期末复习：解三角形与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的解三角形问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形与三角函数性质的综合应用及几何图形中的解三角形问题，通过精选典例构建知识逻辑链，培养数学眼光与推理运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形与三角函数性质结合应用问题|3例+3变式|结合三角函数性质求取值范围、证明|解三角形与三角函数性质的推导应用，从边角关系到函数性质的逻辑延伸| |几何图形中的解三角形问题|3例+3变式|含中线/高线/四边形等几何图形的解三角形|从三角形到复杂图形的空间形式拓展，通过几何直观建立数量关系|

期末复习：解三角形与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的解三角形问题专项训练 期末复习：解三角形与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的解三角形问题专项训练 考点目录 解三角形与三角函数性质结合应用问题 几何图形中的解三角形问题 例1.(25-26高一下黑龙江哈尔滨期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 (者点cosB=bc解三角形与三角函数性质结合应用问题 (1)求B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，且a=4,求△ABC面积的取值范围： AD (B)若D为边AC上一点（不包含端点），且满足∠ADB=3∠ACB,求CD的取值范围， 例2.(25-26高一下辽宁沈阳期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=bc. (1)求证：A=2B: (②)若AA4BC是锐角三角形，求。的取值范围 期末复习：解三角形与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的解三角形问题专项训练 例3.(25-26高一下广东惠州月考)△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,满足 3sin C=4sin B+sin Ccos A,A2C. (1)证明：a+c=3b: (2)求cosB的取值范围. 变式1.(25-26高一下·上海普陀月考)在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足 cos(C-B) tan B= sin A+sin(C-B) (I)证明：△ABC为直角三角形： (2)若b=4,C=3,∠BAC的平分线交BC于D,求线段AD的长： 国a=2·台=时设-妮表示成y=刊的形式求=因的录做 期末复习：解三角形与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的解三角形问题专项训练 变式2.(25-26高一下·重庆渝北期中)在锐角三角形△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足： sinA a2+c2-b2 sinB ac ’BC: (1)证明：A=2B; (2)若a=5,b=3,求cosA的值： b+c (3)求a的取值范围（以下公式供选用：sin3a=3sina-4sina）· 变式3.(25-26高一下浙江宁波·阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C，且满足 (a+b)(sinA-sinB)=c(sinA-sinC) (1)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，且b=5,求△ABC周长的取值范围 期末复习：解三角形与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的解三角形问题专项训练 考点二 几何图形中的解三角形问题 例1.(2526高-一下新江金华阶段检测)(4)在A1BC中，边BC上的中线为m,证明：m22心+C)日。 (2)已知PM 面积为65，a0=2W5,amM=5,求2Mf ”的长. 3)在△EFG中，EF=EG,边FG上的高线长为V3,H为EG的中点，求cos∠EFH的最小值， 例2.(25-26高一下·湖南衡阳期中)如图，在△ABC中，AB=2,3CosB-bcosC=ccosB,点D在线段BC上. B D ()若∠ADC=3 ,求4D的长： 4V2 sin∠BAD (2)若BD=2DC,△ABC的面积为3，求sin∠CAD的值. 期末复习：解三角形与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的解三角形问题专项训练 例3。（2526商一下河北沧州期中)如图，在A1BC中，∠ABC= 3,D为边AC上一点，且AB⊥BD: BD=1. B Q)若BC-V5 (i)求sin /BDC: (i)求△ABD的面积： 25AB<3 AD2+CD2 (2)若3 ,求ADCD的取值范围. 变式1.(25-26高一下辽宁朝阳期中)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 c=6,a+acosC=6v3sinA (1)求角C; (2)若角C的平分线交AB于点D,△BCD的面积为△ACD面积的两倍，求CD的长. 期末复习：解三角形与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的解三角形问题专项训练 变式2.(25-26高一下河南新乡·阶段检测)如图，在四边形 BCD中，CM=CD=2AB=4,AB:AC=4 sin∠BCD= 5 13· B (1)求边BC的长度： (2)求四边形ABCD的面积： (3)求sinD的值. 变式3，（2s:26高-下北京月考)如图。在四边形BCD中，∠A8C-证 4，∠BAC=∠DAC,CD=2AB=4· 再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题. B (1)求sin∠BAC的值： (2)求∠ADC的大小. O△4BC面积） SAABC =2 ②in∠AcB=i0 10期末复习：解三角形与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的解三角形问题专项训练 期末复习：解三角形与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的解三角形问题专项训练 考点目录 解三角形与三角函数性质结合应用问题 几何图形中的解三角形问题 考点一 解三角形与三角函数性质结合应用问题 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可； （2）求得，利用正弦定理求得，最后利用面积公式求解即可； （3）设，则，，，在、中，利用正弦定理可得出，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为 所以，所以， 所以 （2）因为， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以，   ，所以. （3）设，则，，， 所以， 在中， 在中，， 作商得， 设，因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 所以. 例2．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若. (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先用余弦定理写出关于边的表达式，再代入已知等式化简，之后结合正弦定理将边的比值转化为正弦的比值，再利用三角恒等变换公式证明角的等量关系； （2）首先根据锐角三角形的条件确定的取值范围，再利用正弦定理将转化为关于角的正弦表达式，再结合和三角形内角和为，将表达式统一为关于的三角函数，最后根据三角函数的单调性求取值范围 【详解】（1）由余弦定理得 因为，所以 由正弦定理得，，，代入上式得 因为，所以，， 代入得， 展开得， 整理得， 即. 因为，所以，故有两种情况： ，即； ，即（舍去）， 因此. （2）由（1）知，则. 因为是锐角三角形，所以三个内角均小于， 所以， 解得. 由正弦定理得， 化简得， 又，所以， 令，因为，故. 设函数，. 因为和都单调递增，所以在区间上单调递增. 时，， 时，， 因此. 例3．（25-26高一下·广东惠州·月考）中，角，，的对边分别为，，，满足，． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)因为， 则由正弦定理，可得， 再由余弦定理可得：， 化简可得，则或， 又，则，所以不成立，则，即； (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理综合求证； （2）将化为以的形式表达的函数，再求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由余弦定理可得：， 又且，解得， 令，则函数在,上单调递增，所以， 所以，故的取值范围为． 变式1．（25-26高一下·上海普陀·月考）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意，利用三角恒等变换可得，进而可得； （2）利用等面积法结合条件计算即可； （3）由（1）知，解直角三角形可得，，利用换元法及辅助角公式可将函数变形，再次换元结合单调性可得结果. 【详解】（1）依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形. （2）由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为. （3）由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，. 变式2．（25-26高一下·重庆渝北·期中）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足：，． (1)证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围（以下公式供选用：）． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理结合倍角公式可得，进而分析证明即可； （2）根据题意可得，，进而可得； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合余弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 则， 且，则，可得或， 若，且，则， 与题意相矛盾，所以. （2）因为，由正弦定理可得，即， 且，则，可得， 且，所以. （3）由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 所以的取值范围为. 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再结合余弦定理边化角运算求解； （2）利用正弦定理将边转化为角，利用三角恒等变换可得，再结合三角函数求最值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即，可得， 且，所以. （2）由正弦定理得，可得，， 则， 又为锐角三角形，则，解得：， 则，可得，所以， 故，即周长的取值范围是. 考点二 几何图形中的解三角形问题 例1．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）（1）在中，边上的中线为，证明：； （2）已知面积为，，，求的长． （3）在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】(1)利用补角余弦值互为相反数求解； (2)作高拆分底边的几何思路，利用正切定义求出未知数表示出高与底边两段的长度，再代入面积公式列方程求解； (3)利用等腰三角形性质与中线公式得到三边边长，再用余弦定理表示目标角余弦值，通过换元法转化为单变量函数，最后利用配凑分式求最值. 【详解】（1）由得，，化简得， ． （2）作于， 设，则，． ， 解得，． （3）设，则，， 由（1）得，， ， 令，， ， 当时，．此时． 例2．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 例3．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，．    (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得：，即， 所以是等腰三角形，即． 所以，即； （ⅱ），即是等腰三角形，所以， 所以； （2）因为，即，即． 设，则，则， 所以， 又因为，因为， 所以，即， 又因为，令，则， 所以，，因为函数在上单调递增， 所以． 变式1．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）设的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知及正弦定理边角互化，再结合辅助角公式即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理，结合已知即可求解． 【详解】（1）因为，且， 所以， 由正弦定理得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以． （2）因为角C的平分线交AB于点D，所以， 所以，所以， 由（1）可知，，结合余弦定理可得， 从而， ，则， 又， 解得． 变式2．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 变式3．（25-26高一下·北京·月考）如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）若选①：根据面积公式求出，根据余弦定理求出，根据面积公式求出；若选②：根据两角差的正弦公式可求出结果； （2）若选①：根据正弦定理解得，可求出结果；若选②：利用正弦定理可得，进而可求的大小. 【详解】（1）选①：由，得， 由余弦定理可得，得， ，所以； 选②：在中，所以， . （2）选①：因为，所以， 在中，由正弦定理可得，解得， 又因为， 所以满足这样的三角形有两解，所以或； 选②：在中，由正弦定理可得，解得， 因为，则， 在中，解得， 又因为， 故满足这样的三角形有两解，故或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $