复习：重力势能的变化和重力做功的关系、弹性势能的变化和弹力做功的关系 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理讲义通过表格对比构建重力势能与弹性势能变化的知识体系，系统梳理两者的解题原理，包括公式、核心关系及性质，明确标准解题步骤，突出重力做功与势能变化的核心联系及弹力做功的路径无关性。 讲义亮点在于结合“飞椅”“舰载机起飞”等实际情境设计例题，通过模型建构和科学推理培养科学思维，例题基础与变式综合题分层设置，助力学生掌握规范解题方法，为教师实施精准化复习教学提供支持。

期末复习：重力势能的变化和重力做功的关系、弹性势能的变化和弹力做功的关系专项训练 期末复习：重力势能的变化和重力做功的关系、弹性势能的变化和弹力做功的关系专项训练 考点目录 重力势能的变化和重力做功的关系 弹性势能的变化和弹力做功的关系 考点一 重力势能的变化和重力做功的关系 一、解题原理 1. 重力做功公式： 1. 重力势能定义：，高度由人为选定零势能面决定； 1. 核心等量关系：重力做功等于重力势能的减少量 · 为势能变化量； 1. 正负判定逻辑 · 物体下落，重力做正功 ，重力势能减少 ； · 物体上升，重力做负功 ，重力势能增加 ； 1. 关键性质：重力做功只看初末高度差，与运动路径无关；势能变化量与零势能面选取无关。 二、标准解题步骤 1. 确定物体初、末位置高度，计算高度差值； 1. 代入公式算出重力做功； 1. 利用直接写出重力势能变化大小与增减； 1. 若题目给定零势能面，可分别算出初末势能再作差验证； 1. 多物体、分段运动全程累加重力总功，对应总势能变化。 例1．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图所示为一种叫“飞椅”的游乐项目。长为的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径也为的水平转盘边缘。当水平转盘从静止逐渐加快转动，座椅在钢绳带动下逐渐偏离竖直方向，圆盘不再加速后，座椅在水平面内做匀速圆周运动，此时钢绳与竖直方向的夹角为。将座椅视为质点，其质量为，不计钢绳质量，取，，。求： (1)座椅从静止到匀速圆周运动的过程中，座椅重力势能的增加量； (2)座椅从静止到匀速圆周运动的过程中，钢绳对座椅做的功。 【答案】(1)600J (2) 【详解】（1）座椅从静止到匀速圆周运动的过程中，上升的高度为 重力势能的增加量 （2）座椅做匀速圆周运动的半径 对座椅受力分析，重力和钢绳拉力的合力提供向心力，有 解得 根据动能定理，钢绳对座椅做的功与重力做功之和等于动能的变化量，即 代入数据得 例2．（25-26高一下·安徽六安·期中）如图所示，倾角为53°，高h=0.8m的光滑斜面体ABC固定在水平地面上，质量m=1kg的小物块，从斜面体顶端A由静止开始沿斜面下滑到底端B。以水平地面为零势能面，重力加速度g取。求： (1)小物块从A端滑到B端的过程中重力做的功W和重力势能的变化量； (2)小物块从A端滑到B端的过程中重力的平均功率； (3)小物块滑到B端时重力的瞬时功率。 【答案】(1)8J，-8J (2)16W (3)32W 【详解】（1）小物块从A端滑到B端的过程中重力做的功为 代入数据解得 根据重力做功等于重力势能的减少量可知，小物块从A端滑到B端的过程中重力势能的变化量为-8J （2）根据牛顿第二定律和匀变速直线公式有， 代入数据解得 根据 解得小物块从A端滑到B端的过程中重力的平均功率为16W （3）小物块从A端滑到B端的过程中，由动能定理得 解得小物块滑到B端时的速度大小为 可得小物块滑到B端时重力的瞬时功率 例3．（25-26高一下·四川广元·期中）如图所示，一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住A、B两物体，其质量M都为2 kg，使A、B静止于同一高度，离地高度h为1 m，现轻轻地放一质量为1 kg的小物体C到A上且粘连，重力加速度取，设绳足够长，绳与滑轮的质量不计，A、B、C都可视为质点。 (1)当A物体在C的影响下由静止释放到落地时，求A、B、C所组成的系统重力势能减少量； (2)当A物体由静止释放到落地时，求B物体此刻速度的大小； (3)求B物体上升的最大高度。 【答案】(1)10J (2)2m/s (3)1.2m 【详解】（1）A落地时，A、C下降高度h，B上升高度h，系统总重力势能变化为 解得 （2）绳子连接A、B、C，三者速度大小相等，根据机械能守恒，重力势能减少量等于系统动能增加量 解得 （3）A落地后绳子松弛，B以速度做竖直上抛运动，设继续上升的高度为，根据运动学关系 解得 B总上升高度 变式1．（25-26高一下·重庆武隆·阶段检测）如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成角的斜面，B端在O的正上方。一个质量为m的小球在A点正上方某处由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并能沿圆形轨道到达B点，最后落到斜面上C点，且到达B处时小球对圆形轨道顶端的压力大小为5 mg（忽略空气阻力）求： (1)小球到达B点时的速度的大小； (2)小球从B点运动到C点所用的时间t； (3)小球离开B后，经多长时间距离斜面最远，离斜面最远的距离是多大，此过程重力做了多少功，重力势能变化了多少。 【答案】(1) (2) (3)，，3 mgR，减少了3 mgR 【详解】（1）在B点由重力和轨道的支持力提供向心力，由牛顿第二定律可得 解得 （2）小球离开B点后做平抛运动，小球落到C点时，根据平抛运动规律得 解得 （3）小球离开B后，当垂直于斜面方向的速度为零时离斜面最远，分解如图所示 则有 又因为 距离斜面最远的时间 根据 解得离斜面最远的距离 从B点到离斜面最远点，变化的高度 重力做功 得 所以重力势能减少了。 变式2．（24-25高一下·河北保定·期末）舰载机起飞模拟过程可简化为如下过程：如图所示，质量的舰载机，先在长L=72m的水平甲板上做匀加速运动加速到60m/s，且刚好达到发动机的额定功率，再在倾角、长s=50m的倾斜甲板上以额定功率加速，舰载机离开倾斜甲板时速度达到起飞速度75m/s。设整个过程的摩擦阻力（包括空气阻力）恒为不变，忽略舰载机长度，舰载机经过甲板交界处没有能量损失，不考虑起飞时航空母舰的航行速度及风速，取：，重力加速度g取，求： (1)舰载机从启动到飞离甲板重力势能的增加量； (2)舰载机在水平甲板上的牵引力； (3)舰载机从启动到飞离甲板的时间（结果保留两位有效数字）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）舰载机从启动到飞离甲板升高的高度 舰载机从启动到飞离甲板重力势能的增加量 代入数值得 （2）由动能定理有     代入数值得 （3）发动机额定功率 舰载机在水平面甲板上运动时间 设在倾斜甲板上运动时间为，由动能定理有 其中， 代入数值得 舰载机在甲板上运动时间 变式3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）阿基米德螺旋泵是阿基米德发明的一种螺旋水泵，这是历史上最早的水泵，其结构示意图如图所示，水泵出水口与水面高度差，某人匀速转动手柄的角速度，一个周期内有的水从出水口流出。抽水过程认为水是缓慢运动的，取重力加速度大小。 (1)求一个密封舱内的水从底部到顶部增加的重力势能； (2)若该水泵能量转化效率为50％，求转动把手的平均功率。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）一个密封舱内的水从底部到顶部重力做的功为 所以增加的重力势能为 （2）由题意可知转动手柄的周期为 一个周期内有的水被提升，水增加的重力势能为，因为该水泵能量转化效率为50％，设转动把手一个周期内做的功为，根据效率的公式有 代入数据解得 所以转动把手的平均功率为 考点二 弹性势能的变化和弹力做功的关系 一、解题原理 1. 弹簧弹力是变力，弹力做功：，为弹簧形变量； 1. 弹性势能表达式：，原长位置弹性势能默认取 0； 1. 核心等量关系：弹力做功等于弹性势能的减少量 1. 正负判定逻辑 · 弹簧恢复原长（形变减小），弹力做正功，弹性势能减小； · 弹簧被拉伸/压缩（形变增大），弹力做负功，弹性势能增大； 1. 性质：弹力做功仅由初末形变量决定，和中间运动路径无关。 二、标准解题步骤 1. 读出弹簧初态形变量、末态形变量； 1. 计算初、末弹性势能 ，； 1. 求弹力做功 ；势能变化； 1. 结合动能定理、系统机械能守恒联立求解速度、最大形变量等物理量； 1. 双弹簧、连接体分别单独分析每根弹簧弹力做功与势能变化。 例1．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，粗糙水平面长度为，与竖直面内的光滑半圆形导轨在点相接，轨道半径为。一个质量为的小物体将弹簧压缩到点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，恰好能通过点（点向左水平抛出）。已知物体与水平面间的动摩擦因数为，小物体可视为质点，重力加速度为。求： (1)小物体通过点时的速度大小 (2)小物体从点抛出后落到水平面上的点与点之间的距离 (3)从静止释放到小物体完全脱离弹簧的过程中，弹簧弹力对小物体做的功 (4)弹簧初始状态时的弹性势能 【答案】(1) (2)2R (3) (4) 【详解】（1）物体恰好通过C点，由牛顿第二定律得 解得 （2）物体从C点抛出后做平抛运动，竖直方向 水平方向位移 解得x=2R （3）从A到C由动能定理得 解得 （4）由功能关系可知，弹簧初始状态时的弹性势能 例2．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，半径为的光滑半圆形轨道固定在竖直平面内且与水平轨道CD相切于C点，D端有一被锁定的轻质压缩弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧右端Q到C点的距离为。质量为m的滑块（视为质点）从轨道上的P点由静止滑下，刚好能运动到Q点，并能触发弹簧解除锁定，然后滑块被弹回，且刚好能通过圆轨道的最高点A。已知，求： (1)滑块与水平轨道间的动摩擦因数； (2)弹簧弹力做的功。 【答案】(1)0.25 (2) 【详解】（1）在过程中有 代入数据解得 （2）在点，根据牛顿第二定律有 在过程中有 解得弹性势能 弹性势能减少，可知弹簧弹力做正功，且做功大小为 例3．（24-25高一下·青海海南·期末）如图所示，竖直面内的圆弧轨道ABC与水平面在A点平滑连接，AC是竖直半径，B是圆心O的等高点，劲度系数为k的轻质弹簧放置在水平面上，右端固定。控制质量为m的小球（视为质点）向右压缩弹簧，使弹簧的压缩量等于圆弧轨道的半径时，由静止释放小球，当弹簧恢复原长时，小球离开弹簧，然后经过A、B两点恰好能到达C点。已知弹簧的弹性势能Ep与弹簧的形变量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系式为，重力加速度为g，不计一切摩擦阻力。求： (1)圆弧轨道的半径； (2)小球经过B点时的速度以及加速度的大小； (3)若控制小球向右压缩弹簧，直到弹簧的压缩量等于圆弧轨道的直径时，由静止释放小球，则当弹簧的压缩量等于圆弧轨道的半径时，弹簧对小球弹力的功率大小。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）设圆弧轨道的半径为R，小球刚好能到达C点，重力充当向心力 小球从A到C，由能量守恒定律可得 解得 （2）小球从B到C，由机械能守恒定律可得 在B点的向心加速度为 在B点的加速度大小为 综合解得， （3）若弹簧的压缩量由2R变成R，由能量守恒定律可得 弹簧的压缩量为R时，弹簧的弹力为 弹簧对小球弹力的功率为 综合可得 变式1．（24-25高一下·河南·阶段检测）如图所示，水平地面上固定一倾角的光滑斜面，斜面高度为，在斜面底端固定一轻质弹簧，弹簧的原长与斜面的长度相同。现用外力通过一质量为、可视为质点的小球压缩弹簧至弹簧长度为，将小球由静止释放，小球经斜面顶端抛出，落地点距斜面顶端的水平距离为。空气阻力不计，重力加速度g取，，，求： (1)小球自斜面顶端抛出时速度的大小及落地时重力的瞬时功率； (2)初始时被压缩的弹簧所具有的弹性势能。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）小球自斜面顶端抛出后做斜抛运动，设抛出时速度大小为，故沿竖直方向，小球做竖直上抛运动 沿水平方向，小球做匀速直线运动 联立上述方程即可解得，小球自斜面顶端抛出时速度的大小及小球在空中运动时间为， 小球落地时竖直方向的速度大小为 落地时小球所受重力做功的功率则为 （2）小球自静止释放至由斜面抛出，整个过程只有重力和弹簧弹力做功，根据机械能守恒有 其中， 所以初始时刻压缩弹簧所具有的弹性势能为 变式2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面的倾角。B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用。同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为2m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑的最大速度v，试求：    (1)A速度最大时弹簧弹力大小F； (2)弹簧开始时弹性势能Ep； (3)将B转移和A固定在一起，绳子直接连在弹簧上，用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，开始时整个系统处于静止状态；释放A后，当C离开地面前瞬间，求A的速度。 【答案】(1)0 (2) (3) 【详解】（1）由分析可知，A速度最大时，加速度为零，设AB之间的绳的拉力为 ，对A受力分析有 此时B的加速度也为零，C恰好离开地面，BC间弹簧处于拉伸状态，对B受力分析有 联立上式，代入数据得 （2）开始时，对B受力分析有 由胡克定律 由上式可知，弹簧弹力和形变量成正比例，则可知弹性势能和形变量之间关系满足 联立上式 解得 （3）当C离开地面前瞬间，C的速度为零，设从静止到当C离开地面前瞬间AB下滑的距离为，同时弹簧的形变量也为，对ABC和弹簧组成的系统，由机械能守恒可知 对C离开地面前瞬间受力分析 联立上式得 变式3．（25-26高一下·北京东城·月考）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为，k为常量。重力加速度大小为g。 （1）请画出F随x变化的示意图；并根据图像求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功W，并据此求弹性势能的变化量； （2）若物块以一定的初速度从向右运动，经最远到达，然后由返回到，在这个过程中： a.分别求出物块由向右第一次到达过程及全过程弹力所做的功、； b.分别求出物块由向右第一次到达过程及全过程滑动摩擦力所做的功、，并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念； c.求返回到时物块的速度大小v。 【答案】（1），，；（2）a.，，b.，，见解析；c. 【详解】（1）根据，可知图像如图所示 根据图像与横轴围成的面积表示做功大小，可知物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功为 弹性势能的变化量为 （2）a.物块由向右第一次到达过程，弹簧弹力做负功，为 从到达过程，弹簧弹力做负功；再从返回到过程，弹簧弹力做正功；根据对称性可知从到达再从返回到过程，弹簧弹力做功为0，则全过程弹力所做的功为 b.物块由向右第一次到达过程，摩擦力所做的功为 全过程滑动摩擦力所做的功为 可知，两次沿不同路径从相同出发点运动到同一位置，摩擦力做功不同，说明摩擦力做功与路径有关；而弹簧弹力做功与路径无关，只与初末位置有关，因此存在弹性势能的概念，根据势能的定义可知，不存在摩擦力势能的概念。 c.物块从返回到过程，根据动能定理可得 解得返回到时物块的速度大小为 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：重力势能的变化和重力做功的关系、弹性势能的变化和弹力做功的关系专项训练 期末复习：重力势能的变化和重力做功的关系、弹性势能的变化和弹力做功的关系专项训练 考点目录 重力势能的变化和重力做功的关系 弹性势能的变化和弹力做功的关系 考点一 重力势能的变化和重力做功的关系 一、解题原理 1. 重力做功公式： 1. 重力势能定义：，高度由人为选定零势能面决定； 1. 核心等量关系：重力做功等于重力势能的减少量 · 为势能变化量； 1. 正负判定逻辑 · 物体下落，重力做正功 ，重力势能减少 ； · 物体上升，重力做负功 ，重力势能增加 ； 1. 关键性质：重力做功只看初末高度差，与运动路径无关；势能变化量与零势能面选取无关。 二、标准解题步骤 1. 确定物体初、末位置高度，计算高度差值； 1. 代入公式算出重力做功； 1. 利用直接写出重力势能变化大小与增减； 1. 若题目给定零势能面，可分别算出初末势能再作差验证； 1. 多物体、分段运动全程累加重力总功，对应总势能变化。 例1．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图所示为一种叫“飞椅”的游乐项目。长为的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径也为的水平转盘边缘。当水平转盘从静止逐渐加快转动，座椅在钢绳带动下逐渐偏离竖直方向，圆盘不再加速后，座椅在水平面内做匀速圆周运动，此时钢绳与竖直方向的夹角为。将座椅视为质点，其质量为，不计钢绳质量，取，，。求： (1)座椅从静止到匀速圆周运动的过程中，座椅重力势能的增加量； (2)座椅从静止到匀速圆周运动的过程中，钢绳对座椅做的功。 例2．（25-26高一下·安徽六安·期中）如图所示，倾角为53°，高h=0.8m的光滑斜面体ABC固定在水平地面上，质量m=1kg的小物块，从斜面体顶端A由静止开始沿斜面下滑到底端B。以水平地面为零势能面，重力加速度g取。求： (1)小物块从A端滑到B端的过程中重力做的功W和重力势能的变化量； (2)小物块从A端滑到B端的过程中重力的平均功率； (3)小物块滑到B端时重力的瞬时功率。 例3．（25-26高一下·四川广元·期中）如图所示，一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住A、B两物体，其质量M都为2 kg，使A、B静止于同一高度，离地高度h为1 m，现轻轻地放一质量为1 kg的小物体C到A上且粘连，重力加速度取，设绳足够长，绳与滑轮的质量不计，A、B、C都可视为质点。 (1)当A物体在C的影响下由静止释放到落地时，求A、B、C所组成的系统重力势能减少量； (2)当A物体由静止释放到落地时，求B物体此刻速度的大小； (3)求B物体上升的最大高度。 变式1．（25-26高一下·重庆武隆·阶段检测）如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成角的斜面，B端在O的正上方。一个质量为m的小球在A点正上方某处由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并能沿圆形轨道到达B点，最后落到斜面上C点，且到达B处时小球对圆形轨道顶端的压力大小为5 mg（忽略空气阻力）求： (1)小球到达B点时的速度的大小； (2)小球从B点运动到C点所用的时间t； (3)小球离开B后，经多长时间距离斜面最远，离斜面最远的距离是多大，此过程重力做了多少功，重力势能变化了多少。 变式2．（24-25高一下·河北保定·期末）舰载机起飞模拟过程可简化为如下过程：如图所示，质量的舰载机，先在长L=72m的水平甲板上做匀加速运动加速到60m/s，且刚好达到发动机的额定功率，再在倾角、长s=50m的倾斜甲板上以额定功率加速，舰载机离开倾斜甲板时速度达到起飞速度75m/s。设整个过程的摩擦阻力（包括空气阻力）恒为不变，忽略舰载机长度，舰载机经过甲板交界处没有能量损失，不考虑起飞时航空母舰的航行速度及风速，取：，重力加速度g取，求： (1)舰载机从启动到飞离甲板重力势能的增加量； (2)舰载机在水平甲板上的牵引力； (3)舰载机从启动到飞离甲板的时间（结果保留两位有效数字）。 变式3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）阿基米德螺旋泵是阿基米德发明的一种螺旋水泵，这是历史上最早的水泵，其结构示意图如图所示，水泵出水口与水面高度差，某人匀速转动手柄的角速度，一个周期内有的水从出水口流出。抽水过程认为水是缓慢运动的，取重力加速度大小。 (1)求一个密封舱内的水从底部到顶部增加的重力势能； (2)若该水泵能量转化效率为50％，求转动把手的平均功率。 考点二 弹性势能的变化和弹力做功的关系 一、解题原理 1. 弹簧弹力是变力，弹力做功：，为弹簧形变量； 1. 弹性势能表达式：，原长位置弹性势能默认取 0； 1. 核心等量关系：弹力做功等于弹性势能的减少量 1. 正负判定逻辑 · 弹簧恢复原长（形变减小），弹力做正功，弹性势能减小； · 弹簧被拉伸/压缩（形变增大），弹力做负功，弹性势能增大； 1. 性质：弹力做功仅由初末形变量决定，和中间运动路径无关。 二、标准解题步骤 1. 读出弹簧初态形变量、末态形变量； 1. 计算初、末弹性势能 ，； 1. 求弹力做功 ；势能变化； 1. 结合动能定理、系统机械能守恒联立求解速度、最大形变量等物理量； 1. 双弹簧、连接体分别单独分析每根弹簧弹力做功与势能变化。 例1．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，粗糙水平面长度为，与竖直面内的光滑半圆形导轨在点相接，轨道半径为。一个质量为的小物体将弹簧压缩到点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，恰好能通过点（点向左水平抛出）。已知物体与水平面间的动摩擦因数为，小物体可视为质点，重力加速度为。求： (1)小物体通过点时的速度大小 (2)小物体从点抛出后落到水平面上的点与点之间的距离 (3)从静止释放到小物体完全脱离弹簧的过程中，弹簧弹力对小物体做的功 (4)弹簧初始状态时的弹性势能 例2．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，半径为的光滑半圆形轨道固定在竖直平面内且与水平轨道CD相切于C点，D端有一被锁定的轻质压缩弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧右端Q到C点的距离为。质量为m的滑块（视为质点）从轨道上的P点由静止滑下，刚好能运动到Q点，并能触发弹簧解除锁定，然后滑块被弹回，且刚好能通过圆轨道的最高点A。已知，求： (1)滑块与水平轨道间的动摩擦因数； (2)弹簧弹力做的功。 例3．（24-25高一下·青海海南·期末）如图所示，竖直面内的圆弧轨道ABC与水平面在A点平滑连接，AC是竖直半径，B是圆心O的等高点，劲度系数为k的轻质弹簧放置在水平面上，右端固定。控制质量为m的小球（视为质点）向右压缩弹簧，使弹簧的压缩量等于圆弧轨道的半径时，由静止释放小球，当弹簧恢复原长时，小球离开弹簧，然后经过A、B两点恰好能到达C点。已知弹簧的弹性势能Ep与弹簧的形变量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系式为，重力加速度为g，不计一切摩擦阻力。求： (1)圆弧轨道的半径； (2)小球经过B点时的速度以及加速度的大小； (3)若控制小球向右压缩弹簧，直到弹簧的压缩量等于圆弧轨道的直径时，由静止释放小球，则当弹簧的压缩量等于圆弧轨道的半径时，弹簧对小球弹力的功率大小。 变式1．（24-25高一下·河南·阶段检测）如图所示，水平地面上固定一倾角的光滑斜面，斜面高度为，在斜面底端固定一轻质弹簧，弹簧的原长与斜面的长度相同。现用外力通过一质量为、可视为质点的小球压缩弹簧至弹簧长度为，将小球由静止释放，小球经斜面顶端抛出，落地点距斜面顶端的水平距离为。空气阻力不计，重力加速度g取，，，求： (1)小球自斜面顶端抛出时速度的大小及落地时重力的瞬时功率； (2)初始时被压缩的弹簧所具有的弹性势能。 变式2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面的倾角。B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用。同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为2m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑的最大速度v，试求：    (1)A速度最大时弹簧弹力大小F； (2)弹簧开始时弹性势能Ep； (3)将B转移和A固定在一起，绳子直接连在弹簧上，用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，开始时整个系统处于静止状态；释放A后，当C离开地面前瞬间，求A的速度。 变式3．（25-26高一下·北京东城·月考）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为，k为常量。重力加速度大小为g。 （1）请画出F随x变化的示意图；并根据图像求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功W，并据此求弹性势能的变化量； （2）若物块以一定的初速度从向右运动，经最远到达，然后由返回到，在这个过程中： a.分别求出物块由向右第一次到达过程及全过程弹力所做的功、； b.分别求出物块由向右第一次到达过程及全过程滑动摩擦力所做的功、，并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念； c.求返回到时物块的速度大小v。 2 学科网（北京）股份有限公司 $