精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高一4月阶段测评数学试题（A卷）

北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高一年级4月阶段测评 数学试题（A卷） 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式即可求解. 【详解】将直线化为， 则这两条平行直线间的距离为. 故选：D. 2. 已知线段的中垂线方程为且，则点坐标为． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设B的坐标为(a,b)，由题意可知 ，解得a=2，b=−2， 所以B点坐标为是(2,−2). 故选A. 点睛：在求一个点关于直线的对称点时，可以根据以下两个条件列方程： （1）两点的中点在对称直线上； （2）两点连线的斜率与对称直线垂直. 3. 若一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标及准线方程，结合动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，可知动圆恒过抛物线焦点． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切， 则动圆圆心到的距离等于到准线的距离， 由抛物线定义可知，动圆恒过定点． 4. 设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件知焦点在轴上，再由题设可得，得，即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点为，所以焦点在轴上， 又离心率为，所以，解得，所以椭圆的方程为， 故选：A. 5. 点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是 A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设M(x,y),,将，代入化简为y的函数求最值即可. 【详解】设M(x,y),∵ 点M为双曲线上,∴ = 故选B. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，是基础题. 6. “”是“为椭圆方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由方程为椭圆求出参数m，再由必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】若为椭圆方程，则且， 所以“”是“为椭圆方程”的必要不充分条件. 故选：B 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得双曲线方程，进而可求得当的两点的坐标，可求花瓶的高． 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，得， 又由双曲线的离心率为，得，即，则， 可得双曲线的方程为， 因为最大直径为，所以把代入双曲线方程，解得， 故该花瓶的高为． 故选：B． 8. 已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的m有几个不同的值（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】解方程得或，讨论，结合椭圆、双曲线性质判断焦点位置，进而求参数值，即可得结果. 【详解】由，则或， 当时，曲线为椭圆，当椭圆的焦点在轴上时，， 则，可得符合； 当椭圆的焦点在轴上时，， 则，可得符合； 当时，曲线为双曲线，则， 则，可得符合. 综上，有3个不同的值. 故选：C 9. 已知椭圆，直线l与两个坐标轴分别交于点M，N．且与椭圆E有且只有一个公共点，O是坐标原点，则面积的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意首先设直线l方程为，和椭圆方程联立结合韦达定理求得参数和之间的关系，利用面积公式结合基本不等式求最值即可得解. 【详解】若要直线l与两个坐标轴分别交于点M，N， 则直线l的斜率存在，故设直线l方程为， 代入到椭圆方程可得 ， 根据提意可得， 所以， 根据题意对方程，， 所以令得，令得， 所以 ， 当且仅当时取等，所以面积的最小值是. 故选：D 10. 已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，即可求出离心率范围. 【详解】双曲线的右焦点为， 因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率， 即，所以离心率. 故选：B 11. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，如果，那么的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合抛物线的定义，数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由对称性不妨令点在第四象限， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为和，作于， 则，由，得，， 因此，而，则， 即，于是，所以. 故选：A 12. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心､边长为的正方形，使曲线在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，用替换方程中的，方程形式不变，即可求解，对于②，设点是曲线上任意一点，则，则点到原点的距离为，再结合基本不等式的公式，即可求解，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即可求得正方形的边长最短为2，即可求解. 【详解】解：对于①，用替换方程中的，方程形式不变， 所以曲线关于直线对称，故①正确， 对于②，设点是曲线上任意一点，则， 则点到原点的距离为， 由，解得，当且仅当时取等号，故②正确， 对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1， 所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，故③错误. 故选：A 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等， ． 14. 已知点，Q为圆上任一点，则线段AQ中点M的轨迹方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由题意得，将，代入求解. 【详解】解：设，， 根据题意得， 则， 又， 将，代入上式得：. 故答案为：. 15. 已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得,所以双曲线的标准方程为， 由渐近线，所以，故即双曲线的标准方程为. 16. 若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得抛物线是开口向右的抛物线，可得 ，即， 因此准线方程为， 由横坐标为的点到焦点的距离为，可得：， 即，解得. 17. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法1：由题意可知， 由中位线定理可得，设可得， 联立方程 可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方， 求得，所以 方法2：焦半径公式应用 解析1：由题意可知， 由中位线定理可得，即 求得，所以. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径. 18. 设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由可得，则可得，解出即可得. 【详解】由题知，解得，所以， 设，则，， 又，得到，整理得到， 由于使得成立的点恰好是个， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又，所以，得到. 三、解答题（每小题14分，共28分） 19. 已知椭圆的右焦点为，离心率为．直线过点且不垂直于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为． （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若点是椭圆上一动点，当直线的斜率为时，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）有条件列出关于的方程，解方程求，由此可得椭圆C的方程； （2）利用设而不求法可求的坐标，由此完成证明； （3）利用（2）中结果，可得，设，利用点到直线的距离公式得到，从而求得的最大值，即可求出结果. 【小问1详解】 由题知，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立，消去y得，， 由韦达定理知，因为为线段的中点， 所以，，所以， 所以为定值. 【小问3详解】 当直线的斜率为时，由（2）知直线l的方程为， 由，消去y得，，解得或， 当时，，当时，，所以， 设， 则点到直线的距离为， 其中，当时取到最大值为， 此时面积最大，最大值为. 20. 已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点， 【解析】 【分析】（1）直接由椭圆C过点和解方程即可； （2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出，由解出点P的坐标即可. 【小问1详解】 由题知，椭圆C过点和， 所以，解得 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，， 由，得，∴， ∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP ∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF ， ∴ ∴恒成立 ∴，解得 ∴ ∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立． 【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到，表示出，，联立直线和椭圆后，由韦达定理及建立方程解出点P的坐标即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高一年级4月阶段测评 数学试题（A卷） 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段的中垂线方程为且，则点坐标为． A. B. C. D. 3. 若一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ） A. B. C. D. 4. 设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是 A. 1 B. C. 2 D. 6. “”是“为椭圆方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的m有几个不同的值（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知椭圆，直线l与两个坐标轴分别交于点M，N．且与椭圆E有且只有一个公共点，O是坐标原点，则面积的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 10. 已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，如果，那么的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6 12. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心､边长为的正方形，使曲线在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若直线与直线平行，则实数a的值为________． 14. 已知点，Q为圆上任一点，则线段AQ中点M的轨迹方程是___________. 15. 已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线方程为______. 16. 若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为，则___________． 17. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______. 18. 设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的范围是______． 三、解答题（每小题14分，共28分） 19. 已知椭圆的右焦点为，离心率为．直线过点且不垂直于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为． （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若点是椭圆上一动点，当直线的斜率为时，求面积的最大值． 20. 已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $