期末培优：向量与几何最值问题、向量新定义问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦向量与几何最值、新定义两大期末难点，通过精选例题与变式构建从几何直观到模型应用的逻辑训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与几何最值问题|4例+4变式|以正方形、三角形等为背景，求向量表达式取值范围/最值，涉及动点轨迹与数量积运算|向量模与数量积概念→几何图形性质转化→函数或不等式求最值，体现数学眼光的几何直观与数学思维的推理能力| |向量新定义问题|3例+3变式|仿射坐标系、向量积等新定义情境，含计算、证明及最值探究，综合性强|新定义抽象→向量坐标与夹角知识迁移→问题建模与求解，培养数学语言的模型意识与应用意识|

期末培优：向量与几何最值问题、向量新定义问题专项训练 期末培优：向量与几何最值问题、向量新定义问题专项训练 考点目录 向量与几何最值问题 向量新定义问题 考点一 向量与几何最值问题 例1．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，设出P、Q点坐标，根据数量积公式，可得m，n的关系，结合基本不等式，整理计算，即可得答案；法二：设，则∠BCP＝，根据三角函数的定义，可得CQ、CP的长，根据数量积公式，结合余弦函数的图象与性质，分析求解，即可得答案. 【详解】法一： 建立以A为坐标原点，为轴，为轴的平面直角坐标系， 则，设， 所以，则， 又， 则有， 令，，则， 左右同时平方得， 则，整理得， 所以，又，所以， 则，即， 解得，或（舍去）， 又，且， 所以，即， 综上所述. 法二：设，则∠BCP＝， ∵正方形ABCD的边长为2，， ∴. ∴， ∵，则， ∴， ∴. 例2．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. ∵ 是圆的直径，且为边长为的等边三角形， ∴ ， 设圆上动点，， ∴ ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即的取值范围为. 例3．（25-26高一下·重庆·期中）若向量满足，，则的最小值为________ 【答案】2 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，得到，化简得到，结合向量不等式，即可求解. 【详解】由，所以，所以， 又由， ， 所以， 所以， 当且仅当与同向时，等号成立. 所以的最小值为. 例4．（25-26高一下·江西南昌·期中）在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒成立，且，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】利用向量的图形运算可得不等式恒成立的几何意义，然后引入变量，把最大值转化为一个函数问题，再借助三角换元求最大值. 【详解】 对任意，都有恒成立，如图可设， 则， 即表示点到直线上任意一点的距离最小值就是, 可得,再设，取中点为， 因为，所以可得，即， 又因为，所以， 由于同时满足，，则的最大值就只有一种情形， 即点在的下方，如图： 此时，, 不妨设， 则 显然当时，， 故的最大值. 变式1．（25-26高一下·广东江门·期中）如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A．24 B． C．30 D．20 【答案】A 【分析】设中点为，连接，，由题意可得，由向量的线性运算可得，，由,求解即可. 【详解】设中点为，连接， 因为， 所以， 所以， 所以的轨迹是以为圆心，1为半径的一段圆弧， 连接， 则, 所以， 所以 因为, 所以. 变式2．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把条件几何化，得出，从而计算出点到直线的距离，然后对所求表达式进行化简，最后利用三点共线的结论可得的几何意义即可求解. 【详解】已知 ，得，又 ，故 ， 设，，为中点，则，得， ，已知，又， 故，得， 到直线的距离： ， ，因为 ， 所以是直线上任意点对应向量，其模长最小值就是点到直线的距离， 因此： ​，即最小值为. 变式3．（25-26高一下·贵州毕节·期中）点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设，首先根据向量数量积的坐标公式求出点的轨迹，然后根据模长公式表示出，最后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设正方形中，，，，，则对角线交点坐标为， 设，其中，则，，点积得： ， 因此的轨迹是正方形内的线段， ，将代入得： ， 这是开口向上的二次函数，定义域，对称轴为， 所以最大值在端点或处取得， 代入得，因此.    变式4．（25-26高一下·福建泉州·期中）已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用线性关系表示出和，代入原式并转化为关于的函数式，求二次函数取值范围即可 【详解】如图所示，由题知是的外心，取中点，连接， 可得，故. 因为， 所以， 由是的中线，可得，且， 故. 已知，可得：， 由，，可得， 将代入目标式： ， 设，则，为开口向上的二次函数，对称轴为，， 当时，取最小值（此时，三角形存在，最小值可取）； 当时，，但，故.因此的取值范围是. 考点二 向量新定义问题 例1．（25-26高一下·广东茂名·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， ∴ ∵，则， ∴ ∴. （2）由，，得：，， ∴ 则， ∵与的夹角为， ∴ 解得. （3）依题意设、，且，， ∵为的中点， ∴ ∵为中点，同理可得： ∴ 由题意可知，，， ∴ 在中依据余弦定理得： 代入上式得： 在中，由正弦定理： 设，则，且， ∴， ，其中为锐角，且， ∵，则， 故当时，取最大值， ∴ 例2．（25-26高一下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ． (1)分别根据下列已知条件求： ①，； ②，； (2)若向量（，，）， 证明： (3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值． 【答案】(1)5；0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）作图并设，由推得，进而，设，代入坐标，联立推得，根据题意将化成，利用基本不等式即可求得其最大值. 【详解】（1）因为，，因为， 故不共线，又， 所以 ； 又，，所以，故共线， 所以 ； （2）当，不共线时，； 当，共线时， ， 因为向量，共线，所以， 所以，共线时，关系依然成立， 因为向量，且向量， 则， 所以， ， 所以； （3）    如图，在平面直角坐标系中作出单位圆，设，， 则， 由可得，则. 设，（，，），即得 ，则得， 由可得，即， 由（2）可得 , 因，由可得， 即，当且仅当时等号成立， 的最大值为. 例3．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．    (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、（，），利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以． （2）由，，得，，且， 所以，，                   则， ， 因为与的夹角为，所以， 解得． （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，． 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则． 变式1．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，设A是由 个实数组成的n行n列的数表，其中 表示位于第i行第j列的实数，且 记向量 若 则称 与 为正交向量. 若对任意不同的， 都有 与 为正交向量，则称A为正交数表. (1)直接判断是否为正交数表(不需要说明理由)； (2)当时， 设 且 与 为正交向量， 与 为正交向量，求证： 与 不是正交向量： (3)求证: 对任意，当时， A不是正交数表. 【答案】(1)是正交数表，不是正交数表. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先明确正交数表判定规则，再分别计算，的行向量数量积. （2）先分析的元素构成，再计算的表达式，最后利用反证法推导. （3）先利用反证法假设，再分析数表变换，然后分析其余行向量的元素构成即可得证. 【详解】（1）对于，， 则，满足正交向量的定义，因此是正交数表. 对于，， 则， 不满足正交向量的定义，因此不是正交数表. 综上，是正交数表，不是正交数表. （2）设，， 由与 为正交向量， 与 为正交向量，可得且 ，其中，， 故不妨设，， 则， 即，因此与 不是正交向量. （3）因为，因此的最小值为6， 所以我们可以从数表A中选出三个不同的行向量，不妨设为， 假设A是正交数表，则有，，， 可得如下变换成立， 变换1：交换正交数表A的任意两行，所得的新数表仍是正交数表； 变换2：交换正交数表A的任意两列，所得的新数表仍是正交数表； 变换3：将正交数表A的任意一列实数都变成其相反数，所得的新数表仍是正交数表； 因此我们将第一行的所有元素都变成1，即假设， 由，在中，1和的数量相等，即有个1和-1， 同样的，在中也有个1和， 由，我们将乘积值的情况分成四类： 第一种：，设数量为a；第二种：，设数量为b； 第三种：，设数量为c；第四种：，设数量为d； 且， 根据中也有个1和，， 同样根据在中也有个1和，， 因此得，从而有 故有，因此，即正交数表的行列数必须是4的倍数， 因此时必成立，命题得证. 变式2．（25-26高一下·江西上饶·期中）定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角. (1)已知，，，求，，； (2)证明：对任意，，有； (3)已知点，点P，Q是单位圆O的圆周上两个相邻的四等分点，求三角形和面积之和的取值范围. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平面向量的向量积定义分别求解即得； （2）由题意得​，，结合新定义即可求解； （3）设，由位置关系得到 ，再由三角形的面积公式结合新定义得到，通过平方即可求解. 【详解】（1）因为，则， ，则， 由逆时针旋转到的最小角， 由逆时针旋转到的最小角， 由逆时针旋转到的最小角， 所以，， ． （2）由，， 可得​，， 由正半轴逆时针旋转到或的最小角，， 由定义，是逆时针转到的最小角，故（或）， 因此， 则 ； （3）设 ，因 是单位圆上相邻四等分点，可得 ， 即 ，则， 因为，所以 ， ， 由（2）的结论： ， 所以和面积之和, 平方得： ， 因为 ，故 ，即 . 即和面积之和取值范围是. 变式3．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. (1)若非零向量满足，且，求的取值范围； (2)若向量，且，求正数的值； (3)已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角和都是有理数，且，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题设定义及条件，得到，又，再结合的性质，即可求解； （2）根据条件，利用向量模长及夹角公式，得到，进而得到，再结合题设条件，即可求解； （3）根据题设可得，利用，得，再结合是正整数，对取值讨论，即可求解. 【详解】（1）因为且，则， 又，所以，得到，   又，且    所以的取值范围是. （2）因为和，则， 则设向量和的夹角为，则，    所以，  则，整理得到， 所以（舍）或，解得或（舍）， 所以. （3）因为， 则，     又，则， 即， 又，则，又是正整数， 当不合题意，     当，由，得到， 所以，满足题意，故， 当时，，得到，解得， 此时，不是有理数，所以不合题意， 当时，，所以时，不合题意，    综上，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：向量与几何最值问题、向量新定义问题专项训练 期末培优：向量与几何最值问题、向量新定义问题专项训练 考点目录 向量与几何最值问题 向量新定义问题 考点一 向量与几何最值问题 例1．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·重庆·期中）若向量满足，，则的最小值为________ 例4．（25-26高一下·江西南昌·期中）在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒成立，且，则的最大值为___________． 变式1．（25-26高一下·广东江门·期中）如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A．24 B． C．30 D．20 变式2．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·贵州毕节·期中）点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 变式4．（25-26高一下·福建泉州·期中）已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________. 考点二 向量新定义问题 例1．（25-26高一下·广东茂名·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 例2．（25-26高一下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ． (1)分别根据下列已知条件求： ①，； ②，； (2)若向量（，，）， 证明： (3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值． 例3．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．    (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 变式1．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，设A是由 个实数组成的n行n列的数表，其中 表示位于第i行第j列的实数，且 记向量 若 则称 与 为正交向量. 若对任意不同的， 都有 与 为正交向量，则称A为正交数表. (1)直接判断是否为正交数表(不需要说明理由)； (2)当时， 设 且 与 为正交向量， 与 为正交向量，求证： 与 不是正交向量： (3)求证: 对任意，当时， A不是正交数表. 变式2．（25-26高一下·江西上饶·期中）定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角. (1)已知，，，求，，； (2)证明：对任意，，有； (3)已知点，点P，Q是单位圆O的圆周上两个相邻的四等分点，求三角形和面积之和的取值范围. 变式3．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. (1)若非零向量满足，且，求的取值范围； (2)若向量，且，求正数的值； (3)已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角和都是有理数，且，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $