2025-2026学年华东师大版七年级数学下册期末冲刺卷

**基本信息** 华东师大版七年级数学期末冲刺卷，以方程、几何为核心，融合福建舰模型销售等时代情境，通过综合探究题（如光的反射、旋转操作）考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|方程解、不等式解集、正五边形对称轴|基础概念辨析，如第2题考查解集内涵| |填空题|6/18|新定义运算、三角形边长、三角板旋转|创新情境设计，如16题动态旋转求时间| |解答题|8/72|福建舰模型利润、光的反射作图、旋转探究|跨学科与分层设计，23题光的反射结合物理，24题从操作到计算梯度提升|

2025-2026学年华东师大版七年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．已知方程的解满足，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，绝对值的性质，掌握好相关知识是关键． 先根据绝对值的性质求出的值，再将代入原方程求出的值，最后计算即可. 【详解】解：∵， ∴，即， 将代入方程，得， ， 解得， ∴． 故选：B． 2．已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 【答案】D 【分析】已知不等式解集为，根据不等式解的定义，判断每个选项是否符合解集条件即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，， ∴ -3不是这个不等式的解，A错误； 对于B选项，， ∴ 1是这个不等式的解，B错误； 对于C选项，例如，但，不是不等式的解， ∴ C错误； 对于D选项，所有大于的数都满足， ∴ 大于的数都是这个不等式的解，D正确． 3．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 【答案】A 【分析】先设出两种奖品的购买数量，根据总价列出二元一次方程并化简，然后通过分析变量的取值范围和正整数要求，逐一找出所有有效的正整数解，统计解的数量即可得到方案数． 【详解】解：设购买奖品件，奖品件，其中、为正整数． 根据总费用为元，可列方程：， 将方程变形为用表示的形式：． 因为为正整数，所以必须是正偶数： 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，为负数，不符合条件； 综上，共有3种不同的购买方案． 4．如图，直线是正五边形过点的对称轴，过点作且与相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角度数，利用轴对称的性质得出直线与的夹角，最后根据平行线的性质求出的度数． 【详解】解：如图， 五边形是正五边形， ， 直线是正五边形过点的对称轴， 平分， ， ， ， ． 5．如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点F，连接，由重心的性质得到，，然后得到，设，表示出，，进而即可． 【详解】解：如图，延长交于点F，连接， ∵是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质可得，，，进而推出，求出的长，利用梯形面积公式计算即可． 【详解】解：根据平移的性质可得， 则有， ∵， ∴， ∵将直角三角形沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 7．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题中“衍生值”的定义列方程求解，再由无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，列方程组求解即可． 【详解】解：∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵二次多项式和的“衍生值”都相等， ∴，即， ∵无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等， ∴，解得， ∴． 8．方程的整数解的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的整数根；根据题意得出或或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：∵，，而是整数，是整数，且， ∴或或， （1）当时，有 ①，②， 其中方程组①有整数解，②没有整数解； (2)当时，有 ①，②，③，④， 其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解，方程组④没有整数解； (3)当时，有 ①，②， 其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解； 综上所述，原方程组的整数有3个， 故选：C． 9．已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解方程组得， ∵方程组的解都是正数， ∴， 解得， ∵，即， ∴ ， 则， ∴， ∴． 10．如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过四边形内角和定理和对顶角相等得出，所以，然后通过角平分线定义与三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．定义符号“※”的运算规则为，则方程的解为_____． 【答案】 【分析】根据新定义运算规则得到的表达式，代入原方程得到一元一次方程，解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得， 原方程化为， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得． 12．如果关于x的方程的根分别为，1，3，那么a的值是________． 【答案】 【分析】把方程的根代入方程，解三元一次方程组即可求解． 本题考查了方程的解，消元法解三元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：的根分别为，1，3， 代入得， 解得 故答案为：． 13．已知、为实数，若不等式解集为，不等式的解集为________． 【答案】/ 【分析】先根据第一个不等式的解集确定一次项系数小于0，得到m和n的数量关系，判断出m的符号，再代入第二个不等式求解即可． 【详解】解：∵不等式解集为， ∴， ∴， ∵不等式解集为， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 将代入得，解得：； 将代入不等式， 得：， 化简得， 移项得 ， ∵， ∴， 两边同时除以得：． 14．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点， 如下图，过点作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 15．已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 【答案】 【分析】(1) 根据三角形三边关系，结合，，是正整数的条件推导的值； (2) 先构造出最大的不存在三个数可构成三角形的集合，再根据题意得到的最小值． 【详解】（1）解： ，，，，为正整数， ， 将代入，得， 又， ， 且是整数， ； （2）解：若个数中不存在三个能作为三角形三边长， 则其中任意从小到大排列的三个数 ，且都满足， 要得到满足该条件的数的个数，构造从小到大的序列： 取第一个数为，第二个数为， 第三个数满足，取， 第四个数满足，取， 第五个数满足，取， 第六个数需要满足， ，超出到的范围， 不存在三个可构成三角形的集合最多有个元素， 当取个不同数时，任意个数中一定存在三个不同数可作为三角形三边长． 16．一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 【答案】2或 【分析】当时，，，由，得，解得；当时，，，得，解得． 【详解】解：当与相遇前时，， ∵，， 且， ∴， 解得； 当与相遇时，，此时，，不符合题意，舍去， 当与相遇后时，当时， ，， ∴， 解得． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角的和差倍分的计算，一元一次方程的应用等知识，分类讨论，画出旋转后的图形，是解题的关键． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （3）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得． 18．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)具有 (2)或 (3)时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系” 【分析】（1）先解二元一次方程组求出、的值，再代入验证，判断是否具有友好关系． （2）先通过方程组消元，用含的代数式表示，再根据友好关系的定义列方程求解的值． （3）先通过加减消元法用含的代数式表示，结合、、为正整数的条件，分情况讨论的取值，再验证是否满足，判断是否具有友好关系． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②-①得， ∴ ∵方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得或， ∴的值为或； （3）解： ， 得，， 解得， 与，都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 19．福建舰于2025年11月5日正式入列服役，标志着中国进入“三航母时代”．某军事主题纪念品商店为此推出了“福建舰舰载机”系列模型，其中A型号为隐形战机模型，B型号为弹射型战机模型，A、B型号战机模型每件进价分别为80元和60元．下表是近两天的销售情况； 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 4件 5件 955 第二天 2件 6件 810 (1)求A、B两种型号的战机模型的销售单价； (2)该商店再次采购这两种战机模型共20件，恰好用去1400元．问：销售这20件模型所得利润能否超过700元？请说明理由． 【答案】(1)A型号战机模型的销售单价为120元，B型号战机模型的销售单价为95元； (2)解：能超过700元，理由如下： 设A型号的模型采购m件，则B型号的模型采购件， 由题意得：， 解得：， ∴售完这20件模型的利润为： （元） ∵ ∴销售完这20件模型所得利润为750元，超过700元． 【分析】（1）设A型号战机模型的销售单价为x元，B型号战机模型的销售单价为y元，根据表格列方程组求解即可； （2）设A型号的模型采购m件，根据“恰好用去1400元”求出m的值，进而求出售完这20件模型的利润，即可判断． 【详解】（1）解：设A型号战机模型的销售单价为x元，B型号战机模型的销售单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：A型号战机模型的销售单价为120元，B型号战机模型的销售单价为95元； （2）略 20．已知关于x的不等式． (1)若不等式与该不等式的解集相同，求a的值； (2)若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出两个一元一次不等式的解集，依据解集相等建立等式，解方程即可求出字母a的值． （2）先求出原不等式解集，确定其最小整数解，再将该整数解代入一元一次方程，进而求出字母m的值． 【详解】（1）解：解不等式， 解得， 解不等式，得 ， 两个不等式的解集相同， ， 解得； （2）由（1）知：的解集为， 该不等式的最小整数解为， 将代入，得： ， 解得． 21．如图，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由三角形内角和定理得，从而所求角的和转化为求五边形的内角和问题解决． 本题主要考查多边形内角和、三角形内角和定理，将所求角度和转化为多边形内角和是解题的关键． 【详解】解：连接，如图． ， ． 即． 22．如图，已知直线，点为直线外一点，分别交直线于点． (1)直接写出、、之间的数量关系； (2)平分交于，平分交于，求证：； (3)在（2）的条件下，，过作的平行线交于，若，求的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）利用三角形的外角等于不相邻的两内角和与平行线的性质求解． （2）利用角平分线与平行线的性质，求出相等的角，再利用三角形的内角和为和等量代换求解． （3）利用平行线的性质和三角形内角和为和方程思想解出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分交于， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵平分交于， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， 化简得：． （3）解：∵， ∴设， ∵CH平分交于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，解得， ∴， 在中，． 23．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 24．综合与探究 【问题情境】 如图1，与都是等腰直角三角形，，连接． 【操作发现】 （1）在图1中以点A为中心，把逆时针旋转，画出旋转后的图形．判断旋转前后与其对应线段的数量和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，将绕点A逆时针旋转40°得到，点D恰好落在上，与交于点F．若与关于直线对称，且，． ①求的度数； ②求线段的长． 【答案】（1），；理由见解析；（2）①；②． 【分析】本题考查了旋转变换的性质，全等三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转的性质和轴对称的性质解决问题． （1）根据要求作出图形，然后根据旋转的性质得出，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】解：（1），；理由如下： 如图，即为所求，，， 证明：设、分别与交于点、， 根据题意可得， ∴绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴， 综上，，； （2）①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年华东师大版七年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．已知方程的解满足，则的值为（　　）． A． B． C． D． 2．已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 3．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 4．如图，直线是正五边形过点的对称轴，过点作且与相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 8．方程的整数解的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．定义符号“※”的运算规则为，则方程的解为_____． 12．如果关于x的方程的根分别为，1，3，那么a的值是________． 13．已知、为实数，若不等式解集为，不等式的解集为________． 14．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 15．已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 16．一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 18．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 19．福建舰于2025年11月5日正式入列服役，标志着中国进入“三航母时代”．某军事主题纪念品商店为此推出了“福建舰舰载机”系列模型，其中A型号为隐形战机模型，B型号为弹射型战机模型，A、B型号战机模型每件进价分别为80元和60元．下表是近两天的销售情况； 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 4件 5件 955 第二天 2件 6件 810 (1)求A、B两种型号的战机模型的销售单价； (2)该商店再次采购这两种战机模型共20件，恰好用去1400元．问：销售这20件模型所得利润能否超过700元？请说明理由． 20．已知关于x的不等式． (1)若不等式与该不等式的解集相同，求a的值； (2)若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值． 21．如图，求的度数． 22．如图，已知直线，点为直线外一点，分别交直线于点． (1)直接写出、、之间的数量关系； (2)平分交于，平分交于，求证：； (3)在（2）的条件下，，过作的平行线交于，若，求的度数． 23．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 24．综合与探究 【问题情境】 如图1，与都是等腰直角三角形，，连接． 【操作发现】 （1）在图1中以点A为中心，把逆时针旋转，画出旋转后的图形．判断旋转前后与其对应线段的数量和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，将绕点A逆时针旋转40°得到，点D恰好落在上，与交于点F．若与关于直线对称，且，． ①求的度数； ②求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $