辽宁沈阳市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段反馈数学试卷

2025-2026学年度（下）沈阳市第一中学 第一次阶段反馈 高二年级数学试卷 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 考试时间：120分钟 考试分数：150分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题 1. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有） A. 1360人 B. 1570人 C. 2720人 D. 3410人 2. 已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3. 通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（ ） 2 3 4 5 6 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31 A. B. 0.08 C. D. 0.09 4. 已知实数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ） A. 2027 B. C. 2029 D. 7. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（ ）号格子的概率最大. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 二、多选题 9. 下列说法正确的是（    ） A. 数据，，，，，的分位数为 B. 若随机变量，且，则 C. 若数据的平均数为2，则数据的平均数为0 D. 在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 10. 已知等差数列的公差为 ，其前项和为，且，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 若数列的前n项和为，首项 ，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 当n为偶数时， D. 数列的前n项和为，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题 12. 设公差不为0的等差数列的前n项和为，，若，，成等比数列，则____________ 13. 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记 为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则 的数学期望______． 14. 如图，由观测数据的散点图可知，与 的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程为．已知，，则________． 四、解答题 15. 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入 （万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望. 16. 已知数列 的前n项和，，数列 满足. （1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； （2）求数列的前n项和. 17. 某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. （1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. （2）为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ （3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 记各项均为正数的数列的前项和为，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 19. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 2025-2026学年度（下）沈阳市第一中学 第一次阶段反馈 高二年级数学试卷 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 考试时间：120分钟 考试分数：150分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多选题 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）（i）； （ii）不相互独立，理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. （2） X 0 1 2 3 P 【16题答案】 【答案】（1）证明如下： 由，得（）， 当时，（）， ∴，化为， ∵，∴， 即当时，， 令，可得，即． 又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列． 于是，∴． （2） 【17题答案】 【答案】（1），1.2万份； （2）认为对饮品的喜欢程度与性别有关； （3）6300份. 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析. （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i），， 设第n次物流选择方案A，B，C为事件，，，第n次物流提前送达为事件， 则，，，因为 ，所以， 所以. 由②根据全概率公式 ， 注意到，， 而， 所以 ， 同理 . 注意到 ， 且 ，所以 ， 故为定值， 即 是以为首项，为公比的等比数列. （ii）能 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $