北京市第一七一中学2025-2026学年下学期高一6月月考数学试卷

171中学高一年级月考数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 2026.6 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 1．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是（ ） A．85 B．85.5 C．86 D．98.5 3．从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件表示“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件互斥的事件是（ ） A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球 C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球、2个黑球 4．在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则（ ） A． B． C． D． 5．在中，则“”是“是直角三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，圆柱的母线长为4，，分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，三棱锥的体积为，则圆柱的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知，为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点，满足，，，则动线段所形成图形的面积是（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 8．“（）”是“函数在上单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．我国有着丰富悠久的印章文化，印章是签署文件时代表身份的信物，因其独特的文化内涵，有时作为装饰物来使用．图1是一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的顶点在球的表面上，则球的半径为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（ ） ①直线与直线垂直； ②直线与平面平行； ③点与点到平面的距离相等； ④平面截正方体所得的截面面积为． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数            ； 12．折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名．某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示．设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是            ，            ． 13．已知函数（，）满足恒成立． ①的取值范围是            ； ②若，则的最小值为            ． 14．金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用．如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点，，，处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点处），如图2所示，设，则到平面的距离为            ． 15．已知是单位向量，向量满足，且，其中，，且 ．则下列结论中，正确结论的序号是            ． ①； ②； ③存在，，使得； ④当取最小值时，． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分） 在中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为； 条件②：； 条件③：． 17．（本小题14分） 已知函数（，），从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为． 18．（本小题14分） 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题14分） 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 20．（本小题14分） 如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）如果，求此时的值． 21．（本小题15分） 已知有限数列：，，，（，）满足（，，，）．对于给定的（，，，），若中存在项满足（），则称有项递增子列；若中存在项满足（），则称有项递减子列．当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质． （Ⅰ）判断下列数列是否具有性质； ①4，1，3，2，1，3，4；②1，2，5，4，3，4，5，3，1． （Ⅱ）若数列中有（），证明：数列不具有性质； （Ⅲ）当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $