期末复习：数列不等式恒成立问题、数列新定义问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列不等式恒成立与新定义两大期末高频考点，通过典例与变式构建从基础证明到综合应用的训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列不等式恒成立问题|3例+3变式|含数列证明、求和及恒成立求参数，强调放缩与最值分析|从等差等比证明到前n项和计算，再结合不等式性质解决恒成立问题，形成“概念-运算-应用”逻辑链| |数列新定义问题|3例+3变式|涉及完全平方数列、速增数列等新定义，需抽象概念并推理应用|以新定义为起点，通过判断、性质探究到综合证明，体现“定义构建-性质分析-问题解决”的概念生成过程|

期末复习：数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 期末复习：数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 数列不等式恒成立问题 数列新定义问题 考点一 数列不等式恒成立问题 例1．（25-26高二下·河北石家庄·期中）在正项数列中，. (1)证明：是等差数列． (2)记，数列的前n项和为，证明： 例2．（25-26高二下·辽宁大连·期中）设是数列的前项和，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和，证明：； (3)记，若不等式恒成立，求实数的范围. 例3．（25-26高二下·江西鹰潭·期中）已知数列的首项且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前2n项的和； (3)若，且不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高二下·陕西渭南·期中）已知数列中，． (1)证明数列为等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)记，数列的前n项和为，求证：． 变式2．（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知为正整数，且，，. (1)若，求及值； (2)若方程恰好表示16个不同的双曲线，求的值； (3)设，，不等式对任意恒成立，求的最小值. 变式3．（2026·广西桂林·二模）已知函数（），. (1)若不存在零点，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值. 考点二 数列新定义问题 例1．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别地，若存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”． (1)若数列为“部分平方数列”，且 ，求使数列的前项和为完全平方数时的值. (2)若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由. (3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列． 例2．（25-26高二下·北京·期中）已知各项均为正整数的有穷数列满足，有，若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质. (1)判断下列数列是否具有性质，并说明理由： ① ② (2)已知数列具有性质，求出的所有可能取值； (3)若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高二下·北京海淀·期中）如果数列对任意的，则称为“速增数列”. (1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由； (2)若数列为“速增数列”，且任意项，求正整数的最大值； (3)已知项数为的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于，若，证明：. 变式1．（25-26高二下·湖南永州·期中）在正项数列中，记，若为非零常数列，则称存在等比型递推结构，数列为的结构常数数列. (1)试问数列是否存在等比型递推结构？请说明理由． (2)已知正项数列存在等比型递推结构，且． （i）求的通项公式； （ii）设，记的前项和为，证明：对任意恒成立. 变式2．（25-26高二上·广东潮州·期末）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 变式3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）若数列满足对任意的，都有，则称这个数列为“P数列”. (1)已知数列2，，是“P数列”，求实数m的取值范围. (2)是否存在首项为1的等差数列为“P数列”，且其前n项和使得对任意的恒成立？若存在，求出其公差d的取值范围；若不存在，请说明理由. (3)已知各项均为正整数的无穷等比数列是“P数列”，数列不是“P数列”，设，若数列也是“P数列”，求满足条件且公比最小的的通项公式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 期末复习：数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 数列不等式恒成立问题 数列新定义问题 考点一 数列不等式恒成立问题 例1．（25-26高二下·河北石家庄·期中）在正项数列中，. (1)证明：是等差数列． (2)记，数列的前n项和为，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知得，结合等差数列的定义即可得证； （2）应用裂项相消法求，即可得证. 【详解】（1）由，得， 因为为正项数列，所以，即， 所以是以13为首项，4为公差的等差数列； （2）由（1）可知， ， 则， 所以， 因为，所以，所以. 例2．（25-26高二下·辽宁大连·期中）设是数列的前项和，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和，证明：； (3)记，若不等式恒成立，求实数的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据和的关系，通过作差法，求出递推公式，构造数列，通过定义法证明是等比数列即可； （2）根据裂项公式对数列进行化简，再根据裂项求和法，求出数列的前项和，说明即可； （3）根据数列通项公式，求出不等式，再根据参变分离法，求出参数满足的条件，进而构造函数，根据作差法，求出函数最大值，进而判断参数范围； 【详解】（1）已知，当时，， 两式相减得：， 整理得：，即， 当时，，解得， 可知满足条件， 又，因此是首项为1，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，所以， 所以 所以， 因为，所以. （3）由得：，因此， 化简不等式左边：， 因此， 不等式恒成立，等价于对任意恒成立， 设，则， 当时，解得，即时，； 当时，解得，即时，， 因此的最大值为，故， 即的取值范围为. 例3．（25-26高二下·江西鹰潭·期中）已知数列的首项且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前2n项的和； (3)若，且不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)利用等比数列的定义证明即可； (2)由（1）知，当为奇数时，，.当为偶数时，，利用等差数列和的等比数列的前项和公式求解即可； (3)根据题意可将问题化为，分为奇数和为偶数两种情况结合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由，得， 又，则，所以，即. 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列 （2）由（1）知，， 当为奇数时，；.当为偶数时，； 所以 ． （3）由（2）知，. 则不等式可化为． ①当为奇数时，不等式可化为， 则， 令，因为为奇数，则， 结合对勾函数的性质可知，函数在上的最小值为，所以的最大值为， 所以 ②当为偶数时，不等式可化为， 则，令，因为为偶数，则， 函数在上的最小值为，所以的最小值为， 所以.    综上，.所以实数的取值范围． 变式1．（25-26高二下·陕西渭南·期中）已知数列中，． (1)证明数列为等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)记，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)两边取倒数得， 故， 所以数列为等比数列，公比为； (2) (3)，故， ，， 显然，，，当时，， ； 【分析】（1）两边取倒数，再构造出等比数列； （2）由（1），得到通项公式，利用错位相减法求和即可； （3）由（1），得到，放缩，结合等比数列求和公式得到结论. 【详解】（1）略 （2）由（1）得为等比数列，首项为， 故，故， 则①， 所以②， 式子①-②得 ， 所以； （3）略 变式2．（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知为正整数，且，，. (1)若，求及值； (2)若方程恰好表示16个不同的双曲线，求的值； (3)设，，不等式对任意恒成立，求的最小值. 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）通过代入特殊值，对函数求导进行求解； （2）对方程进行化简，利用双曲线的定义将题目转化为求对应集合的不同值的个数进行求解，最后分别代入特殊值求解； （3）通过观察发现数列刚好是由函数分别求导一次和求导两次，并代入特殊值后所表示的，通过构建辅助数列，将不等式转化为求数列的最大值进行求解. 【详解】（1）当时，，求导可得， 所以， ，，， 所以. （2）因为，所以，同理， 因此方程化简可得， 对于正整数，只有当时，，此时方程表示双曲线， 设集合中不同元素的个数为，则不同的有序对 共有个，每个对应一个不同的双曲线， 由题意可知，可得，即恰有4个不同的值， 当时，，即；当时，，即； 当时，，即；当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 当时，不同值的个数大于4，因此或. （3）已知，， 两边求导可得，两边同乘可得， 令，代入可得， 所以， 对两边求导可得， 两边同乘可得， 令，代入可得， 所以， 因此 ， 设数列， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，， 所以数列的最大值为， 不等式对任意恒成立，则要大于等于数列的最大值， 所以的最小值为. 变式3．（2026·广西桂林·二模）已知函数（），. (1)若不存在零点，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值. 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）求导，然后令即可； （2）构造新函数 ，对分类讨论，结合即可得解； （3）利用（2）的结论，写出新数列的表达式，找到新数列的取值范围，代入即可得到结果. 【详解】（1）由题意函数（），求导可得，， 当时，令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减，所以， 不存在零点，只需 ，解得，所以实数a的取值范围是. （2）因为，所以，其中， 令 ，其中，则恒成立，求导得：，且， 当时，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意；综上所述. （3）因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，. ， 所以 ， 即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3. 考点二 数列新定义问题 例1．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别地，若存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”． (1)若数列为“部分平方数列”，且 ，求使数列的前项和为完全平方数时的值. (2)若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由. (3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列． 【答案】(1)， (2)当时，为“完全平方数列”， 当，时，数列不为“完全平方数列”. 理由如下： 当时，， 当时，，不满足上式， 所以. 因为，根据“完全平方数列”的定义知为“完全平方数列”， 当时，，当时，， 此时数列与原数列相同，即恒成立，故数列为“完全平方数列”； 当，时，不妨检验，， 因为不是完全平方数，所以不是“完全平方数列”. 综上，当时，为“完全平方数列”；当，时，数列不为“完全平方数列”. (3)， 【分析】（1）求和得，时，满足要求； （2）先得到的通项公式，当时，与原数列相同，满足要求，当，时不合要求，得到答案； （3）设等差数列的首项为，公差为，配方变形得到，从而得到方程组，得到，分和两种情况，得到答案. 【详解】（1）， 所以当时，为完全平方数， 故的前项和为完全平方数时，的值为，； （2）略 （3）设等差数列为“完全平方数列”，且首项为，公差为，由定义知该数列是非负数列，公差为非负数. 配方变形得其前项和为， 由“完全平方数列”的定义知，，， 令，则，令，则， 代入，整理可得， 当时，，，此时； 当时，，，， 此时， 显然时，满足. 综上，所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式为，. 例2．（25-26高二下·北京·期中）已知各项均为正整数的有穷数列满足，有，若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质. (1)判断下列数列是否具有性质，并说明理由： ① ② (2)已知数列具有性质，求出的所有可能取值； (3)若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)①具有，②不具有，理由见解析 (2) (3)存在，最小值是4049， 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，确定数列，任意两项和不同的取值最多有15个，中任意两项和的结果有个，分为奇数、偶数讨论求解； （3）将的项从小到大排列构成新数列：，可得，据此取数列，结合等差数列性质证明满足条件即可. 【详解】（1）①任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个， 而，所以具有性质； ②，任意两项和的结果有共7个， 而，所以不具有性质． （2）因为数列中任意两项和的结果有共个，且全部为偶数， 所以数列，任意两项和不同的取值最多有个， 所以， 若为奇数，都是奇数，与前6项中任意两项和的值均不相同， 则中所有的不同值共有15个，所以． 若为偶数，都是偶数，所以，所以， 因为，有，所以，则， 则任意两项和比任意两项和多了，共个，不符合题意； 综上，. （3）存在最小值，且最小值为4049． 将的项从小到大排列构成新数列：， 所以 所以的值至少有个． 即的值至少有4049个，即． 数列符合条件，即． 此时为等差数列，由等差数列性质， 当时，；当时，， 因此每个等于中的一个，或者等于中的一个． 即所有和的不同值为个不同值，且． 综上，的最小值为4049 例3．（25-26高二下·北京海淀·期中）如果数列对任意的，则称为“速增数列”. (1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由； (2)若数列为“速增数列”，且任意项，求正整数的最大值； (3)已知项数为的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于，若，证明：. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)63 (3)证明见解析 【分析】（1）计算，可得到答案. （2）根据题意得到，计算当时，，当时，，得到答案. （3）证明，得到，得到，代入计算得到证明. 【详解】（1）因为，则， 又，故，数列是“速增数列”. （2）， 因为，且数列为“速增数列”，所以. 当时，， 即， 当时，，当时，， 故正整数k的最大值为. （3），故，即； ，故， 即， 同理可得：， 故， 所以，所以，得证. 变式1．（25-26高二下·湖南永州·期中）在正项数列中，记，若为非零常数列，则称存在等比型递推结构，数列为的结构常数数列. (1)试问数列是否存在等比型递推结构？请说明理由． (2)已知正项数列存在等比型递推结构，且． （i）求的通项公式； （ii）设，记的前项和为，证明：对任意恒成立. 【答案】(1)数列存在等比型递推结构，理由见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合等比型递推的定义，即可求解； （2）（i）设，，根据题意，求得，得到，结合累积法，即可求得数列的通项公式； （ii）由（i）得到，利用裂项法求和，求得转化为证明，设，利用导数求得在上递增，得到，得到在上恒成立，令，即可得证. 【详解】（1）解：由数列，设， 根据等比型递推的定义，可得数列存在等比型递推结构． （2）（i）因为数列存在等比型递推结构，可设， 设，则，所以为等比数列， 因为，则， 所以，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 所以当时，， 即，因为，所以， 又，依然成立， 所以， （ii）证明：由（i）得， 所以， 所以 则， 所以要证，只需证， 设函数，则， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立，则在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 令，得， 即，所以， 即， 所以对任意恒成立． 变式2．（25-26高二上·广东潮州·期末）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，②证明见解析. 【分析】（1）根据定义计算，结合等差数列定义判断即可； （2）①：结合等差数列定义求出的通项公式，再利用累加法结合等差数列求和公式求出的通项公式； ②：结合求解的表达式，再利用裂项相消法求出的表达式；分析的单调性，结合单调性确定其取值范围. 【详解】（1）已知，根据定义得： 则， 因此是首项为、公差为的等差数列， 故是二阶等差数列. （2）（2）① 由题意，，， 因为是等差数列，所以公差， 得的通项为：， ，，， ，，， 由累加法得，当时：， 代入得：， 验证时，满足上式，故. ②证明：将， 代入得：， （裂项验证：，成立） 前项和用裂项相消： ， 所以. 因为，所以； 又，故是递增数列，最小值为，因此. 变式3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）若数列满足对任意的，都有，则称这个数列为“P数列”. (1)已知数列2，，是“P数列”，求实数m的取值范围. (2)是否存在首项为1的等差数列为“P数列”，且其前n项和使得对任意的恒成立？若存在，求出其公差d的取值范围；若不存在，请说明理由. (3)已知各项均为正整数的无穷等比数列是“P数列”，数列不是“P数列”，设，若数列也是“P数列”，求满足条件且公比最小的的通项公式. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）根据“数列”的定义列出不等式组求解即可得到答案； （2）假设等差数列的公差为，列出不等式组可求的范围； （3）设等比数列的首项为正整数，公比为正整数，可先确定，此时首项为，可求得通项为：. 【详解】（1）根据“数列”定义，，得或； ，得；即的取值范围为. （2）设等差数列的公差为，根据“数列”的定义，有； 由等差数列的求和公式，等差数列的前项和， 代入，即当时，恒成立， ,此时， 两边同时除以，可得恒成立， 考虑函数，当时，单调递减， 结合,可得当时，取最大值， 可得的取值范围为. （3）由已知等比数列的各项均为正整数，可得首项和公比均为正整数； 设首项，公比为； 根据“数列”定义，对任意恒成立可知； 不是“数列”，即存在使得， 假设则需要存在，可以得到的所有可能取值为，，，； 可设 对于数列，； 代入，， 即随着变大，也是变大的， 若对于正整数，恒成立，只需要即可， 即，得，与之前的范围不符，不成立； 若，，是“数列”不是“数列”，则或 代入，同理可得是随增大而增大的，检验， 可得满足条件，不成立. 综上，满足条件且公比最小的数列的通项为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $