河南信阳市罗山县高级中学2025-2026学年高二下学期第3次教学质量评估数学试题

河南省信阳市罗山县高级中学2025—2026学年度高二下期第3次教学质量评估试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A． B． C． D． 2．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A．9 B．12 C．14 D．16 5．已知数列满足．若，则（ ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，则必有（ ） A． B． C． D． 7．如图，圆锥的底面圆周上有，，三点，为底面圆的直径，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（ ） A．随机变量服从二项分布，，则 B．相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量服从正态分布，且，则 10．已知数列，，（），数列满足．若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，下列结论正确的是（ ） A．当时，在处的切线方程为 B．当时，恒成立 C．若恰有一个零点，则 D．若恰有两个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（）的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为______________________． 13．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______________________． 14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列为等差数列，且满足（）． （1）若，求的前项和； （2）若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 16．（15分）某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在，两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在，两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立． （1）在参赛的同学中，随机抽查50名的得分情况，得到如下列联表 得分分 得分分 合计 先在点投篮 20 5 25 先在点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 依据小概率值的独立性检验，判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有关？ （2）小明在点投中的概率为0.7，在点投中的概率为0.3． （ⅰ）求小明第一次投中的概率； （ⅱ）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望． 参考公式：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，且，为线段的中点，为线段上的动点，（）． （1）证明：； （2）求实数的值，使得平面与平面所成锐二面角的平面角的正弦值最小． 18．（17分）已知函数，． （1）求的极值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围． 19．（17分）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是，，过的直线与交于，两点，的周长为． （1）求的标准方程； （2）若（为坐标原点），记线段的中点为． （ⅰ）求的坐标； （ⅱ）过的动直线与交于，两点，，的中点分别是和，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．A 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B 8．B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AD 10．ACD 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．84 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解：（1）∵，∴． （2分） 又∵，所以． （3分） 所以． （4分） （2）， （8分） 所以得故， 所以，， （11分） 得，因此． （13分） 16．（15分）解：（1）：投篮得分与第一次投篮点的选择独立， ， 4分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关，此推断犯错误的概率不超过0.01． 5分 （2）设第一次选择在点投篮记为事件A，在点投篮记为事件B，投中记为事件E，则，，，． （ⅰ）， 所以小明第一次投中的概率为0.5． 9分 （ⅱ）小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，则 ，，，，， 所以的分布列为 0 2 3 4 6 所以． 15分 17．（15分）【答案】（1）证明见解析 （2） 【详解】（1）因为且，为线段的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以； 4分 （2）因为平面，平面，则， 又，，，平面，所以平面， 因为平面，则平面平面，， 平面平面，平面，所以平面， 6分 如图分别以，，所在的直线为，，轴， 不妨设，则，，，，，， ，设，，， 则，解得， 设平面的法向量为，，， 则，， 所以，取，则，，即， 8分 设平面的法向量为，，， 则，取， 10分 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 则， 所以， 12分 令，则， 所以 ， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，即时，，则． 15分 18．（1），，则， 当时，；当时，； 故在上递增，在上递减， 所以的极大值为，无极小值； 5分 （2）由有意义可得， 因为，令得，令得， 故在递减，在上递增， 故对于恒成立， 则； 10分 （3）由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 设函数，则上式为， 因为在上单调递增，所以，即， 令，， 由（1）可知在上递增，在上递减， 的最大值为， 又因为，，，， 所以要想有两个根，只需要， 解得，所以的取值范围为． 17分 19．（17分）解：（1）由椭圆的定义可得的周长为，所以， 得． 2分 记椭圆的半焦距为，则离心率，解得，所以，所以椭圆的标准方程为． 4分 由（1）可得点的坐标为， 由可得． 5分 ①当直线的斜率不存在时，在椭圆的方程中令得 ，不妨令，， 则，不符合题意． 6分 ②当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为，设，， 联立得，消去，并整理得，， 则，， 所以， 所以． 8分 当时，，，所以点的坐标是． 同理可得，当时，点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 10分 根据对称性知，的面积与点所在象限无关，所以不妨令点的坐标为，此时直线的方程可化为，连接，，，则． 设点到直线的距离为， 因为为的中点，为的中点，，所以 ． 12分 ①当直线的斜率不存在时，点的坐标为，此时点到直线的距离． 13分 ②当直线的斜率存在时，如图，设直线的方程为即，，， 联立得，消去，并整理得 ，， 则，， 所以点的坐标为， 所以． 令，， 令，则． 当，即时，直线与直线重合，此时的面积为0； 当，即时，有，从而当， 即时，取得最大值，为，此时． 因为，所以，则面积的最大值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $