期末真题百练通关（120题39大常考题型）-2025-2026学年数学七年级下册苏科版期末复习

**基本信息** 聚焦初中数学期末39大常考题型，120道真题覆盖幂运算、整式乘法、图形变换、方程不等式等核心模块，构建概念-运算-应用递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填基础|21题型（题型1-21）|侧重概念辨析与基础运算，如幂的性质判断、方程解的应用|从幂的运算、整式乘法到图形变换，形成"定义-性质-简单应用"的逻辑链| |解答综合|18题型（题型22-39）|突出综合应用与实际建模，如方程不等式组解实际问题、图形变换作图|以运算规则为基础，延伸至复杂问题解决，体现"运算能力-推理意识-应用意识"的素养递进|

期末真题百练通关（120题39大常考题型） 选填题 题型1同底数幂的乘法 题型12二元一次方程的概念 题型2幂的乘方与积的乘方 题型13解二元一次方程组 题型3同底数幂的除法 题型14三元一次方程组的认识 题型4单项式乘单项式 题型15用二元一次方程组解决问题 题型5单项式乘多项式 题型16不等式的认识 题型6多项式乘多项式 题型17一元一次不等式的概念 题型7乘法公式 题型18解一元一次不等式 题型8平移的认识 题型19一元一次不等式组 题型9轴对称的认识 题型20用一元一次不等式解决问题 题型10旋转的认识 题型21命题证明及定理 题型11二元一次方程的认识 解答压轴题（计算+解答） 题型22幂的运算类问题 题型31乘法公式的实际应用 题型23一元一次不等式的解集问题 题型32用一元一次不等式解决问题 题型24解不等式组 题型33用不等式组解决问题 题型25解二元一次方程 题型34用二元一次方程解决问题 题型26解三元一次方程 题型35用二元一次方程组解决问题 题型27根据同底数幂的乘法解决问题 题型36三元一次方程组的实际应用 题型28根据幂的乘方与积的乘方解决问题 题型37平移的作图或实际应用 题型29根据同底数幂的除法解决问题 题型38轴对称的作图或实际应用 题型30多项式多项式的乘法的实际应用 题型39旋转的作图或实际应用 题型1同底数幂的乘法 1．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算和整式加法运算，将等式左右两边化简为同底数幂的形式，利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系即可． 【详解】解：∵ 又∵ 由题可知等式左右两边相等， ∴ ， 可得 ， 整理得 ． 2．计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义、因式分解等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算，然后提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 故选D． 3．光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为_____米． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法和同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则和科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值，熟练掌握运算法则． 【详解】解：， 故答案为：． 4．已知，，则＝_____ ． 【答案】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，可得：，再把，代入进行计算． 【详解】解：，， ． 题型2幂的乘方与积的乘方 5．已知，，则代数式的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则求解，将已知变形后整体计算即可得到结果，用到幂的乘方和同底数幂乘法的性质． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ． 6．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义，同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方的法则对各选项逐一判断即可. 【详解】选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误. 选项B：∵根据同底数幂乘法法则，，∴B正确. 选项C：∵根据幂的乘方法则，，∴C错误. 选项D：∵根据积的乘方法则，，∴D错误. 7．若，则的值是________ 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、等式的性质，将等式化成，即可求解的值. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， 解得：. 8．计算： ____． 【答案】 【详解】解：原式 . 题型3同底数幂的除法 9．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算规则与同类项合并规则，根据积的乘方、同底数幂的乘除法、同类项的概念逐个判断即可． 【详解】解：A．，该项错误． B．同底数幂相除，底数不变，指数相减，得，该项正确． C．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，该项错误． D．与不是同类项，不能合并，该项错误． 10．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 11．已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据得到，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 12．若，则的值为_______． 【答案】1或2或4 【分析】根据题意可得，且；再分三种情况：，，，分别求出对应情况下的值，看是否符合题意即可． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴； 当，即时，，则，符合题意； 当，即时，，则，符合题意； 当，即时，，则，符合题意； 综上所述，t的值为1或2或4． 题型4单项式乘单项式 13．下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式加减、积的乘方、单项式乘法、幂的乘方，依次计算各选项结果，即可得到符合要求的选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴ A不符合题意； B、，∴ B不符合题意； C、，∴ C符合题意； D、，∴ D不符合题意． 14．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 15．若三角形表示，方框表示，则×的值为____________ ． 【答案】 【分析】按照题意列式，再根据单项式乘单项式法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 16．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 题型5单项式乘多项式 17．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一分析各选项的运算即可． 【详解】解：A ．，原式计算错误，故此选项不符合题意； B．，原式计算正确，故此选项符合题意； C．，原式计算错误，故此选项不符合题意； D． 和不是同类项，不能合并，原式计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 18．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；通过单项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类项，即可解答． 【详解】解： ， 故选：D． 19．已知，则的值为_________． 【答案】2010 【分析】根据得出，对所求式的高次项降次，代入所求多项式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 20．计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 【答案】 【分析】阴影部分可以分割成三个长方形，其中两个长方形相同，长为，宽为a，另外那个长方形的长为，宽为b，据此结合长方形的面积公式求解即可． 【详解】解： ， ∴阴影部分的面积为． 题型6多项式乘多项式 21．若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先按照多项式乘以多项式计算，然后根据已知条件得出，，解一元一次方程即可求出m，n的值． 【详解】解： ， 则，， 解得：，． 22．若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含项，可得项的系数为，据此求解的值即可． 【详解】解： ； ∵展开式中不含项， ∴项的系数等于，即， 解得． 23．若，则______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 24．观察下列式子： ；；．利用上面式子存在的规律，计算：_____． 【答案】/ 【分析】根据给定的等式归纳得到一般规律，然后根据求解即可． 【详解】解：根据给定等式的规律，可得， ∵， ∴． 题型7乘法公式 25．下列算式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式为，要求两个相乘的二项式中，一组项完全相同，另一组项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，两项均相同，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项B中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项C中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构要求，可以用平方差公式计算； 选项D中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算． 26．已知，则m＋n的值为（     ） A． B．21 C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据完全平方公式展开等式左边，再根据对应项系数相等求出和，最后计算的值． 【详解】解：∵利用完全平方公式展开左边得：， 又∵ ， ∴对比多项式对应项系数可得，， ∴． 27．已知的值为_____． 【答案】1 【详解】解： ． 28．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 题型8平移的认识 29．如图，将直角三角形沿着点B到点C的方向平移得到三角形，且交于点H，，，那么图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得，从而得出，再根据梯形面积公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， ， ， 即， ， ， ． 30．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 31．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为________． 【答案】/厘米 【详解】解：由题意得：，． ∵三角形的周长为，四边形的周长为， ，，则， ． 32．沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】根据题意得到阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 阴影部分的面积． 题型9轴对称的认识 33．下列图形是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形的意义.解答本题需掌握好轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合即可，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行选择，即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的意义，逐选项进行核对，只有选项A符合轴对称图形的定义， 故选：A； 34．已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 35．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为_______． 【答案】15 【分析】由轴对称的性质得到，同理得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，，， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上，， ， ． 36．如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】折叠得到，平行得到，，再利用平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图， 由折叠可知， ∵对边平行的纸带， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型10旋转的认识 37．对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 38．如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 根据旋转的性质，利用旋转角，计算即可． 【详解】解：∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形， ∴是旋转角， ∵，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 39．明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献，如图所示的五角星图案绕点O至少旋转_________度才能与自身重合． 【答案】72 【分析】根据旋转对称图形的性质解答即可； 【详解】解：这个五角星是旋转对称图形，中心O将整个周角平均分成了5个相等的部分， 根据旋转对称图形的性质，最小旋转角度周角度数等份数， 即： ， 因此绕点O至少旋转72度就能与自身重合． 40．如图所示的中，，，，点C、A在直线l上，将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点，．．．按此规律旋转至点，则______． 【答案】16210 【分析】由旋转的性质可得，，，从而可得，，由题图可知，每旋转次为一个循环组一次循环，每循环一次（为正整数）的长度增加，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点， ∴， ∵将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点， ∴， ∴， ∵将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③得到直线l上的点， ∴， ∴， …， ∴由题图可知，每旋转次为一个循环组一次循环，每循环一次（为正整数）的长度增加， ∵， ∴． 题型11二元一次方程的认识 41．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（     ） A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程，可得到关于的方程与不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵ 关于的方程 是二元一次方程， ∴ ， 解方程，可得或， 即或， 又， ． 42．某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元，社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（    ）． A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】设定制书签和笔记本的数量，根据总花费列出二元一次方程，结合两种产品都需定制，即数量均为正整数的条件，找出方程的正整数解的个数，即可得到定制方案的数量. 【详解】解：设定制书签x张，定制笔记本y本，其中x，y均为正整数， 根据题意列方程得， ∴， ∴，共5个值， 故共有5种定制方案. 43．已知 是关于x、y的二元一次方程，则_____． 【答案】2026 【分析】根据二元一次方程的定义，二元一次方程需满足含有两个未知数，且未知数的项的次数为，含未知数的一次项系数不为，据此列出关于，的关系式，求解后计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且，, 解得，, 则． 44．某人的旅游团去花海观花，导游用元购买了张成人票和张儿童票，请你给小朋友小海计算一下，小海和他父母及爷爷一家四口需交______元的门票费． 【答案】 【分析】设成人票与儿童票的单价为未知数，根据题意列出等式，再分析所求门票的表达式，利用整体代入法计算即可得到结果． 【详解】解：设每张成人票的价格为元，每张儿童票的价格为元， 根据题意，得， 等式两边同时除以，得， 因为小海一家四口为名成人，名儿童， 所以所需门票总费用为，因此总费用为元． 题型12二元一次方程的概念 45．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 46．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题利用二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，得到关于a，b的关系式，直接变形即可求出的值． 【详解】解：∵是原方程组的解， ∴ 将代入原方程组，得：， ，得： 化简得：． 47．写出一个解为的二元一次方程组为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 48．表中的信息满足关于的二元一次方程，则的值是_____． 1 2 2 【答案】0 【分析】根据题意，将x和y的值代入，得出关于a和b的方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 得：． 题型13解二元一次方程组 49．已知是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】将解代入方程组得出关于a和b的二元一次方程组，利用代入法解方程组求出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：把代入方程组， 得， 由方程①得， 把代入②得：， 解得， ∴， ∴． 50．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可． 【详解】解：方程组可变形为， ∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得． 51．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 52．若关于，的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，则的值为________． 【答案】2 【详解】解：， 得， ∴， ∴． 题型14三元一次方程组的认识 53．、、各代表一个数，已知，，，则、、分别等于（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解三元一次方程组的关键思想是消元，常用的消元方法有代入消元法、加减消元法，本题中首先消去未知数求出的值，再消去未知数求出，再把和代入求出的值即可． 【详解】解：由题意可得：， 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把和代入得：， ，，， 故选：B． 54．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式．设甲、乙、丙每件价格分别为元、元、元，根据条件列出方程组，通过加减消元法整体求解的值． 【详解】解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 55．方程组的解是____________． 【答案】 【详解】解：， 由，得， 解得 ， 把代入，得， 解得 ， 把，代入，得， 解得 ， 故原方程组的解为． 56．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 【答案】 【分析】设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，根据题意列出两个方程，得到三元一次方程组，整理求出的值，即可求解． 【详解】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元， 根据已知条件，列出方程组， ，得 ， ∴， ∴． 所以小莹应付元． 题型15用二元一次方程组解决问题 57．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当”．其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等．问甲、乙各有多少只羊？若设甲有x只羊，乙有y只羊，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到不同条件下甲乙的羊数，找准等量关系列方程． 【详解】解：乙给甲9只羊后，甲现有羊数为，乙现有羊数为，此时甲的羊数是乙的2倍，得到方程， 甲给乙9只羊后，甲现有羊数为，乙现有羊数为，此时两人羊数相等，得到方程， 因此所列方程组为． 58．某果园为推广葡萄新品种，计划将100千克的葡萄分装成3千克和5千克“葡萄礼盒”赠给水果采购商（每种礼盒不少于6盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】设两种礼盒的盒数为未知数，根据总重量列二元一次方程，结合两种礼盒盒数均为不小于6的正整数的条件，求出所有符合条件的正整数解，即可得到方案数. 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∴， ∵为正整数， ∴为的倍数， ∴，，， ∴符合条件的方案共有种． 59．某公司用元购进甲、乙两种货物，货物卖出后，甲种货物的利润是，乙种货物的利润是，共获得利润元．设购进甲、乙两种货物分别花费了元，元，根据题意列方程组为_______． 【答案】 【分析】根据两个等量关系：总购进花费共元，总利润共元，即可列出方程组． 【详解】解：根据“总购进花费为甲的花费与乙的花费的和”，可得方程， 根据“总利润为甲的利润与乙的利润的和”，甲的利润为，乙的利润为，总利润为元，可得方程， 列方程组为． 60．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 【答案】 【分析】设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据两种购买方案列出方程组，推导得到未知数之间的关系，再计算实际购买后剩余的钱数即可． 【详解】解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据题意得： ， 得：， ∴， 得：， 整理得：， 将代入得： ， 整理得：， 实际购买后剩余钱数为： （元）． 题型16不等式的认识 61．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 62．已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 【答案】D 【分析】已知不等式解集为，根据不等式解的定义，判断每个选项是否符合解集条件即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，， ∴ -3不是这个不等式的解，A错误； 对于B选项，， ∴ 1是这个不等式的解，B错误； 对于C选项，例如，但，不是不等式的解， ∴ C错误； 对于D选项，所有大于的数都满足， ∴ 大于的数都是这个不等式的解，D正确． 63．设，，则______（选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先分别展开两个多项式，再计算的结果，再根据结果的符号判断和的大小关系． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 64．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； 根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可． 【详解】解：由题可知，车在中间车道， 根据图片中的车速范围可知： 故答案为： ． 题型17一元一次不等式的概念 65．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】、为整式，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，此选项符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式． 66．若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， 或． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式． 67．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，可得未知数的次数为，且的系数不为，据此列关系式求解即可. 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且， ∵， ∴， 或， ∵， ∴， ， 故答案为 ：. 68．当_________时，不等式是一元一次不等式． 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且未知数的系数不为0，列出关系式求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：． 题型18解一元一次不等式 69．若不等式的解集是：，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据不等式的解集的不等号方向变化判断未知数系数的正负，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向发生改变， ∴不等式两边同时除以时，不等号方向改变． 根据不等式的基本性质可得 ， 解得 ． 70．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】解题时无需分别解出，直接将方程组两个方程相加得到目标式，再代入不等式求出的取值范围，即可得到最小整数解． 【详解】解：， 由①+②得：， 方程组的解满足， ， 解得， 为整数， 的最小整数解为，故选C． 71．如图，要使输出的y值大于75，则输入的最小正整数x是 _____． 【答案】16 【分析】根据程序图分输入的x为奇数或偶数两种情况列不等式取符合题意的最小值． 【详解】解：①当输入的x为奇数时，， 解得：， ∴此时输入的最小正整数为17； ②当x为偶数时，， 解得：， ∴此时输入的最小正整数为16， 综上，要使输出值y大于75，输入的最小正整数x是16． 72．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 题型19一元一次不等式组 73．在关于，的方程组中，未知数满足，，那么的取值范围在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程组的解，进而得到关于的不等式组，求出不等式组的解集，在数轴上表示即可. 【详解】解：解得，， ∵，， ∴， 解得， 在数轴上表示解集如图： 74．现用载重分别为5吨和8吨的货车运货，总货物共47吨，两种货车均不少于1辆，要一次性运完，则安排方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】设安排载重5吨的货车辆，载重8吨的货车辆，根据总货物共47吨可知总载重量，由两种货车均不少于1辆，可知5吨货车均不少于1辆，即总载重量，将y看做已知量求出x的取值范围，进而枚举验证即可，得到符合要求的方案数． 【详解】解：设安排载重5吨的货车辆，载重8吨的货车辆， ∵总货物共47吨，两种货车均不少于1辆， ∴且，，， 解得， 解得， 即， 当时，，可取8，符合； 当时，，可取7，符合； 当时，，可取5，符合； 当时，，可取3，符合； 当时，，可取2，符合； 当时，，无正整数解，不符合； 可知当时，无正整数解，不符合； 综上所述，安排方案共有5种． 75．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的确定规则“同大取大”，结合已知解集得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： 不等式组的解集是， 根据“同大取大”可得， 解得 . 76．已知关于的不等式组：恰有3个整数解，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据关于的不等式组：恰有3个整数解判断实数的取值范围即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组：恰有3个整数解， ∴， 解得：． 题型20用一元一次不等式解决问题 77．按如图所示的程序运算，若开始输入的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的的值为（    ） A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数 【答案】B 【分析】根据题意列出关于的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故满足条件的的值为大于6的数． 78．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出答对得分和扣分数，再结合获奖的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得： ． 79．某服装店购进了一批服装，这批服装每件的进价为200元，每件的售价为300元，现在该服装店准备将这批服装降价处理，打折出售，若使得每件衣服的利润不低于10元，则根据题意可列不等式为________． 【答案】 【分析】先确定打折后的实际售价，再根据“利润实际售价进价”，结合利润不低于10元的条件列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，打折后每件服装的实际售价为元， 每件服装的利润为实际售价减去进价，进价为元， 因此利润可表示为 ，因为利润不低于元，即利润大于等于元， 因此可列不等式为 ． 80．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 题型21命题证明及定理 81．下列命题中，真命题的是（     ） ①钝角大于直角；②对顶角相等；③同位角相等，两直线平行； ④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：①∵钝角是大于且小于的角，直角为， ∴钝角大于直角，①是真命题； ②∵对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴②是真命题。 ③同位角相等，两直线平行是平行线的判定定理， ∴③是真命题。 ④只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，同旁内角的平分线才互相垂直，命题未说明被截的两条直线平行， ∴④是假命题 综上，真命题为①②③ 82．长沙市某中学啦啦操队，其参赛道具于花分别装在、、三个纸箱里，不知其数，现对三个纸箱的手花进行3次调整：第一次，箱不动，在、两箱中的一箱中取出5束手花放在另一箱；第二次，箱不动，在、两箱中的一箱取出7束放在另一箱；第三次，箱不动，在、两箱中的一箱取出9束放在另一箱．经过三次调整后，、、三个纸箱各有手花10束、10束、10束，则原来箱最多有（    ）束手花． A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由最后的结果向前推理，可得答案． 【详解】解：要使原来C箱最多，根据题意得： ∵第三次调整后，A箱有10束，B箱有10束，C箱有10束， ∴第二次调整后，A箱有10束，B箱有（束），C箱有（束）， ∴第一次调整后，A箱有（束），B箱有1束，C箱有（束）， ∴原来C箱有12束； 故选：C． 【点睛】此题考查了逆向思维解应用题，解题的关键是从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解即可． 83．判断命题“如果某不等式的解集有两个正整数解，那么”是假命题的一个反例中a可以是_________． 【答案】2.2（答案不唯一） 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【详解】解：当时，满足某不等式的解集即有两个正整数解1和2，但，即不成立， 故a可以是2.2． 84．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 题型22幂的运算类问题 85．计算，结果用幂的形式表示：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法法则：同底数幂相乘底数不变指数相加，有理数的乘方性质，合并同类项.先利用有理数乘方的性质，将幂的底数变成相同，再根据同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项. 【详解】解：原式 故答案为. 86．计算： 【答案】 【详解】 解： 原式 ． 题型23一元一次不等式的解集问题 87．解下列不等式，并在数轴上表示出它的解集． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【详解】（1）解：， ， ， ， 数轴略； （2）解：， ， ， ， ， ， 数轴略． 88．已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值． 【答案】 ，的最大整数值为 【详解】解：∵代数式与的差大于1， ∴， ， ， ， ； 则的最大整数值为． 题型24解不等式组 89．解不等式组，并将解集画在数轴上 （1） （2） 【答案】（1） ， （2） 【分析】（1）求出不等式组的解集，把解集表示在数轴上即可； （2）求出不等式组的解集，把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上，略 （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上，略 90．根据题意求取值范围： （1）如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； （2）若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 解方程， 得， ，即． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解关于，的方程组，得， 解得． 题型25解二元一次方程组 91．解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） ． 【详解】（1）解：， 得，解得， 把代入得，解得， ∴这个方程组的解为； （2）解：， 得， 得，解得， 把代入得，解得， ∴这个方程组的解为． 92．小轩在解方程组时，本应解出，由于看错了系数c，从而得到解，求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】正确解：必须同时满足方程组中的每一个方程．错误方程的解：它满足的是“被看错系数后”的新方程组，因此，它一定满足那些没有被看错系数的方程，就能将看似混乱的条件清晰地转化为几个简单的方程，从而轻松求解． 【详解】解：将代入方程组得到， 将代入方程得到， 整理得， 解得． 题型26解三元一次方程组 93．解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用加减消元法解得即可； （2）利用加减消元法解得即可． 【详解】（1）解： 由得：， 即④， 由得：⑤， 由得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以原方程组的解为； （2）解： 由得：④， 由得：⑤， 由得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 94．已知，当时，；当时，；当时，．求、、的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，有加减消元法和代入消元法两种，本题通过建立关于��，��，c的三元一次方程组，求得��、��、��的值． 【详解】解：根据题意，得 把③分别代入①和②，得，解得 ，，． 题型27根据同底数幂的乘法解决问题 95．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）___________； （2）求___________； （3）求的和．（请写出计算过程） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）设和为，给等式两边同时乘以，再将新等式与原等式相减，消去中间项，直接得到结果； （2）设和为，给等式两边同时乘以​，再将原等式与新等式相减，消去中间项，解出； （3）设和为，给等式两边同时乘以，再将原等式与新等式相减，消去中间项，解出． 【详解】（1）解：设，则， 故． （2）解：设，则， 则， 即， 故． （3）解：设，则， 可得， 故． 96．阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 根据以上材料，解决下列问题： （1）计算以下各对数的值：_________，_________，_________； （2）根据（1）中的计算结果，写出，，满足的关系式； （3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：_________（且，，）； （4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性． 【答案】（1）2；4；6 （2） （3） （4）见解析 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论：． （4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，，， ∴； （3）解：由（2）的结果可得； （4）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 题型28根据幂的乘方与积的乘方解决问题 97．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）比较的大小； （2）比较与的大小； （3）已知．求之间的等量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 98．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）的结果是________． （2）若，求的值． （3）比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 题型29根据同底数幂的除法解决问题 99．探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定．例如：． （1）求的值； （2）求的值； （3）当x为何值时，的值与的值相等． 【答案】（1） （2） （3）2 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据，求解即可； （3）根据定义，列式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故； （2）解：根据题意，得， 故； （3）解：根据题意，得， ， 故， 故， 解得， 故当x为2时，的值与的值相等． 100．如果，那么规定．例如：如果，那么． （1）根据规定填空：___________，___________； （2）记，，，若，求的值； （3）若，，比较，的大小关系． 【答案】（1）， （2） （3） 【分析】（1）根据新定义，找满足和的指数即可； （2）先根据定义把、转化为、，再利用同底数幂乘法，结合求出； （3）先根据定义把、表示为和，再逆用幂的乘方将二者统一指数为，转化为和，最后通过比较底数大小得出，的大小关系． 【详解】（1）解：，则， ，则． （2）解：，则，，则， ， 若，则，可得， ，故． （3）解：，则，即， ，则，即， ，故． 题型30多项式多项式的乘法的实际应用 101．阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，当时，有最小值是． 【类比应用】 （1）①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______； ②直接写出代数式的最小值为_______； （2）已知，求的值． 【答案】（1）①② （2） 【分析】（1）①利用完全平方公式求解； ②将代数式变形为完全平方加有理数的形式即可； （2）利用拆项法将方程变形为：，得到的值，进而求解即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 当时，代数式有最小值为； （2）解：原方程可化为：， ， ∴， 即：， ∴. 102．阅读：已知，求的值． 思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值． 解： ． 请你利用整体的思想解决下列问题． （1）已知，求的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值； （2）根据整体的思想，将代数式变形为含的式子，代入求值即可. 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 原式 ； （2）解：∵， ∴， 原式 ． 题型31乘法公式的实际应用 103．阅读下列材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：，， 当，的最小值是2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】填空：_____=（ ）2； （2）【类比应用】①请直接写出为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ ②将变形为的形式，并求出的最小值； （3）【拓展升华】若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）9，3 （2）①当时，代数式的最小值为6；②，12 （3），理由见解析 【分析】（1）根据完全平方公式即可得到答案； （2）先将变形为的形式即可求解； （3）根据，进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为6； ②∵， ∵， ∴， ∴， ∴当时，代数式的最小值为12； （3）解：， ， ； ，即． 104．据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． （1）若，则______；填“”“”“” （2）若，，试比较，的大小； （3）请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）将与作差并计算，然后结合已知条件进行判断即可； （2）将与作差并计算，然后将结果与比较大小即可； （3）设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且，则，，将它们作差并计算，然后将结果与比较大小即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ； （3）解：设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且， 则，， ， ． 题型32用一元一次不等式解决问题 105．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产.无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、高效，能更加均匀、节约农药使用等优势，因此受到了广大农户的欢迎.某公司目前有两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架款植保无人机和2架款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架款植保无人机和3架款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒． （1）问，两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ （2）该公司计划再购进，两款无人机共15架，要求这批无人机每小时喷洒的总面积不低于1400亩，请问至少要购进款无人机多少架？ 【答案】（1） 款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒 （2） 至少要购进款无人机10架 【分析】（1）设款植保无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，款植保无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设购进款无人机架，则购进款无人机架，根据题意列出不等式求得不等式的最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设款植保无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，款植保无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒， 根据题意，得，解得． 答：款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． （2）解：设购进款无人机架，则购进款无人机架， 根据题意，得，解得． ∴最小整数解为10． 答：至少要购进款无人机10架． 106．刚刚过去的端午假期期间，河南博物院除“泱泱华夏择中建郡”等常设展览之外，还全新推出了“雨林秘境——墨西哥玛雅文明大展”“金色童真——汉晋窖藏小型鎏金文物特展”等多个大型主题展览，共接待观众4万余人次，明明参观完博物院准备购买妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图两款文创产品．已知购买2个妇好鸮尊冰箱贴比购买1个莲鹤方壶立体拼图多花费100元，购买3个妇好鸮尊冰箱贴和2个莲鹤方壶立体拼图共花费395元． （1）求妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图的单价分别为多少元； （2）明明准备用不超过550元购买妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图共7个送给朋友，则他最多可以购买妇好鸮尊冰箱贴多少个？ 【答案】（1）冰箱贴的单价为85元，拼图的单价为70元； （2）4个 【分析】（1）设冰箱贴的单价为元，拼图的单价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买个冰箱贴，则购买个拼图，根据题意列不等式求解出的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设冰箱贴的单价为元，拼图的单价为元，由题意得： ， 解得， 答：冰箱贴的单价为85元，拼图的单价为70元； （2）解：设购买个冰箱贴，则购买个拼图， ， 解得， 答：他最多可以购买4个冰箱贴． 题型33用不等式组解决问题 107． “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． （1）求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ （2）若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【答案】（1）每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元 （2）有2种购买方案，详见解析 【分析】（1）设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》，根据题意列出不等式组求出的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元； （2）解：设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26， ∴该学校共有2种购买方案， 方案1：购买25本《西游记》，45本《骆驼祥子》； 方案2：购买26本《西游记》，46本《骆驼祥子》． 108．某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． （1）求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ （2）经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元 （2）共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球13个；②购进A品牌足球8个，B品牌足球12个；③购进A品牌足球9个，B品牌足球11个. 购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元 【分析】（1）设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元，根据题意，得：，解答即可； （2）设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得 ，解答即可． 【详解】（1）解：设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元， 根据题意，得：， 解得：． 答：一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元； （2）解：设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得， 解得， 由m是正整数， 故的值为， 故共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球个； ②购进A品牌足球8个，B品牌足球个； ③购进A品牌足球9个，B品牌足球个； 设总利润为w元，根据题意，得， 又w随m的增大而增大， 故时，w取得最大值，此时（元）， 故购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元． 题型34用二元一次方程解决问题 109．2026年1月，重庆二十九中举行了“岳忆奖助学奖教基金颁奖盛典”，为品学兼优的学子颁发“岳忆奖”和“励志奖”两类奖学金．已知：获得“岳忆奖”的人数比获得“励志奖”的3倍少10人；两类获奖总人数为70人． （1）请求出获得“岳忆奖”和“励志奖”各有多少人； （2）学校计划购买笔记本和钢笔作为奖品．“岳忆奖”每人奖励一个笔记本和一支钢笔，“励志奖”每人只奖励一支钢笔．学校计划购买笔记本和钢笔的总费用恰好为900元．笔记本单价为元，钢笔单价为元（，均为正整数），求和的值． 【答案】（1）获得“励志奖”的人数为人，获得“岳忆奖”的人数为人； （2）或 【分析】（1）设获得“励志奖”的人数为人，则获得“岳忆奖”的人数为人，根据总人数列方程并解方程即可； （2）根据学校计划购买笔记本和钢笔的总费用恰好为900元列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设获得“励志奖”的人数为人，则获得“岳忆奖”的人数为人， 则， 解得， ∴ 答：获得“励志奖”的人数为人，获得“岳忆奖”的人数为人； （2）解：根据题意可得， ， 整理得到，， ∵，均为正整数， ∴当时，； 当时，； 即或． 110．某白羽肉鸡生产企业，它的产品供应给许多餐饮品牌制作套餐．某餐厅向该企业订购两种类型的鸡肉产品（以箱为单位）： A产品：鸡翅，每箱装有20袋； B产品：鸡腿，每箱装有30袋． 餐厅后厨将1袋鸡翅和1袋鸡腿组合成一份“黄金鸡肉套餐”．为了不浪费食材，餐厅希望每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套． （1）每天A产品至少需订购_______箱，B产品至少需订购_______箱．（答案取整数） （2）已知餐厅今天已订购了48箱产品（即A箱数和B箱数之和为48），如果再增订A产品（鸡翅）2箱，那么两种产品刚好就能全部配套成“黄金鸡肉套餐”．问餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）各是多少箱？ 【答案】（1）3，2 （2）餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）28箱，B产品（鸡腿）20箱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的应用： （1）设每天A产品需订购a箱，B产品需订购b箱，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）箱，则B产品（鸡腿）箱，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每天A产品需订购a箱，B产品需订购b箱， ∵每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套， ∴， ∴， ∵a，b取正整数， ∴a最小为3，b最小为2， 答：每天A产品至少需订购3箱，B产品至少需订购2箱； 故答案为：3；2 （2）解：设餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）箱，则B产品（鸡腿）箱 ， 依题意，得 ， 解得， ． 答：餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）28箱，B产品（鸡腿）20箱． 题型35用二元一次方程组解决问题 111．某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 （1）求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ （2）若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 【答案】（1）完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； （2）只有1种符合条件的安排方案 【分析】（1）设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设完成电机参数调试次，动态算法迭代次，根据题意求得，结合，为正整数即可求解． 【详解】（1）解：设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时， 根据题意得， 解得， 答：完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； （2）解：设完成电机参数调试次，动态算法迭代次（，为正整数）， 根据题意得，即， 当，，符合题意； 当，，不符合题意； 答：只有1种符合条件的安排方案． 112．北京时间2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲，乙两种航天飞船模型进行销售，根据了解，购进2件甲种航天飞船模型和3件乙种航天模型共花费340元；购进4件甲种航天飞船模型和2件乙种航天模型共花费360元． （1）求甲，乙两种航天飞船模型每件的进价分别多少元？ （2）超市计划用1800元购买甲，乙两种航天飞船模型，每种模型至少购买一台，共有几种购买方案？ 【答案】（1）甲种航天模型进价50元，乙种航天模型80元 （2）共4种购买方案，分别是购买甲模型28台，乙模型5台；甲模型20台，乙模型10台；甲模型12台，乙模型15台；甲模型4台，乙模型20台 【分析】（1）设甲种航天模型进价元，乙种航天模型元，根据题意建立二元一次方程组求解； （2）设甲种航天模型购买台，乙种航天模型购买台，由题意得，再求其符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种航天模型进价元，乙种航天模型元， 由题意得， 解得． 答：甲种航天模型进价50元，乙种航天模型80元； （2）解：设甲种航天模型购买台，乙种航天模型购买台， 由题意得 ， 化简得 ， 即 ， 、均为正整数， 时，； 时，； 时，； 时，； 答：共4种购买方案，分别是购买甲模型28台，乙模型5台；甲模型20台，乙模型10台；甲模型12台，乙模型15台；甲模型4台，乙模型20台． 题型36三元一次方程组的实际应用 113．某初级中学共有学生673人，已知八年级学生人数比其他两个年级人数的平均数多25人，九年级学生人数比七年级学生人数少8人．问：3个年级各有多少人？ 【答案】七年级有220人，八年级有241人，九年级有212人 【分析】本题设三个年级的人数为未知数，根据总人数、各年级人数的数量关系列方程组，用消元法求解方程组即可得到结果． 【详解】解：设七年级人数为人，八年级人数为人，九年级人数为人， 根据题意可得方程组， 将方程②两边同乘2，整理得，， 将代入方程①，得， ， 解得，， 把代入方程①得，， 把代入，得 ， 解得， 则， 答：七年级有220人，八年级有241人，九年级有212人． 114．[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： （1）已知实数x、y满足，，求和的值． （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【答案】（1），19； （2）购买5 支铅笔、5块橡皮．5本日记本共需30元． 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关键． （1）根据整体代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据题意列出方程组，根据整体的思想由可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数x、y满足，， ∴得， 得． （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， ∴， 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 题型37平移的作图或实际应用 115．如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． （1）平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） （2）若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 【答案】（1）见解析 （2）相等； 两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查了平移变换，平行线的性质等知识点，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平行线的性质得出与的大小关系； 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴与的大小关系是相等，依据是两直线平行，内错角相等． 116．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． （1）作出平移后的； （2）连接、，线段、的数量关系是　 ； （3）画格点，使得直线． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） 相等 （3）如图，点即为所求． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）结合平移的性质可得答案． （3）结合平行线的判定利用网格作图即可． 【详解】（1）略 （2）由平移得，线段、的数量关系是相等． （3）略 题型38轴对称的作图或实际应用 117．如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图： （1）在图中画出关于直线l的轴对称图形； （2）平移，并将三角形的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应； （3）在直线l上找一点M使的值最小． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求； 118．如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点B落在点处，点F为上一动点，连接，将沿折叠，使得点C落在点处． （1）若，求的度数． （2）当E，，三点共线时，_____°． （3）当E，，三点不共线，且，求的度数． 【答案】（1） （2）90 （3）的度数为或． 【分析】（1）由折叠的性质得，据此求解即可； （2）由折叠的性质结合平角的性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠的性质得； （2）解：∵E，，三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当折叠部分不重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 当折叠部分重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 题型39旋转的作图或实际应用 119．如图，将绕点逆时针方向旋转得到； （1）若，求旋转角的度数； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由旋转的性质得到，，再由平行线的性质作答即可； （2）由旋转的性质得到，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：绕点逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ； （2）解：绕点逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ∴． 120．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． （1）如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； （2）如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； 【详解】（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴， 即至少旋转75度，才能使落在上； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题百练通关（120题39大常考题型） 选填题 题型1同底数幂的乘法 题型12二元一次方程的概念 题型2幂的乘方与积的乘方 题型13解二元一次方程组 题型3同底数幂的除法 题型14三元一次方程组的认识 题型4单项式乘单项式 题型15用二元一次方程组解决问题 题型5单项式乘多项式 题型16不等式的认识 题型6多项式乘多项式 题型17一元一次不等式的概念 题型7乘法公式 题型18解一元一次不等式 题型8平移的认识 题型19一元一次不等式组 题型9轴对称的认识 题型20用一元一次不等式解决问题 题型10旋转的认识 题型21命题证明及定理 题型11二元一次方程的认识 解答压轴题（计算+解答） 题型22幂的运算类问题 题型31乘法公式的实际应用 题型23一元一次不等式的解集问题 题型32用一元一次不等式解决问题 题型24解不等式组 题型33用不等式组解决问题 题型25解二元一次方程组 题型34用二元一次方程解决问题 题型26解三元一次方程组 题型35用二元一次方程组解决问题 题型27根据同底数幂的乘法解决问题 题型36三元一次方程组的实际应用 题型28根据幂的乘方与积的乘方解决问题 题型37平移的作图或实际应用 题型29根据同底数幂的除法解决问题 题型38轴对称的作图或实际应用 题型30多项式多项式的乘法的实际应用 题型39旋转的作图或实际应用 题型1同底数幂的乘法 1．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 3．光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为_____米． 4．已知，，则＝_____ ． 题型2幂的乘方与积的乘方 5．已知，，则代数式的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 6．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若，则的值是________ 8．计算： ____． 题型3同底数幂的除法 9．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．已知，，则的值为______． 12．若，则的值为_______． 题型4单项式乘单项式 13．下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 14．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 15．若三角形表示，方框表示，则×的值为____________ ． 16．，求的值_______． 题型5单项式乘多项式 17．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 18．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 19．已知，则的值为_________． 20．计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 题型6多项式乘多项式 21．若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 22．若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 23．若，则______． 24．观察下列式子： ；；．利用上面式子存在的规律，计算：_____． 题型7乘法公式 25．下列算式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 26．已知，则m＋n的值为（     ） A． B．21 C．3 D． 27．已知的值为_____． 28．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 题型8平移的认识 29．如图，将直角三角形沿着点B到点C的方向平移得到三角形，且交于点H，，，那么图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 30．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 31．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为________． 32．沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 题型9轴对称的认识 33．下列图形是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 34．已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 35．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为_______． 36．如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数为_____． 题型10旋转的认识 37．对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 38．如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 39．明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献，如图所示的五角星图案绕点O至少旋转_________度才能与自身重合． 40．如图所示的中，，，，点C、A在直线l上，将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点，．．．按此规律旋转至点，则______． 题型11二元一次方程的认识 41．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（     ） A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 42．某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元，社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（    ）． A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 43．已知 是关于x、y的二元一次方程，则_____． 44．某人的旅游团去花海观花，导游用元购买了张成人票和张儿童票，请你给小朋友小海计算一下，小海和他父母及爷爷一家四口需交______元的门票费． 题型12二元一次方程的概念 45．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 47．写出一个解为的二元一次方程组为________． 48．表中的信息满足关于的二元一次方程，则的值是_____． 1 2 2 题型13解二元一次方程组 49．已知是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 50．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 51．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 52．若关于，的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，则的值为________． 题型14三元一次方程组的认识 53．、、各代表一个数，已知，，，则、、分别等于（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 54．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 55．方程组的解是____________． 56．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 题型15用二元一次方程组解决问题 57．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当”．其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等．问甲、乙各有多少只羊？若设甲有x只羊，乙有y只羊，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 58．某果园为推广葡萄新品种，计划将100千克的葡萄分装成3千克和5千克“葡萄礼盒”赠给水果采购商（每种礼盒不少于6盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 59．某公司用元购进甲、乙两种货物，货物卖出后，甲种货物的利润是，乙种货物的利润是，共获得利润元．设购进甲、乙两种货物分别花费了元，元，根据题意列方程组为_______． 60．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 题型16不等式的认识 61．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 62．已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 63．设，，则______（选填“”或“”或“”）． 64．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 题型17一元一次不等式的概念 65．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 66．若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 67．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 68．当_________时，不等式是一元一次不等式． 题型18解一元一次不等式 69．若不等式的解集是：，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 70．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 71．如图，要使输出的y值大于75，则输入的最小正整数x是 _____． 72．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 题型19一元一次不等式组 73．在关于，的方程组中，未知数满足，，那么的取值范围在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 74．现用载重分别为5吨和8吨的货车运货，总货物共47吨，两种货车均不少于1辆，要一次性运完，则安排方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 75．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 76．已知关于的不等式组：恰有3个整数解，求实数的取值范围__________． 题型20用一元一次不等式解决问题 77．按如图所示的程序运算，若开始输入的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的的值为（    ） A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数 78．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 79．某服装店购进了一批服装，这批服装每件的进价为200元，每件的售价为300元，现在该服装店准备将这批服装降价处理，打折出售，若使得每件衣服的利润不低于10元，则根据题意可列不等式为________． 80．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 题型21命题证明及定理 81．下列命题中，真命题的是（     ） ①钝角大于直角；②对顶角相等；③同位角相等，两直线平行； ④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 82．长沙市某中学啦啦操队，其参赛道具于花分别装在、、三个纸箱里，不知其数，现对三个纸箱的手花进行3次调整：第一次，箱不动，在、两箱中的一箱中取出5束手花放在另一箱；第二次，箱不动，在、两箱中的一箱取出7束放在另一箱；第三次，箱不动，在、两箱中的一箱取出9束放在另一箱．经过三次调整后，、、三个纸箱各有手花10束、10束、10束，则原来箱最多有（    ）束手花． A．5 B．8 C．12 D．14 83．判断命题“如果某不等式的解集有两个正整数解，那么”是假命题的一个反例中a可以是_________． 84．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 题型22幂的运算类问题 85．计算，结果用幂的形式表示：． 86．计算： 题型23一元一次不等式的解集问题 87．解下列不等式，并在数轴上表示出它的解集． （1） （2） 88．已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值． 题型24解不等式组 89．解不等式组，并将解集画在数轴上 （1） （2） 90．根据题意求取值范围： （1）如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； （2）若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 题型25解二元一次方程组 91．解下列方程组： （1）； （2）． 92．小轩在解方程组时，本应解出，由于看错了系数c，从而得到解，求a，b，c的值． 题型26解三元一次方程组 93．解下列方程组： （1） （2） 94．已知，当时，；当时，；当时，．求、、的值． 题型27根据同底数幂的乘法解决问题 95．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）___________； （2）求___________； （3）求的和．（请写出计算过程） 96．阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 根据以上材料，解决下列问题： （1）计算以下各对数的值：_________，_________，_________； （2）根据（1）中的计算结果，写出，，满足的关系式； （3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：_________（且，，）； （4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性． 题型28根据幂的乘方与积的乘方解决问题 97．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）比较的大小； （2）比较与的大小； （3）已知．求之间的等量关系． 98．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）的结果是________． （2）若，求的值． （3）比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 题型29根据同底数幂的除法解决问题 99．探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定．例如：． （1）求的值； （2）求的值； （3）当x为何值时，的值与的值相等． 100．如果，那么规定．例如：如果，那么． （1）根据规定填空：___________，___________； （2）记，，，若，求的值； （3）若，，比较，的大小关系． 题型30多项式多项式的乘法的实际应用 101．阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，当时，有最小值是． 【类比应用】 （1）①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______； ②直接写出代数式的最小值为_______； （2）已知，求的值． 102．阅读：已知，求的值． 思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值． 解： ． 请你利用整体的思想解决下列问题． （1）已知，求的值； （2）已知，求代数式的值． 题型31乘法公式的实际应用 103．阅读下列材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：，， 当，的最小值是2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】填空：_____=（ ）2； （2）【类比应用】①请直接写出为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ ②将变形为的形式，并求出的最小值； （3）【拓展升华】若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 104．据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． （1）若，则______；填“”“”“” （2）若，，试比较，的大小； （3）请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 题型32用一元一次不等式解决问题 105．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产.无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、高效，能更加均匀、节约农药使用等优势，因此受到了广大农户的欢迎.某公司目前有两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架款植保无人机和2架款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架款植保无人机和3架款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒． （1）问，两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ （2）该公司计划再购进，两款无人机共15架，要求这批无人机每小时喷洒的总面积不低于1400亩，请问至少要购进款无人机多少架？ 106．刚刚过去的端午假期期间，河南博物院除“泱泱华夏择中建郡”等常设展览之外，还全新推出了“雨林秘境——墨西哥玛雅文明大展”“金色童真——汉晋窖藏小型鎏金文物特展”等多个大型主题展览，共接待观众4万余人次，明明参观完博物院准备购买妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图两款文创产品．已知购买2个妇好鸮尊冰箱贴比购买1个莲鹤方壶立体拼图多花费100元，购买3个妇好鸮尊冰箱贴和2个莲鹤方壶立体拼图共花费395元． （1）求妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图的单价分别为多少元； （2）明明准备用不超过550元购买妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图共7个送给朋友，则他最多可以购买妇好鸮尊冰箱贴多少个？ 题型33用不等式组解决问题 107． “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． （1）求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ （2）若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 108．某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． （1）求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ （2）经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 题型34用二元一次方程解决问题 109．2026年1月，重庆二十九中举行了“岳忆奖助学奖教基金颁奖盛典”，为品学兼优的学子颁发“岳忆奖”和“励志奖”两类奖学金．已知：获得“岳忆奖”的人数比获得“励志奖”的3倍少10人；两类获奖总人数为70人． （1）请求出获得“岳忆奖”和“励志奖”各有多少人； （2）学校计划购买笔记本和钢笔作为奖品．“岳忆奖”每人奖励一个笔记本和一支钢笔，“励志奖”每人只奖励一支钢笔．学校计划购买笔记本和钢笔的总费用恰好为900元．笔记本单价为元，钢笔单价为元（，均为正整数），求和的值． 110．某白羽肉鸡生产企业，它的产品供应给许多餐饮品牌制作套餐．某餐厅向该企业订购两种类型的鸡肉产品（以箱为单位）： A产品：鸡翅，每箱装有20袋； B产品：鸡腿，每箱装有30袋． 餐厅后厨将1袋鸡翅和1袋鸡腿组合成一份“黄金鸡肉套餐”．为了不浪费食材，餐厅希望每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套． （1）每天A产品至少需订购_______箱，B产品至少需订购_______箱．（答案取整数） （2）已知餐厅今天已订购了48箱产品（即A箱数和B箱数之和为48），如果再增订A产品（鸡翅）2箱，那么两种产品刚好就能全部配套成“黄金鸡肉套餐”．问餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）各是多少箱？ 题型35用二元一次方程组解决问题 111．某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 （1）求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ （2）若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 112．北京时间2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲，乙两种航天飞船模型进行销售，根据了解，购进2件甲种航天飞船模型和3件乙种航天模型共花费340元；购进4件甲种航天飞船模型和2件乙种航天模型共花费360元． （1）求甲，乙两种航天飞船模型每件的进价分别多少元？ （2）超市计划用1800元购买甲，乙两种航天飞船模型，每种模型至少购买一台，共有几种购买方案？ 题型36三元一次方程组的实际应用 113．某初级中学共有学生673人，已知八年级学生人数比其他两个年级人数的平均数多25人，九年级学生人数比七年级学生人数少8人．问：3个年级各有多少人？ 114．[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： （1）已知实数x、y满足，，求和的值． （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 题型37平移的作图或实际应用 115．如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． （1）平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） （2）若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 116．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． （1）作出平移后的； （2）连接、，线段、的数量关系是　 ； （3）画格点，使得直线． 题型38轴对称的作图或实际应用 117．如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图： （1）在图中画出关于直线l的轴对称图形； （2）平移，并将三角形的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应； （3）在直线l上找一点M使的值最小． 118．如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点B落在点处，点F为上一动点，连接，将沿折叠，使得点C落在点处． （1）若，求的度数． （2）当E，，三点共线时，_____°． （3）当E，，三点不共线，且，求的度数． 题型39旋转的作图或实际应用 119．如图，将绕点逆时针方向旋转得到； （1）若，求旋转角的度数； （2）若，且，求的度数． 120．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． （1）如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； （2）如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $