2025-2026学年高二下学期数学期末考试自编模拟试卷一（人教A版选择性必修第二册导数+选择性必修第三册）

**基本信息** 高二下学期数学期末模拟卷，以函数导数、概率统计、排列组合为核心，通过电动汽车电池测试、机器人PK等现实情境题，考查数学建模与逻辑推理能力，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数导数、排列组合、离散型随机变量|基础概念辨析，如切线倾斜角范围、密码数字组合| |多选题|3/18|正态分布、条件概率、函数性质|多选项分层考查，如两点分布方差、对立事件判断| |填空题|3/15|概率计算、异面直线、默契度游戏|情境创新，如正方体棱异面概率、三位数默契度问题| |解答题|5/77|导数应用、独立性检验、二项式定理、概率分布|综合实践导向，如电池循环测试的独立性检验与分布列、机器人PK比赛的概率应用，培养数据意识与模型观念|

高二下学期数学期末考试模拟试卷一 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 2．某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．288 3．点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 5．下面给出四个随机变量： ①1天内的温度； ②一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ③从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码； ④一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置为． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 7．除以64的余数为（    ） A．13 B．33 C．23 D．31 8．已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．下列结论正确的是（     ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量，满足，若，则， C．这组数据：，，，，，，的第70百分位数为6 D．离散型随机变量服从两点分布，且，则 10．甲袋中有4个红球，6个白球，乙袋中有3个红球，7个白球.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球.设表示“从甲袋取出的球是红球”，表示“从甲袋取出的球是白球”，B表示“从乙袋取出的球是红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B．，为对立事件 C． D． 11．已知函数，．令，，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最小值 B．为偶函数，且 C．方程在区间内有且仅有两个实根 D．对任意，都有 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知随机事件，满足，，则______． 13．从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为___________． 14．甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A和B．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”： ①A、B中相同的数字少于两个（如147和289） ②A、B中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174） 根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为______． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 15．（本小题满分13分）设，已知函数，若曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值，并求该切线方程； (2)求在区间上的最值． 16．（本小题满分15分）某电动汽车制造企业为了提升电池性能，研发部门对一款新型号的电池进行了充放电循环测试，测试时分别收集了使用液冷技术与风冷技术的电池各250组，测试电池电容量衰减至初始容量的时所经历的充放电循环次数，若循环次数不低于2000次，则认定为A级电池，否则认定为B级电池，统计结果如下表： A级电池 B级电池 总计 液冷技术 200 50 250 风冷技术 150 100 250 总计 350 150 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析“是A级电池”与“电池冷却技术类型”是否有关； (2)现从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池，再从这10组电池中用无放回的方式随机抽取3组电池，记为抽到的A级电池的组数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．（本小题满分15分）已知的展开式中，二项式系数之和等于1024．常数项为， (1)求的值； (2)第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 18．（本小题满分17分）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 19．（本小题满分17分）已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高二下学期数学期末考试模拟试卷一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C B B B B ABD ABD 题号 11 答案 ABC 1．C 【详解】函数， 则. 2．C 【分析】先排语文与数学，再通过乘法原理求解即可. 【详解】上午两节语文课连上有三种可能，同理下午两节数学课连上有三种可能， 因为英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，直接全排列，所以有种. 3．D 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，再求解切线的倾斜角的取值范围. 【详解】因为，所以， 由于，因此，可得 ， 即切线斜率， 因为切线的倾斜角为，且，斜率，分两种情况讨论： 当时，即，可得 当时，即，结合正切函数在上单调递增且，可得 综合以上两种情况，倾斜角的取值范围是：. 4．C 【分析】利用分步乘法计数原理列式计算. 【详解】先选重复数字，有10种；再选重复数字所在的两个位置，有种． 剩下两个位置填两个不同数字，且不能等于重复数字，因此从其余9个数字中有序选2个，有种． 所以总数为． 5．B 【详解】离散型随机变量是指其可能取到的值可以一一列举出来的随机变量. 对于①，一天内的温度可以取某一区间内的任意数，不能一一列举出来，故①不是离散型随机变量； 对于②，一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数可以是等，这些值可以一一列举出来，故②是离散型随机变量； 对于③，从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码可以是，这些值可以一一列举出来，故③是离散型随机变量； 对于④，一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置可以取直线上的任意一点，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量. 综上，②③是离散型随机变量. 6．B 【分析】求出导函数，根据极值点及极值列式计算方程组得出参数即可求解. 【详解】函数的导数为， 由题意得，解得， 当时，， 单调递减，单调递增， 所以是的极小值点，且，符合题意， 所以. 7．B 【分析】利用二项式定理得到，所求余数即为801除以64的余数，得到答案． 【详解】因为 ， 且显然能被64整除， 所以所求余数即为801除以64的余数． 因为，所以除以64的余数为33． 8．B 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 即实数的取值范围是. 9．ABD 【分析】对于A：根据正态分布的对称性分析判断；对于B：根据二项分布的期望和方差公式以及期望和方差的性质运算求解；对于C：根据百分位数的定义分析判断；对于D：根据概率和为1运算求解. 【详解】对于选项A：因为随机变量，且， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，， 又因为，即， 所以，，故B正确； 对于选项C：将数据按升序排列可得，，，，，，12， 因为，所以这组数据的第70百分位数为7，故C错误； 对于选项D：由题意可得：，， 因为，解得，故D正确. 10．ABD 【分析】根据条件概率的定义判断选项A；根据对立事件的定义计算判断B；根据条件概率的定义计算判断C；根据全概率公式计算判断D. 【详解】选项A，若发生（从甲袋取出红球放入乙袋），乙袋原有3红7白，加入1个红球后变为4红7白，共11个球，则，A正确. 选项B，从甲袋只取出1个球，取出的球只能是红球或白球，和互斥，且必有一个发生，满足对立事件的定义，B正确. 选项C，若发生（从甲袋取出白球放入乙袋），乙袋变为3红8白，共11个球， 因此，则，C错误. 选项D，根据全概率公式， 其中，，代入得，D正确. 11．ABC 【分析】A，通过导数求单调性即可；B，利用偶函数的定义判断，并通过的单调性求出范围；C，通过单调性判断其等于的解的个数；D，代入特殊值即可判断. 【详解】选项A，， 所以， 所以当时，,单调递减， 当时，，单调递增. 所以当时，取得最小值. 故A正确. 选项B，， 且，又定义域关于原点对称， 所以是偶函数. 因为，所以在恒成立， 所以. 故B正确. 选项C，因为， 当时，，，故， 所以函数在单调递增， ， 因为，时， 所以内存在使得， 又因为是偶函数，所以存在使得. 故C正确. 选项D，取，因为，而，故此时不成立. 故D错误. 12．/0.25 【详解】因为，，所以． 13． 【分析】先求得12条棱中任选2条方法数，再求得异面的取法数，可求概率. 【详解】从12条棱中任选2条有中选法， 从12条棱中任选一条，其任11条中有3条与其平行，有4条与其相交， 只有4条与其异面，故异面直线有对， 所以从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为. 故答案为：. 14．/ 【分析】先分析时，甲和乙“心有灵犀”的概率，然后根据互斥事件的概率加法公式可得. 【详解】由题知，当A、B中至少有两个数字相同，且在相同数位上时，甲和乙“心有灵犀”. 不妨记，当A、B中有三个数字相同时，有1种情况； 当A、B中只有两个数字相同时， 若百位和十位相同，有9种情况， 若百位和个位相同，有9种情况， 若十位和个位相同，有8种情况， 所以，当A、B中只有两个个数字相同时，有种情况. 综上，当时，有种情况使得甲和乙“心有灵犀”. 因为三位数共有个， 所以当时，甲和乙“心有灵犀”的概率为， 又因为甲写出每一个三位数且甲和乙“心有灵犀”的事件互斥， 例如：事件“且甲和乙“心有灵犀””和事件“且甲和乙“心有灵犀””互斥. 所以，甲和乙“心有灵犀”的概率为. 故答案为：. 15．(1)，切线方程为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出及切线方程. （2）确定函数在给定区间上的单调性，进而求出最大值及最小值. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线斜率为，得，因此， ，，所以所求切线方程为，即. （2）由（1）知，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16．(1)“是A级电池”与“电池冷却技术类型”有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题中数据求，并与临界值对比，结合独立性检验思想分析判断； （2）分析可知的所有可能取值为，，，结合超几何分布求分布列和期望. 【详解】（1）零假设：“是A级电池”与“电池冷却技术类型”无关， 由题中数据得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立， 所以“是A级电池”与“电池冷却技术类型”有关． （2）从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池， 则A级电池抽取8组，B级电池抽取2组，则的所有可能取值为，，， ，，， 故的分布列为 1 2 3 所以． 17．(1) (2) 【分析】（1）求出展开式的通项公式，利用常数项求出的值； （2）利用项的系数关系，结合组合数计算求得的值. 【详解】（1）根据二项式性质，二项式系数之和为，由题知，得. 展开式的通项为： 常数项满足的指数为0，令，解得. 所以常数项为：. 由题意得，且，解得，即. （2）第项对应，系数为； 第项对应，系数为. 由题意得：， 整理得：， 由组合数性质可得：，代入得： 解得（符合的范围）. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．                 因为、互斥，所以         ．                            所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为                            ，                               ．                          所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ．                                     所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．                               （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，                          （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，                              则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，．             所以．                         因为，所以，                          所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 19．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意知有两个不同的实根，即方程有两个不同实根，令，通过求导求出的单调性，结合图象即可求出答案； （2），通过求导求出的单调性，即可求出答案； （3）函数，证明出，再证明在上单调递减，从而得到，结合第（2）问即可求出答案. 【详解】（1）由题意知． 因存在两个不同的极值点，故有两个不同的实根， 即方程有两个不同实根． 令，则． 令，因恒成立，故在上单调递减． 又，故： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 所以在处取得极大值即最大值，且． 又，，当，， 要使直线与图象有两个不同交点，必须满足． 当时，易知函数存在两个不同的极值点，符合题意， 故实数的取值范围是． （2）， ， 令， 所以单调递增，又， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增． 因此在处取得最大值，． 即的最大值为． （3）由（1）知．不妨设． 因在上递增，上递减，且，故必有． 构造函数， 当时，，即恒成立． 因为，所以．又，故． 因为，且在上单调递减， 所以，即． 当时，，此时，故在上单调递减． 由于，故． 于是． 由（2）知，当时，． 因为，所以． 综上可得，，原命题得证． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $