精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年高一第二学期第五次阶段性测试数学试卷

北京市第八十中学2025级贯通班第二学期第五次阶段性测试 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 已知函数．若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实数根，则的最大整数值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. 5 C. 1 D. 5. 如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 6. 设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 在中，若，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 8. 莎士比亚说“书籍是全人类的营养品”．在这个充满变化的时代，书籍始终是我们最可靠的伙伴．阅读不仅能够丰富你的知识，更能塑造你的品格，成为你成长道路上最珍贵的礼物．下图是国家图书馆在2024年1月到7月外借图书量（单位：册次）的统计图： 下列说法正确的是（ ） A. 这七个月外借图书量的中位数是12867 B. 这组数据的第80百分位数是10079 C. 1月，2月，3月这三个月外借图书量的方差比2月，3月，4月这三个月外借图书量的方差大 D. 1月，2月，3月，4月这四个月外借图书量的平均数比2月，3月，4月，5月这四个月外借图书量的平均数小 9. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 10. 设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（每小题5分，共5小题，共25分） 11. 函数的值域为________． 12. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向________平移________个单位． 13. 已知复数，则______；______． 14. 已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是___________.（填入条件的序号即可） ①；②；③；④. 15. 如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是___________.（请写出所有正确命题的编号） ①当时，S为等腰梯形； ②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形； ④当时，S的面积为. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知向量，且． （1）证明：向量； （2）求与夹角的大小； （3）求的最小值． 17. 在中，. （1）求A； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分. 18. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立． （1）求频率分布直方图中的值； （2）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于的概率； （3）假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果） 19. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求三角形ABD的面积． 20. 如图，已知四棱锥底面是正方形，，、是的，中点，为线段上一个动点，平面交直线于点． （1）若，平面平面，求证：； （2）若，，求证：； （3）直线是否可能与平面平行?若可能，请证明；若不可能，请说明理由． 21. 设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数． （1）若，，写出，的值; （2）求的最大值; （3）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025级贯通班第二学期第五次阶段性测试 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 已知函数．若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实数根，则的最大整数值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案； 【详解】因为，所以， 又的图象如图所示， 因为关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根， 则，解得，所以的最大整数值为. 故选：B. 2. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理化简求解即可. 【详解】由及正弦定理、余弦定理得， 所以，所以. 故选：A. 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 4. 平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. 5 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立直接坐标系，根据向量的线性坐标运算得的坐标，然后利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，则， 所以， 所以. 故选：A 5. 如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】A 【解析】 【分析】设行驶时间为小时，甲、乙两船相距最近，根据余弦定理表达出，由二次函数开口方向和对称轴，得到答案. 【详解】设行驶时间为小时，甲、乙两船相距最近，设距离为， 其中，显然， 则 其中开口向上，对称轴为， 故当小时，取得最小值，也即取得最小值. 故选：A 6. 设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由空间中线面的位置关系进行判断即可． 【详解】对于A项，当相交时，才成立，故A项错误； 对于B项，由，，得，而，则，故B项正确； 对于C项，若，，则，或，或，故C项错误； 对于D项，若，，则可以平行或异面，故D项错误． 故选：B 7. 在中，若，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 所以为等腰三角形， 故选：A 8. 莎士比亚说“书籍是全人类的营养品”．在这个充满变化的时代，书籍始终是我们最可靠的伙伴．阅读不仅能够丰富你的知识，更能塑造你的品格，成为你成长道路上最珍贵的礼物．下图是国家图书馆在2024年1月到7月外借图书量（单位：册次）的统计图： 下列说法正确的是（ ） A. 这七个月外借图书量的中位数是12867 B. 这组数据的第80百分位数是10079 C. 1月，2月，3月这三个月外借图书量的方差比2月，3月，4月这三个月外借图书量的方差大 D. 1月，2月，3月，4月这四个月外借图书量的平均数比2月，3月，4月，5月这四个月外借图书量的平均数小 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解判断A，根据百分位数的概念求解判断B，根据方差的计算判断C，根据平均数的含义判断D. 【详解】国家图书馆在2024年1月到7月外借图书量分别为， 从小到大为，故中位数是，故A错误； 又，所以这组数据的第80百分位数是，故B错误； 1月，2月，3月这三个月外借图书量的平均数为， 则其方差为， 2月，3月，4月这三个月外借图书量的平均数为， 则其方差为， 故1月，2月，3月这三个月外借图书量的方差比2月，3月，4月这三个月外借图书量的方差小，故C错误； 由统计图可知1月外借图书量远小于5月外借图书量，所以1月，2月，3月，4月这四个月外借图书量的平均数比2月，3月，4月，5月这四个月外借图书量的平均数小，故D正确. 故选：D 9. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：A 10. 设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，根据题意得为的外心，结合正弦定理得，，，再由，，得到，利用三角恒等变形，结合四元基本不等式，即可求解. 【详解】设，，， 因为，所以， 所以为的外心， 在中，由正弦定理可得， 所以，，， ，， 又与的夹角为， 所以， 又，，所以， ， 把看作主元，故当时，上式取得最大值，最大值为， 其中 ， 当且仅当且时，等号成立， 即时，， 所以. 故选：B 二、填空题（每小题5分，共5小题，共25分） 11. 函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，转化为二次函数求最值的问题可得答案. 【详解】令， ， 为开口向上的抛物线，对称轴为， 当时，， 当时，， 所以值域为. 故答案为：. 12. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向________平移________个单位． 【答案】 ①. 左 ②. 【解析】 【分析】根据正弦函数的图像变换特征判断即可. 【详解】由于， 所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位． 故答案为：左；. 13. 已知复数，则______；______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可由模长公式以及共轭复数的概念求解. 【详解】,故，， 故答案为：， 14. 已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是___________.（填入条件的序号即可） ①；②；③；④. 【答案】①③（或②④） 【解析】 【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系对选项一一分析即可得出答案. 【详解】选①②， 若，，则可能，不正确； 选①③， 若，，则，正确； 选①④， 若，，则可能，不正确； 选②③， 若，，则可能，不正确； 选②④， 若，，则，正确； 选③④， 若，，则可能，不正确； 故答案为：①③（或②④） 15. 如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是___________.（请写出所有正确命题的编号） ①当时，S为等腰梯形； ②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形； ④当时，S的面积为. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①作出辅助线，找到S为四边形，证明出其为等腰梯形；②作出辅助线，找到S，利用各边长度与相似，求出；③在②的分析基础上，得到S为五边形；④作出辅助线，得到S为菱形，求出对角线，进而求出面积. 【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下： 如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点， 所以∥， 所以四边形为S，其中， 所以S为等腰梯形，①正确； 当时，S与的交点满足，理由如下： 如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R， 取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN， 则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形， 所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形， 所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE， 所以四边形AEQP即为S，其中， 所以，所以，②正确； 当时，S为五边形，理由如下： 如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动， 则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G， EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误； 当时，S的面积为，理由如下： 如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ， 其中，所以S为菱形APQG， 且，S的面积为，④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知向量，且． （1）证明：向量； （2）求与夹角的大小； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的坐标运算即可求解， （2）根据模长公式，以及夹角公式即可求解， （3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为向量， 由，得． 解得，则． 因此． 【小问2详解】 由（1）知，则． 又，则． 设与夹角为，因此． 又，则，所以与夹角为． 【小问3详解】 由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号． 所以最小值为． 17. 在中，. （1）求A； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分. 【答案】（1）或 （2）18 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理求解即可. （2）由题意可知只有①符合，②③不符合，通过面积公式和正弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 则由正弦定理可得， ， 因为 所以 所以或. 【小问2详解】 若选①，即，则， 所以， 所以， 则 ， 由正弦定理得： ， 则存在且唯一确定， 面积为. 若选②，即，又， 所以，矛盾 所以②不成立； 若选③， 由，，， 得， 由余弦定理可得：， 当时， 得或舍； 当时， 得或舍； 此时存在但不唯一确定，所以不合题意. 18. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立． （1）求频率分布直方图中的值； （2）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于的概率； （3）假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果） 【答案】（1） （2） （3）新养殖法 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为，即可求得图中的值； （2）根据独立事件概率乘法公式计算即可； （3）利用频率分布直方图分别估计新旧养殖法的平均值，即可做出判断. 【小问1详解】 由 所以 【小问2详解】 设事件分别表示：从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg， 用频率估计概率，则， 因为相互独立，所以 所以估计两个网箱的箱产量都不低于的概率为 【小问3详解】 新养殖法 （旧养殖法的平均值估计为 新养殖法的平均值估计为 又，所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.） 19. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求三角形ABD的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理求出，然后在中利用正弦定理可求得结果； （2）分别在和中利用余弦定理表示出，再由可求出，从而可求出，再求出，然后可求出的面积. 【小问1详解】 在中，，，则由余弦定理得 ， 所以， 在中，，，，所以由正弦定理得 ，得, ，得； 【小问2详解】 在中，，由余弦定理得 ， 在中，，，则余弦定理得 , 因为，所以， 化简得，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 20. 如图，已知四棱锥底面是正方形，，、是的，中点，为线段上一个动点，平面交直线于点． （1）若，平面平面，求证：； （2）若，，求证：； （3）直线是否可能与平面平行?若可能，请证明；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）证明，根据面面垂直与线面垂直的性质即可证明； （2）证明即可； （3）取的中点，连接，可证明当为中点时平面. 【小问1详解】 因为，是的中点，所以. 因为平面平面，平面平面,平面， 所以平面. 因为平面,所以. 【小问2详解】 因为，是正方形，所以,. 因为，所以，即. 又，所以. 【小问3详解】 取的中点，连接， 因为、是，的中点，所以，且. 又，且,所以，, 所以四边形是平行四边形，所以. 当为中点时，为中点，此时为的中位线， 所以，四点共面. 因为平面,平面, 所以平面. 21. 设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数． （1）若，，写出，的值; （2）求的最大值; （3）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A． 【答案】（1），；（2）4；（3），或. 【解析】 【分析】 （1）根据定义得到，，即可得到，的值； （2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况， 排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值； （3）假设，，根据定义可得或，进而得到A. 【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故， SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故. （2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ； （3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因， 故，所以， 设，则是的因数， 所以是的因数，且是的因数，因为， 所以，因为是的因数，所以， 因为是的因数，所以是的因数， 因为，所以，所以或， 故，或， 所以当取到最大值4时，故，或. 【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $