 【分析】（1）事件“”包含箱子内剩余2个白球或剩余2个红球，利用古典概型公式即可求解； （2）当时，对进行分类讨论，由此求得. （3）根据、，结合古典概型概率计算公式求得分布列并求得数学期望. 【详解】（1）由题意得：事件“”包含箱子内剩余2个白球或剩余2个红球， 法一：考虑2个白球的位置，得到剩余2个白球的概率为， 剩余2个红球（前3次中有一次取白球，第4次取白球）的概率为. 法二：考虑前4次取球的排列情况， 剩余2个白球（前4次取出的都是红球）的概率为， 剩余2个红球（前4次取出2个白球2个红球， 且前3次中有一次取白球，第4次取白球）的概率为. 所以； （2）由题意知，当时，满足题意， 所以表示取出2个白球，剩余4个红球，所以， 得到表示取出3个球，且前两次取出1白1红，第3次取出的是白球， 剩余3个红球，所以， 得到表示取出4个球，且前3次取出1白2红，第4次取出的是白球， 剩余2个红球，所以， 得到表示取出5个球，且前4次取出1白3红，第5次取出的是白球， 剩余1个红球，所以， 所以； （3）由题意得的可能取值为，由（2）知， 当时，，表示取出5个球， 且前4次取出1白3红，第5次取出红球，剩1个白球，则， 当时，，表示前4次取出4个红球，剩余2个白球，， 所以的分布列为： 所以. 例2．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为．从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为． (1)当时，求甲第二局获胜的概率． (2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为．记这场比赛需要进行的局数为X，求X的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 期望为 【分析】（1）根据全概率公式即可求解, （2）根据全概率公式即可求解概率，进而根据期望公式求解. 【详解】（1）设“甲第局获胜”，其中，依题意得， 当时，则. ， 所以甲第二局获胜的概率为. （2）甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为， 依题意得，解得. 则的可能取值为2，3. ， ， 所以的分布列为 2 3 例3．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品和7件B商品，第二个超市中有7件A商品和8件B商品，第三个超市中有5件A商品和20件B商品．随机从这三个超市中选取一个抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次．每次抽取一件商品． (1)求第一次抽到的是A商品的概率； (2)记X表示抽到的A商品的个数，求X的分布列与期望； (3)在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)． 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，根据全概率公式分别求得相应的概率，即可得到其分布，再根据离散型随机变量的期望公式，求得期望； （3）分别求出和则，再根据条件概率公式求得在第二次抽到的是B商品的情况下，第一次抽到的是A商品的概率． 【详解】（1）设“第次抽到的是A商品”，“第次抽到的是B商品”，“选取到第个超市”，． 由题意得第一次抽到的是A商品的概率． （2）的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 所以． （3）从甲超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为； 从乙超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为； 从丙超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为. 所以. ， 则， 所以在第二次抽到的是商品的情况下，第一次抽到的是商品的概率为． 变式1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知袋子中共有个大小形状完全相同的球，其颜色分别为红色、黄色和蓝色，其中红球有个，现从中随机、不放回的逐个取出小球，直到将球全部取出． (1)求第二次取出的是红球的条件下，第一次取出的不是红球的概率； (2)若红球、黄球和蓝球的个数分别为3个、2个和2个，求红球被全部取出时，剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率； (3)记随机变量为最后一个红球被取出时袋子中剩余球的个数，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件概率的公式求解即可； （2）先求出当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的概率，再结合黄球和蓝球个数相同，即可求解； （3）先根据题意得到的取值，再求出每个取值的概率，进而根据期望公式即可求解． 【详解】（1）设第一次取出的不是红球为事件A，第二次取出是红球为事件B， 则，， 所以． （2）当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的情况可分三类： ①最后一个红球为第3个时（前3个都是红球）， 即前3个红球全排列，后4个球（2黄2蓝）全排列，共有种； ②最后一个红球为第5个时（前4个球中有2红1黄1蓝，第5个是红球）， 即选1个红球放第5位，在2黄和2蓝中各选1个，前4个球（2红1黄1蓝）全排列，后2个球（1黄1蓝）全排列，共有种； ③最后一个红球为第7个时（前6个球中有2红2黄2蓝，第7个是红球）， 即选1个红球放第7位，前6个球（2红2黄2蓝）全排列，共有种， 所以当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的概率为， 又黄球和蓝球个数相同，所以黄球个数比蓝球个数多的概率与蓝球个数比黄球个数多的概率相同， 所以剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率为． （3）随机变量的取值为，，，，，， 设红球被全部取出时，一共被取出了个球， 则随机变量的分布列， 所以， 又， ， ， 所以． 变式2．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校开展了历史知识竞赛．决赛设置两类题型，每位选手先抽取两道类题，再抽取一道类题．类题答对一道得10分，类题答对一道得20分．已知选手甲答对类题的概率为，答对类题的概率为，且各题是否答对相互独立． (1)求甲恰好答对一道题的概率； (2)设为甲的总得分，求的分布列和数学期望； (3)若选手乙答对类题的概率为，答对类题的概率为，设为乙的总得分，比较和的大小． 【答案】(1) (2)X的分布列为：，，，，； (3) 【分析】（1）甲恰好答对一题分为“答对一道 A 类题且 B 类题答错”和“两道 A 类题都答错且 B 类题答对”两种情况. （2）分别求出答对 A 类题的道数和答对 B 类题的情况，按总分合并同分事件. （3）利用数学期望的线性性质分别计算E(X)和E(Y)并比较. 【详解】（1）甲恰好答对一道题，分为答对道类题且答错类题，或答错道类题且答对类题. 所以所求概率为 . （2）设甲答对类题的道数为，答对类题的道数为，则，， 且. 于是的可能取值为. . . . . . 所以的分布列为： . （3）由期望的线性性质，甲的数学期望为. 易知乙答对A、B两类题的题数分别服从二项分布， 由期望的线性性质可得乙的数学期望为. 所以. 变式3．（25-26高二下·云南楚雄·期中）甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 4 【分析】（1）通过“从袋中取两个标号为2的球的概率”列组合数方程，解方程即可得到； （2）先确定的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，最后整理分布列求期望即可. 【详解】（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为， 取到两个标号为2的球的组合数为， 由取到的标号都是2的概率是，得， 整理得，解得或（舍去） （2）的可能取值为. ， ， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 考点三 离散型随机变量的方差 例1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）袋中有编号为的四个大小､质地均相同的小球，从中依次不放回地随机取出两个球，设第一次取出的球的编号为，第二次取出的球的编号为，设随机变量. (1)求的分布列及数学期望； (2)定义随机变量，求的期望及方差. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)；. 【分析】（1）由题意可得，根据古典概型的求法，求出对应的概率，列出分布列，由期望公式求解即可； （2）由求解即可；先求出的值，再根据方差的性质求即可. 【详解】（1）由题意可得， 所以， 又因为的情况为共12种， 当时，有，，，，，共6种， 所以； 当时，有，，，共4种， 所以； 当时，有，共2种， 所以； 所以的分布列如下： 所以. （2）因为，， 所以； ， 所以. 例2．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求只抽到白球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球不得分.求得分的分布列，以及的期望和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）利用古典概型，先求不放回抽3个球的总事件数，再求只抽到白球的事件数，代入公式计算概率； （2） 先确定抽到红球的次数服从二项分布，再根据得分与抽红球次数的线性关系确定X的取值、对应概率，列出分布列后利用期望和方差的性质计算结果. 【详解】（1）不放回抽取3个小球，总的基本事件数为 ，只抽到白球的基本事件为从4个白球中抽取3个，事件数为 . 根据古典概型概率公式，所求概率为： （2）有放回抽取时，单次抽到红球的概率为，设3次抽取中抽到红球的次数为， 则 ，其中的取值为，且 . 由题意得 ，故的可能取值为，且 ，计算得： 的分布列为： 0 2 4 6 根据二项分布的期望、方差公式， ，， 因此： 例3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名，从这10名导游中随机选择4人参加比赛. (1)设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； (2)设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 ，. 【分析】（1）根据给定条件，利用组合计数问题求出古典概率. （2）求出的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望、方差. 【详解】（1）依题意，这10名导游中随机选择4人，有种不同选法， 当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 所以事件发生的概率. （2）依题意，随机变量的所有可能取值为， ，，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为， 方差. 变式1．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7． (1)求甲同学到第三天才预约成功的概率； (2)记为甲同学预约门票的天数，求的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列： 1 2 3 0.7 0.21 0.09 ，. 【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率计算公式求解即可. （2）根据独立事件同时发生的概率公式求分布列，再利用期望和方差的概念求期望和方差. 【详解】（1）设表示事件“甲同学在第天预约成功” 表示事件“甲同学到第3天才预约成功” 则 可得. （2）依题意，的所有可能取值为1，2，3． 且， ， ， 则的分布列为 1 2 3 0.7 0.21 0.09 . . 变式2．（25-26高二下·吉林·期中）甲，乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为.求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列; (2)的均值和方差， 【答案】(1) 0 1 (2) 【分析】（1）先确定甲的得分的可能取值，再根据甲、乙赢机器人的概率分别计算对应取值的概率，从而可写出分布列； （2）利用均值公式和方差公式即可求得. 【详解】（1）由题意知，的可能取值为， 且，，， 所以X的分布列为 0 1 （2）由（1）得，，. 变式3．（25-26高二下·四川成都·期中）我国是全球制造业大国，制造业主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位：）． (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的分布列及数学期望． (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差． 【答案】(1) 分布列： 0 1 2 3 数学期望 (2) 技术攻坚成功的概率为， 【分析】（1）找到可能值，分别计算各取值对应概率，进而列出分布列，再代入期望公式求解即可； （2）由题知服从二项分布，攻坚成功概率，根据二项分布概率求解即可；的方差利用二项分布方差公式求解. 【详解】（1）由题意可知的可能取值为：. ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 P 数学期望. （2）由题意每个零件合格的概率为，且各零件合格情况相互独立，故. 技术攻坚成功时合格零件数超过半数，即时技术攻坚成功； 因此技术攻坚成功的概率为 ， ， 故； 方差. 2 学科网（北京）股份有限公司 $