期末复习：利用基底法、坐标方程法解决平面向量基本定理问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以基底法和坐标方程法为双主线，通过精选例题与变式构建平面向量基本定理问题的系统性解题体系，培养几何直观与代数运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基底法|6题（3例+3变式）|聚焦向量线性表示，强化几何关系转化与推理|基于平面向量基本定理，覆盖向量表示、数量积、三点共线等核心题型| |坐标方程法|6题（3例+3变式）|强调坐标系建立，实现几何问题代数化运算|衔接平面直角坐标系，涉及坐标表示、最值求解、轨迹方程等应用|

期末复习：利用基底法、坐标方程法解决平面向量基本定理问题专项训练 期末复习：利用基底法、坐标方程法解决平面向量基本定理问题专项训练 考点目录 利用基底法解决平面向量基本定理问题 利用坐标方程法解决平面向量基本定理问题 考点一 利用基底法解决平面向量基本定理问题 例1．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且． (1)以，为基底表示向量，，； (2)若，，与的夹角为，求和． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到； （2）先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积. 【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，， ∴， ， ， （2）∵，，与的夹角为，∴， ∴ ． 例2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据向量的减法、向量相等及平面向量的基本定理求解即可. （2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值. ②由三点共线及平面向量基本定理得，再用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又，且与不共线，由平面向量基本定理得，. （2）①因为，，三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 因为与不共线，所以，解得，. ②由①可知，，且，， 所以， 因为，，三点共线，所以，且，， 所以 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 例3．（25-26高一下·广西梧州·期中）已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．    (1)，表示向量，； (2)判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 【答案】(1)， (2)，，三点共线．证明见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）首先表示出，即可得到，从而得证； 【详解】（1）， 因为． 所以. （2），，三点共线．证明如下; 由于， 所以， 所以， 因为为公共点， 所以，，三点共线． 变式1．（25-26高一下·山西太原·期中）如图，在菱形中，若. (1)若，求的值； (2)求以及的值； (3)若与交于点，用向量基底法求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，以及图形的几何性质，根据向量的线性运算法则，求出参数值即可； （2）根据余弦定理解三角形，求出，再根据向量数量积的运算律，求出向量数量积即可； （3）根据平面向量基本定理，表示出向量，再根据向量共线的判定定理，列出方程，求出参数值即可. 【详解】（1）可知，所以， 可知，所以. （2）可知， 所以， 可知，所以， ， （3） 如图所示，设，则， 可知， 所以， 因为，且三点共线，所以， 所以，解得. 变式2．（25-26高一下·广东河源·阶段检测）在中，点D在BC边上，满足，E是线段AD上的点，满足． (1)用和表示向量； (2)用和表示向量； (3)延长BE交AC于点F，设，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. （3）由（2）的结论，利用平面向量基本定理求解. 【详解】（1）在中，由，得， 所以. （2）由，得， 所以. （3）由延长BE交AC于点F，令， ，而，不共线， 则且，解得， 所以实数的值为. 变式3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P． (1)求中线BN的长； (2)若，，、，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示中线对应的向量，结合向量模长公式、数量积运算规则求解 的长度； （2）通过两种不同的线性运算方式表示，利用平面向量基本定理的系数唯一性列方程. 【详解】（1）由题意得，， ∵ 是边上的中线， ∴ 为的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 代入已知数值得 ， ∴ ，即中线 的长为. （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ①， ∵ ， ∴ ②， ∵ 不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等， ∴ ， 解得 ， ∴ . 考点二 利用坐标方程法解决平面向量基本定理问题 例1．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在直角梯形中，，，，为上一点，且． (1)若，求的值； (2)若是上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可表示出各点坐标，再表示出各向量计算即可得； （2）设，表示出两向量后利用数量积公式计算即可得. 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系如图所示： 则，，，，，，， ，则， 又因为， 所以，解得，，则； （2）设，则，， 所以， 函数的对称轴为， 所以时，的最小值为. 例2．（25-26高一下·山东聊城·期中）如图，已知正八边形中. (1)建立适当的坐标系，求的坐标； (2)请用表示. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量的坐标表示及对称性得出向量坐标； （2）结合向量的坐标运算应用向量的基本定理得出向量. 【详解】（1）如图，连接，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，正多边形的中心即为坐标原点， ， 所以，根据对称性可得， ，又， 所以. （2）由（1）得， 设可得， 即解得， 所以. 例3．（25-26高一下·北京丰台·期中）已知平面向量，. (1)若，求实数的值； (2)设，若三点共线，求m的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示和几何意义建立关于的方程，解之即可； （2）法一：易知，根据平面平行向量的坐标表示建立关于的方程，解之即可； 法二：易知存在实数使得，利用向量的坐标运算和相等向量的概念建立关于的方程组，解之即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以， 整理得，解得或. （2）法一：因为A，B，C三点共线， 所以， 因为，， 所以，所以. 法二：因为A，B，C三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 所以即. 变式1．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段检测）在平面直角坐标系xoy中，已知点. (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)在中，设AD是边BC上的高线，求点D的坐标. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）对角线长为，利用模长公式直接计算即可. （2）设点的坐标为，利用高线建立方程求坐标. 【详解】（1）由题意，可得，，则 ， 所以， 即两条对角线的长为和 . （2）设点的坐标为，由点在上，设， 则，∴，即， ∴，∵， ∴，即，解得， 即点D的坐标为. 变式2．（25-26高一下·广东深圳·月考）如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点． (1)记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点） (2)若的面积为，求的面积的最小值． (3)试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的重心保持不变，理由见解析. 【分析】（1）直接利用向量的线性运算求出结果； （2），进而表示出，由二次函数的性质即可求出最小值； （3）在同一时刻，分所成的比相同，进而设出坐标验证重心的坐标即可证明出结果. 【详解】（1）由于点为的重心，所以， 故. （2），， ，， 同理， ， 当时，的面积的最小值． （3）的重心保持不变，证明如下： 设，的重心， 由题意，在同一时刻，分所成的比相同，设为， 则可得， ， ， ， 由三角形重心坐标公式有， 把的坐标代入中， 求得的重心坐标为， 它与无关，即在运动过程中，的重心保持不变. 变式3．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.    (1)若D是BC中点，求； (2)若点P满足， ①求的取值范围； ②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）解法一：通过余弦定理和勾股定理直接计算求解； 解法二：根据向量平方的转化进行计算求解； （2）①由题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，，根据向量坐标公式以及辅助角公式计算即可； ②设，直线与直线相交与点，根据平面向量基本定理相关知识进行转化，得到当越大时，越小，进而得到. 【详解】（1）解法一： 由余弦定理：， 所以，即， 所以，所以 解法二： 由， 平方得， 所以 （2）① 如图建立平面直角坐标系，则， 设，则， 由， 得到，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆，    设，， 则， ， 所以的取值范围为 ②设，直线与直线相交于点，    则①， 设② ， 因为三点共线， 所以，③， 由②、③得④ ， 由①、④得，所以， 当点与点重合时，最大，且， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：利用基底法、坐标方程法解决平面向量基本定理问题专项训练 期末复习：利用基底法、坐标方程法解决平面向量基本定理问题专项训练 考点目录 利用基底法解决平面向量基本定理问题 利用坐标方程法解决平面向量基本定理问题 考点一 利用基底法解决平面向量基本定理问题 例1．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且． (1)以，为基底表示向量，，； (2)若，，与的夹角为，求和． 例2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 例3．（25-26高一下·广西梧州·期中）已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．    (1)，表示向量，； (2)判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 变式1．（25-26高一下·山西太原·期中）如图，在菱形中，若. (1)若，求的值； (2)求以及的值； (3)若与交于点，用向量基底法求的值. 变式2．（25-26高一下·广东河源·阶段检测）在中，点D在BC边上，满足，E是线段AD上的点，满足． (1)用和表示向量； (2)用和表示向量； (3)延长BE交AC于点F，设，求实数的值． 变式3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P． (1)求中线BN的长； (2)若，，、，求的值． 考点二 利用坐标方程法解决平面向量基本定理问题 例1．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在直角梯形中，，，，为上一点，且． (1)若，求的值； (2)若是上一点，求的最小值． 例2．（25-26高一下·山东聊城·期中）如图，已知正八边形中. (1)建立适当的坐标系，求的坐标； (2)请用表示. 例3．（25-26高一下·北京丰台·期中）已知平面向量，. (1)若，求实数的值； (2)设，若三点共线，求m的值. 变式1．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段检测）在平面直角坐标系xoy中，已知点. (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)在中，设AD是边BC上的高线，求点D的坐标. 变式2．（25-26高一下·广东深圳·月考）如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点． (1)记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点） (2)若的面积为，求的面积的最小值． (3)试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由． 变式3．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.    (1)若D是BC中点，求； (2)若点P满足， ①求的取值范围； ②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $