精品解析：吉林省长春市第108中学2025-2026学年九年级下学期中考模拟试题

数学练习 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干给出的“同号相乘为正，异号相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，0不是负数，不符合要求； 选项B：，结果为正数，不符合要求； 选项C：，同号相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D： ，异号相乘得负，结果为负数，符合要求． 故选：D． 2. 我国自主研发的人工智能提升了我国在全球科技领域的竞争力．截至2026年5月，的全球下载量约为次．将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 生活中常见的路障锥（如图1）通常是圆锥的形状，可以把它抽象成如图2所示的圆锥，该圆锥的侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，，运算错误，不符合题意； B选项，，运算错误，不符合题意； C选项，，运算正确，符合题意； D选项，，运算错误，不符合题意． 5. 如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先理解题意，结合，，，证明，即可作答． 【详解】解：依题意，∵，，， ∴， ∴图中与全等的依据是． 6. 长春广播电视塔（吉塔）是长春标志性建筑之一，小明想测量吉塔的高度．在离吉塔底端B正前方12米的C处，用高为1.6米的测角仪测得吉塔顶部A处的仰角为α，则吉塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】过作于点，根据题意得，然后证明四边形是矩形，所以米，米，在中，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， ∴， ∴米， ∴吉塔的高度为米． 7. 如图，直角三角板中，，，其顶点，落在上，边与交于点，是上位于边另一侧的点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，再由等边对等角并结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后，分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，求出点D的坐标为，点B的坐标为，当时，即D为的中点，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值． 【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，，解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为8， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 令，解得， ∴点B的坐标为， 当时，即D为的中点， ∴，， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 请你写一个小于的整数：_____． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再找出范围中小于的整数，任写一个符合要求的即可． 【详解】解：，，且， ，即， 则写一个小于的整数：0． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 不等式组的解集是_____． 【答案】 无解 【解析】 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组无解． 12. 如图，五边形为正五边形，，则_____°． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出， ，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵五边形为正五边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点A按逆时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转后的点的坐标，根据题意和网格特点画出旋转后的线段，即可求解，数来你掌握旋转的特点是解题的关键． 【详解】 ∵将线段绕点A按逆时针方向旋转后，得到线段， ∴， ∴线段旋转后的位置如图所示， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，四边形为菱形，，交的延长线于点E，交于点F，且．则下列结论正确的有_____． ①；②；③；④． 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】由四边形为菱形，可得，可证可判定①；由，可得，由四边形为菱形，可得，利用等角之差，可判定②；连接交于O，四边形为菱形，可得，可证，可证，可判定③；根据为的中位线，易证，可得，由．可得，可求可判定④． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴在和中， ， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，故②正确； 连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④不正确． 综上，正确的有①②③． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，熟练运用平方差公式是解此题的关键．运用整式的运算规则化简在求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 2026年，中国航天载人工程将实施：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人实验四项任务，某学校科技节开展模拟任务，将四项任务分别写在四张相同的卡片上．若李明随机抽取一张后，张华再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的恰好都是载人飞行的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的恰好都是载人飞行的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的恰好都是载人飞行的结果有2种， ∴两人抽到的恰好都是载人飞行的概率为． 17. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个．求制作1个榫需要的木材为多少千克？ 【答案】制作1个榫需要的木材为千克． 【解析】 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， 根据题意得， 解得， 答：制作1个榫需要的木材为千克． 18. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）． （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）． 【详解】解：（1）轴对称图形如图1所示． （2）中心对称图形如图2所示． 【点睛】本题考查利用中心对称设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 小聪与小慧、小明一起研究尺规作图问题： 如图，在锐角三角形中，，现要在所在的平面内找一点，使，小聪、小慧、小明的作图思路分别如下： 小聪：只要作其中两条边的中垂线，其交点即为； 小慧：只要作其中两个内角的平分线，其交点即为； 小明：可以在内作，使交边于点即可． （1）填空：判断三位同学的作图思路是否正确．（填“正确”或“错误”） 小聪的作图思路_______；小慧的作图思路_______；小明的作图思路_______． （2）请你选择一个正确的思路进行尺规作图，并证明． 【答案】（1）正确；错误；正确 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，利用圆周角定理判定，根据角的平分线的交点是三角形的内心，判定，利用三角形外角性质判定解答即可． （2）利用外心，圆周角定理，三角形外角性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，利用圆周角定理，根据角的平分线的交点是三角形的内心，三角形外角性质判定： 小聪的作图思路正确；小慧的作图思路错误；小明的作图思路正确． 故答案为：正确；错误；正确． 【小问2详解】 证明： 小聪的作图： 根据基本作图，得到点P是外接圆的圆心，是同一条弧上的圆周角和圆心角， 故． 小明的作图思路： 根据题意，得，， 故． 【点睛】本题考查了基本作图，圆周角定理，内心的意义，三角形的外角性质，熟练掌握性质和作图是解题的关键． 20. 为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并进行数据整理． 平均数 中位数 众数 方差 无人机A 70 69.5 b 无人机B 72 a 69 （1）填空：______，______，______（填写“、或”）； （2）根据以上信息，你认为______（填“A”或“B”）款无人机运行时间更有优势．请写出两条理由； （3）如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为70 min，那么A款无人机最长运行时间的方差将_____（填“变大”，“变小”或“不变”）． 【答案】（1），， （2）B款无人机运行时间更有优势，理由：因为B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机，故B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可） （3）变小 【解析】 【分析】（1）根据方差，中位数，众数的定义求解即可； （2）运用平均数或其他统计量进行比较即可； （3）根据方差的计算方法判断即可． 【小问1详解】 解：A组数据为66、72、64、70、72、69、80、67、72、68， 72出现的次数最多，故众数为； 方差， B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为， 方差． ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：变小 ，理由：新增数据70与A款无人机的平均数相等，加入后会减小数据的方差． 21. 甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： （1）轿车比货车提前______小时到达乙地； （2）求所在直线对应的函数关系式； （3）轿车出发______小时追上货车． 【答案】（1）0.5 （2） （3）2.9 【解析】 【分析】（1）直接由图可得答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先利用待定系数法求得所在直线对应的函数关系式，联立方程组求得货车出发小时时轿车追上货车，结合货车比轿车早出发1小时可得答案． 【小问1详解】 解：由图象知，， 即轿车比货车提前0.5小时到达乙地； 【小问2详解】 解：由题意，设所在直线对应的函数关系式为， 将点、代入，得， 解得， ∴所在直线对应的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设所在直线对应的函数关系式， 将点代入，得，解得， ∴所在直线对应的函数关系式为， 解方程组，得， 即货车出发小时时轿车追上货车，又货车比轿车早出发1小时，， 故轿车出发2.9小时追上货车． 22. 四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． （1）求证：四边形都是平行四边形； （2）①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． （3）如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）①菱；②矩 （3）菱 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理推导出，，然后利用平行四边形的判定可得结论； （2）①连接，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （3）分别延长、相交于点M，连接、，证明，得到，根据（2）①证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ②∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 解：四边形的中点四边形是菱形．理由如下： 分别延长、相交于点M，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①知，四边形的中点四边形是菱形． 23. 如图①，在矩形中，，，连结．点O为射线上一动点（与C不重合），以O为圆心，长为半径作圆，交射线于点Q． （1）求线段的长； （2）当点A在上时，求线段的长； （3）如图②，连结，将沿折叠，得到，连结． ①当取最小值时，的长为______，此时与的位置关系是______； ②当为直角三角形时，直接写出线段的长． 【答案】（1）5 （2） （3）①，相切；②或或4或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）由条件可知当点A在上时，满足，据此借助勾股定理列方程即可求解； （3）①结合构成三角形的条件可得当三点共线时，取得最小值，进而可知与相切；然后由可求出； ②当为直角三角形时，由于直角顶点不确定，因此需要分三种情况进行讨论． 【小问1详解】 解： 四边形为矩形，， ，． 在 中，，，由勾股定理，得 ； 【小问2详解】 解：如图1，连接，则 ，． 在 中，由勾股定理，得， ， 解得 ， 线段的长为 ； 【小问3详解】 ① 解：，BD与相切．理由： 由沿折叠得到， ， ，． 如图2，连接． 四边形为矩形， ． 由三角形三边关系，可知． 当三点共线时，取得最小值1，如图3所示， 此时，故与相切． 在和中， ． ，即 ， 解得 ， ； ② 解：当为直角三角形时， 的值为或或4或． 理由：设 ，分三种情况讨论： ①当时，由①结论可知； ②当时， 如图4，此时点P在边上，点O在边上， 在中，， ． 在中，，，由勾股定理，得 ，解得． ； 如图5，此时点P在边的延长线上，点O在边的延长线上， 同图4的解题方法可知此时． 在中，，，由勾股定理，得 ，解得． ； ③当时，如图6． ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形， ． 综上，线段的长为或或4或. 【点睛】在动态问题中，说明一个三角形是直角三角形通常有两种方法，一种是利用勾股定理；另一种是利用相似．对于本题，同学们可以尝试一下哪种情况可以利用相似来求解． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）该抛物线的对称轴为_____； （3）当与的面积相等时，求m的值； （4）若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组得到该抛物线的解析式为； （2）先化为顶点式，由对称轴公式求解即可； （3）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到或经过的中点，进而求解即可； （4）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，由题意，，则，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ 解得， ∴该抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； 【小问3详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴)， ∵点是抛物线上的一个动点，与的面积相等， ∴当时或当经过的中点时满足条件， 当时，点B、点D关于直线对称， ∴点的横坐标为2，即； 当经过的中点时，设中点为，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得，， ∴点D的横坐标， 综上，或； 【小问4详解】 解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意，，则，，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ①当时， 则， ∴ 解得 ∵， ∴； ②当时， 则， ∴， 解得或 (不合题意舍去)， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国自主研发的人工智能提升了我国在全球科技领域的竞争力．截至2026年5月，的全球下载量约为次．将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 生活中常见的路障锥（如图1）通常是圆锥的形状，可以把它抽象成如图2所示的圆锥，该圆锥的侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 长春广播电视塔（吉塔）是长春标志性建筑之一，小明想测量吉塔的高度．在离吉塔底端B正前方12米的C处，用高为1.6米的测角仪测得吉塔顶部A处的仰角为α，则吉塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，直角三角板中，，，其顶点，落在上，边与交于点，是上位于边另一侧的点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后，分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 请你写一个小于的整数：_____． 10. 因式分解：______． 11. 不等式组的解集是_____． 12. 如图，五边形为正五边形，，则_____°． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点A按逆时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为__________． 14. 如图，四边形为菱形，，交的延长线于点E，交于点F，且．则下列结论正确的有_____． ①；②；③；④． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 2026年，中国航天载人工程将实施：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人实验四项任务，某学校科技节开展模拟任务，将四项任务分别写在四张相同的卡片上．若李明随机抽取一张后，张华再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的恰好都是载人飞行的概率． 17. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个．求制作1个榫需要的木材为多少千克？ 18. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 19. 小聪与小慧、小明一起研究尺规作图问题： 如图，在锐角三角形中，，现要在所在的平面内找一点，使，小聪、小慧、小明的作图思路分别如下： 小聪：只要作其中两条边的中垂线，其交点即为； 小慧：只要作其中两个内角的平分线，其交点即为； 小明：可以在内作，使交边于点即可． （1）填空：判断三位同学的作图思路是否正确．（填“正确”或“错误”） 小聪的作图思路_______；小慧的作图思路_______；小明的作图思路_______． （2）请你选择一个正确的思路进行尺规作图，并证明． 20. 为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并进行数据整理． 平均数 中位数 众数 方差 无人机A 70 69.5 b 无人机B 72 a 69 （1）填空：______，______，______（填写“、或”）； （2）根据以上信息，你认为______（填“A”或“B”）款无人机运行时间更有优势．请写出两条理由； （3）如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为70 min，那么A款无人机最长运行时间的方差将_____（填“变大”，“变小”或“不变”）． 21. 甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： （1）轿车比货车提前______小时到达乙地； （2）求所在直线对应的函数关系式； （3）轿车出发______小时追上货车． 22. 四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． （1）求证：四边形都是平行四边形； （2）①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． （3）如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 23. 如图①，在矩形中，，，连结．点O为射线上一动点（与C不重合），以O为圆心，长为半径作圆，交射线于点Q． （1）求线段的长； （2）当点A在上时，求线段的长； （3）如图②，连结，将沿折叠，得到，连结． ①当取最小值时，的长为______，此时与的位置关系是______； ②当为直角三角形时，直接写出线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）该抛物线的对称轴为_____； （3）当与的面积相等时，求m的值； （4）若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $