题海探秘05 条件概率与全概率公式讲义-2025-2026学年高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版选择性必修第三册）

本讲义聚焦条件概率与全概率公式核心知识点，系统梳理条件概率的定义、性质及乘法公式，事件的相互独立性，全概率公式、贝叶斯公式及其综合应用，还涉及与数列的结合，构建从基础概念到综合应用的完整学习支架。 资料通过生活情境例题（如考试成绩、盲盒抽取）培养数学眼光，分层练习题（选择、解答题）提升数学思维，实际问题建模（机器人合格率）强化数学语言。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，有效查漏补缺。

2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘05 条件概率与全概率公式 7考点复习指南 知识点01：条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． ①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率. ②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的. ③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率. ④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率. （2）特别说明： ①计算条件概率时，表示事件和同时发生的概率，不能随便用事件的概率代替； ②在条件概率的表示中，“”之后的部分表示条件； ③和的意义不同，表示在事件发生的条件下事件发生的概率，而是指在事件发生的条件下事件发生的概率； ④与的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件发生的条件”，一般地，. 知识点02：乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 知识点03：条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 ①； ②如果和是两个互斥事件，则； ③设和互为对立事件，则． ④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：. 知识点04：事件的相互独立性 （1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. （2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, . （3）易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥. 考点1 条件概率的求法 1．（2026高二·全国·课堂例题）某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东威海·模拟预测）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.75，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为不优良的概率是（    ） A．0.85 B．0.8 C．0.2 D．0.15 5．（2026高二·河北邢台·期中）假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·重庆·期中）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3 7．（2026·广东湛江·模拟预测）在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026高二·广东东莞·期中）一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，如果不放回地依次取2个小球.在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·广西贵港·模拟预测）从集合中任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个数可构成等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（2026高二·河北衡水·期中）鲁班锁是中国古代传统智力玩具，又称“孔明锁”，蕴含深厚的数学几何与组合逻辑，其拼接部件的搭配蕴含概率思想.现有一副经典鲁班锁，由8个拼接部件组成，分为三种类型：4个长部件､2个中部件､2个短部件，所有部件除尺寸外完全相同.现从这8个部件中随机抽取2个（不放回抽取），已知抽取的2个部件中至少有1个长部件，则这2个部件均为长部件的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·湖南郴州·月考）某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 考点2 乘法公式的应用 12．（2026高二·江苏淮安·月考）已知，，则（     ） A． B． C． D． 13．（2026高二·广西南宁·期中）对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 15．（2026·江西·模拟预测）某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 16．（2026·浙江·模拟预测）已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 考点3 条件概率的性质及应用 17．【多选】（2026高二·全国·课后作业）（多选题）下列说法正确的是（　　） A． B．是可能的 C． D． 18．（2026高二·全国·课后作业）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ） A． B．是可能的 C． D． 20．（2026高二·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 21．【多选】（2026高二·河北沧州·期末）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 22．【多选】（2026高二·河南商丘·期中）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 23．【多选】（2026·江西赣州·模拟预测）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 24．【多选】（2026高二·浙江·期中）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 25．【多选】（2026高二·安徽滁州·期中）在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 考点4 全概率公式及其应用 26．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（    ） A． B． C． D． 27．（2026高二·北京·期中）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成指令的概率为.假设下达的动作指令表述模糊的概率为，则该机器人成功完成指令的概率为______. 28．（2026高二·河北石家庄·期中）中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率． 29．（2026高二·山东济宁·期中）小李打算周末去游玩，去地与地的概率分别为，在地去徒步爬山的概率为，在地去徒步爬山的概率为，则小李去徒步爬山的概率为（   ） A． B． C． D． 30．（2026高二·北京延庆·期中）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班女生占，乙班女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·福建南平·模拟预测）某智能助手回答问题数据统计如下：理学类占总提问的40%，回答正确率为90%；文史类占总提问的60%，回答正确率为80%，用频率估计概率，则该助手回答问题正确的概率为（    ） A．0.72 B．0.8 C．0.84 D．0.9 32．（2026高二·北京朝阳·期中）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为. 从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为____________. 33．（2026高二·河南·期中）某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 34．（2026高二·上海松江·阶段检测）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 35．（2026高二·广东广州·期中）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 36．（2026高二·江苏镇江·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 37．（2026高二·福建莆田·期中）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为、、. (1)若甲、乙、丙都去破译密码，求密码能被成功破译的概率； (2)若只安排一个人去破译密码，甲、乙、丙被选到的概率分别为、、，求密码能被成功破译的概率. 考点5 贝叶斯公式及应用 38．（2026高二·上海静安·期末）某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是______________． 39．（2026高二·山东青岛·竞赛）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 40．【多选】（2026高二·云南昭通·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ） A． B． C． D． 41．（2026高二·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 42．（2026高二·江苏·暑假作业）已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 43．（2026高二·山东济宁·期中）某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 44．（2026高二·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 45．（2026高二·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 46．（2026·云南玉溪·模拟预测）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 47．（2026高二·重庆江津·月考）紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为． (1)求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率； (2)已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率； （注：贝叶斯公式） (3)小明为了更好的通关，现有两种方案： 方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取； 方案二：第二次从另一个机器中抓取． 比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大． 考点6 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 48．【多选】（2026高二·河北·期中）某加工厂的某种生活用品由A和B两台机器生产，A机器生产该种生活用品的速度是B机器的3倍，且A机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为，B机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为假设A，B机器每天同时开启和关闭，且两台机器生产出来的该种生活用品是否合格相互之间不影响．现随机抽出一件该种生活用品，下列结论正确的是（   ） A．这件生活用品合格的概率为 B．这件生活用品不合格的概率为 C．若这件生活用品不合格，则它来自A机器生产的概率为 D．若这件生活用品不合格，则它来自B机器生产的概率为 49．【多选】（2026高二·河北保定·期末）甲和乙两个箱子中各装有 10 个球， 其中甲箱中有 5 个白球、 5 个红球， 乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子， 若点数为 5 或 6 ， 则从甲箱中随机摸出 1 个球不放回; 若点数为 ，则从乙箱中随机摸出 1 个球不放回. 下列结论正确的是（      ） A．掷骰子一次，摸出的是红球的概率为 B．掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为 C．掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为 D．掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为 50．【多选】（2026高二·陕西咸阳·月考）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.0675，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则以下说法正确的是（    ） A．使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题 B．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率相同 C．要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将信用卡支付通道关闭 D．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率 51．【多选】（2026高二·山东德州·月考）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（    ） A．事件与相互独立 B． C． D． 考点7 全概率公式与数列的综合 52．（2026高二·福建三明·阶段检测）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 53．（2026高二·浙江·期中）为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 54．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. (1)求第2次巡逻时，机器人在区的概率； (2)求的表达式（用表示）. 55．（2026高二·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘05 条件概率与全概率公式 7考点复习指南 知识点01：条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． ①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率. ②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的. ③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率. ④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率. （2）特别说明： ①计算条件概率时，表示事件和同时发生的概率，不能随便用事件的概率代替； ②在条件概率的表示中，“”之后的部分表示条件； ③和的意义不同，表示在事件发生的条件下事件发生的概率，而是指在事件发生的条件下事件发生的概率； ④与的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件发生的条件”，一般地，. 知识点02：乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 知识点03：条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 ①； ②如果和是两个互斥事件，则； ③设和互为对立事件，则． ④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：. 知识点04：事件的相互独立性 （1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. （2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, . （3）易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥. 考点1 条件概率的求法 1．（2026高二·全国·课堂例题）某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式直接计算可得. 【详解】设为事件“数学不及格”，为事件“语文不及格”，则 由条件概率公式， 所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为． 故选：A 2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记事件A为“甲打破纪录”，事件B为“乙打破纪录”， 因为，，， 所以在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为==. 3．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，， 故. 4．（2026·山东威海·模拟预测）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.75，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为不优良的概率是（    ） A．0.85 B．0.8 C．0.2 D．0.15 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式及对立事件概率公式求解.. 【详解】设“某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B， 依题意，，则， 即某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率， 所以某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为不优良的概率是. 5．（2026高二·河北邢台·期中）假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可得， ， 则． 6．（2026高二·重庆·期中）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3 【答案】C 【详解】记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以， 所以. 7．（2026·广东湛江·模拟预测）在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】事件：甲、乙选择的专题不同，甲有3种选法. 乙有2种选法，丙有3种选法，所以. 事件：甲、乙不同且乙、丙相同.先选乙的专题，有3种. 丙的选法和乙相同，甲有2种选法，所以， 因此. 8．（2026高二·广东东莞·期中）一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，如果不放回地依次取2个小球.在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“第1次摸到红球”，“第2次摸到红球”，分别得到和，根据条件概率公式求解即可. 【详解】在这2次摸球过程中，设“第1次摸到红球”，“第2次摸到红球”， 则， ， 所以 9．（2026·广西贵港·模拟预测）从集合中任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个数可构成等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出事件，分别计算出两事件的基本事件数，利用条件概率公式进行求解 【详解】设三数之和为3的倍数为事件，三个数可构成等差数列为事件， 中，除以3余数为0的有， 除以3余数为1的有，除以3余数为2的有， 要想三数之和为3的倍数，可以从中任选3个； 或中任选3个；或中任选3个； 或中选1个，中选1个，中选1个； 故， 若三个数构成等差数列，不妨设为，， 则，，所以三个数的和一定为3的倍数， 设公差为，则且为正整数，则， 又，故，所以且为正整数， 当时，为，共16种情况， 当时，为，共14种情况， 当时，为，共12种情况， 当时，为，共10种情况， 当时，为，共8种情况， 当时，为，共6种情况 当时，为，共4种情况， 当时，为，共2种情况， 所以， 故. 10．（2026高二·河北衡水·期中）鲁班锁是中国古代传统智力玩具，又称“孔明锁”，蕴含深厚的数学几何与组合逻辑，其拼接部件的搭配蕴含概率思想.现有一副经典鲁班锁，由8个拼接部件组成，分为三种类型：4个长部件､2个中部件､2个短部件，所有部件除尺寸外完全相同.现从这8个部件中随机抽取2个（不放回抽取），已知抽取的2个部件中至少有1个长部件，则这2个部件均为长部件的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，抽取的2个部件中至少有1个长部件的情况共有（种）， 其中2个部件均为长部件的情况有（种）， 故所求概率. 11．（2026高二·湖南郴州·月考）某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲被安排两天值班有种情况， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得两人恰有一天共同值班， 甲、乙每周恰好有一天共同值班的安排方法有种． （2）记甲、乙每周被安排三天值班为事件，甲、乙两人没有被安排共同值班为事件．被安排三天值班的情况有种， 则甲、乙每周各被安排三天值班，且两名航天员的值班日期安排不完全相同的安排方式共有种， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得甲、乙没有任何一天共同值班， 故甲、乙两人没有被安排共同值班的情况有种， 所以在每人各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率为． 考点2 乘法公式的应用 12．（2026高二·江苏淮安·月考）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率的乘法公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得. 故选：C. 13．（2026高二·广西南宁·期中）对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用概率乘法公式与随机事件的概率加法公式求出，再由对立事件的概率公式计算即得. 【详解】因为， 又由可得，即， 故. 14．（2026高二·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 15．（2026·江西·模拟预测）某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 【答案】0.6/ 【详解】设事件“该同学答对所有选择题”，事件“该同学答对所有填空题”． 由题意知，故． 16．（2026·浙江·模拟预测）已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 【答案】 0.24/ 0.36/ 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以，即此题得满分的概率是0.24； 所以，即此题得0分的概率是0.36. 故答案为：0.24；0.36. 考点3 条件概率的性质及应用 17．【多选】（2026高二·全国·课后作业）（多选题）下列说法正确的是（　　） A． B．是可能的 C． D． 【答案】BCD 【分析】ACD选项，根据条件概率公式及概率的性质判断；B选项，举出例子； 【详解】A选项，及知，A选项错误； B选项，当事件A包含事件B时，有，此时，故B选项正确； C选项，由概率的性质可知，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 18．（2026高二·全国·课后作业）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合条件概率的性质和条件概率的公式即可完成判断. 【详解】由条件概率公式知，但是不一定等于，所以选项A错误； 根据条件概率的性质可知，所以选项B错误； 由条件概率公式可得出，所以选项C正确； 由条件概率公式可得出，所以选项D错误. 故选：C 19．（2026高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式计算判断即可. 【详解】，故A错误； 当时，，可能成立，故B正确； 当且仅当与相互独立时成立，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 20．（2026高二·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 21．【多选】（2026高二·河北沧州·期末）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式求解判断AC；利用概率的基本性质及概率加法公式求解判断BD. 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD. 22．【多选】（2026高二·河南商丘·期中）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，根据并事件的概率计算公式求解；对于B，由即可求解，再由对立事件的概率计算公式即可求；对于C，由A，B可判断C；对于D，由条件概率及其性质可求. 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：BC． 23．【多选】（2026·江西赣州·模拟预测）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 24．【多选】（2026高二·浙江·期中）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 【答案】ABD 【分析】条件概率是指事件发生的条件下事件发生的概率，记为，计算公式为，其中.事件与事件相互独立的充要条件是，结合定义和性质，对选项逐一判断. 【详解】选项A，，A选项正确. 选项B，，B选项正确. 选项C，，，不能得出，选项C错误. 选项D，，D选项正确. 25．【多选】（2026高二·安徽滁州·期中）在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 【答案】ACD 【详解】有限样本空间中，，且与相互独立， 所以，所以A正确； ，所以B错误； 因为与互斥，所以，， 所以，所以C正确； 若，则， 所以，所以，所以与互斥，所以D正确. 考点4 全概率公式及其应用 26．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①当甲取到玩具盲盒且乙也取到玩具盲盒时，； ②当甲取到文具盲盒且乙取到玩具盲盒时，. 所以乙取到玩具盲盒的概率为． 27．（2026高二·北京·期中）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成指令的概率为.假设下达的动作指令表述模糊的概率为，则该机器人成功完成指令的概率为______. 【答案】/ 【分析】根据条件概率和全概率公式求解. 【详解】设事件表示“机器人成功完成指令”，事件表示“下达的动作指令表述清晰”， 则表示“下达的动作指令表述模糊”. 已知，，， ， 则. 即该机器人成功完成指令的概率为. 28．（2026高二·河北石家庄·期中）中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 已知甲品牌的占比和甲品牌的合格率，根据条件概率乘法公式，可直接计算出机器人是甲品牌合格品的概率； （2）要求该机器人是合格品的概率，需要分别计算出甲，乙，丙三个品牌的合格品概率，再根据进行计算. 【详解】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品， 则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率 （2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，结合（1）得 ． 29．（2026高二·山东济宁·期中）小李打算周末去游玩，去地与地的概率分别为，在地去徒步爬山的概率为，在地去徒步爬山的概率为，则小李去徒步爬山的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过定义相关事件，利用全概率公式，将不同游玩地点的先验概率与对应条件下徒步爬山的条件概率结合，计算得到总概率. 【详解】设事件为“小李去地游玩”，事件为“小李去地游玩”，事件为“小李去徒步爬山”. 由题意得 ，，，. 根据全概率公式可得： . 30．（2026高二·北京延庆·期中）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班女生占，乙班女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过定义样本空间的划分事件，利用全概率公式，结合各班的人数占比与男生占比，分步计算出遇到男生的总概率. 【详解】设事件为“遇到的同学是男生”，事件为“遇到的同学来自甲班”，事件为“遇到的同学来自乙班”. 由两班人数比得：，. 甲班男生占比：，乙班男生占比：. 由全概率公式： . 31．（2026·福建南平·模拟预测）某智能助手回答问题数据统计如下：理学类占总提问的40%，回答正确率为90%；文史类占总提问的60%，回答正确率为80%，用频率估计概率，则该助手回答问题正确的概率为（    ） A．0.72 B．0.8 C．0.84 D．0.9 【答案】C 【详解】设“理学类提问”为事件，“文史类提问”为事件，“回答正确”为事件， 则， 所以. 32．（2026高二·北京朝阳·期中）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为. 从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为____________. 【答案】 【分析】本题主要考查全概率公式的应用，根据各品牌手机的销售占比和优质率， 分别求出甲乙两种品牌的优质品概率，概率相加即可解决问题. 【详解】解：由甲品牌的销售量占比为，则乙品牌的销售量占比为， 所以（买到优质品）. 33．（2026高二·河南·期中）某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件，任取一件丙产品为事件，设任取一件是合格品为事件， 则，，，，，， 故. 34．（2026高二·上海松江·阶段检测）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 35．（2026高二·广东广州·期中）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）记“从乙箱取出一个正品”为事件，“从甲箱中取出两个正品”为事件，“从甲箱中取出一个正品、一个次品”为事件，“从甲箱中取出两个次品”为事件，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）记“从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品”为事件， 则. 故从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品的概率为. （2）记“从乙箱取出一个正品”为事件，“从甲箱中取出两个正品”为事件， “从甲箱中取出一个正品、一个次品”为事件，“从甲箱中取出两个次品”为事件， 则两两互斥，且， 则，，， 所以. 故取出的这件产品是正品的概率为. 36．（2026高二·江苏镇江·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出总的组合数，再求出对立事件对应的取法，用总的取法减去全是次品的取法即可； （2）根据甲箱中取出2件的类型，分成3种情况，分别计算三种情况的发生概率，再利用全概率公式计算求解． 【详解】（1）已知甲箱中共有8件产品，任取2件的取法为：种， 2个产品中至少有1件是正品的对立事件为2件均为次品，取法为：种， 这2个产品中至少有1件是正品的取法为：种． （2）从甲中取2个正品，概率为，此时乙箱中有6件正品3件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取1个正品1个次品，概率为，此时乙箱中有5件正品4件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取2个次品，概率为，此时乙箱中有4件正品5件次品， 抽到正品的概率为； ． 37．（2026高二·福建莆田·期中）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为、、. (1)若甲、乙、丙都去破译密码，求密码能被成功破译的概率； (2)若只安排一个人去破译密码，甲、乙、丙被选到的概率分别为、、，求密码能被成功破译的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对立事件和独立事件的概率公式可求得结果； （2）利用全概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件密码被甲成功破译，事件密码被乙成功破译，事件密码被丙成功破译， 则，，， 若甲、乙、丙都去破译密码，则密码能被成功破译的概率为. （2）记事件密码被成功破译，记事件、、分别表示甲、乙、丙被选中， ，，，，， 由全概率公式可得 . 考点5 贝叶斯公式及应用 38．（2026高二·上海静安·期末）某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是______________． 【答案】 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品是次品”，则， ． 故答案为： 39．（2026高二·山东青岛·竞赛）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 40．【多选】（2026高二·云南昭通·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由3台车床加工零件数的比可得判断A；全概率公式求判断B；即为第2台车床加工的次品率判断C；利用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】因为第1，2，3台车床加工的零件数的比为，所以，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：ABD 41．（2026高二·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 42．（2026高二·江苏·暑假作业）已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果． 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：． 故选：B. 43．（2026高二·山东济宁·期中）某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）分别求出选到典藏盒和选到经典盒任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款的概率，利用全概率公式求解； （2）（i）先求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的概率，然后求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的条件下，抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，最后计算求解；（ii）分别求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个典藏盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，然后利用贝叶斯公式求解. 【详解】（1）设事件分别为选到典藏盒、经典盒，事件为任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款， ，， 所以. （2）（i）设事件为恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，事件为两个玩偶中只有1个隐藏款， ， ， 所以. （ii）设事件为购买到两个典藏盒，事件为购买到两个经典盒， ， ， 所以. ， ， 所以. ， . 44．（2026高二·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用间接法求解即可得； （2）利用条件概率公式求解即可得； （3）先根据全概率公式求解，再根据贝叶斯公式即可求解得. 【详解】（1）记事件表示“抽出的个球中有红球”，则； （2）记事件表示“两个球都是红球”，则， 故； （3）设事件表示“从乙箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 则，， 则， 故． 45．（2026高二·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件 根据题目可得，，，， 根据全概率公式，可得：. （2）根据贝叶斯公式，可得： . 46．（2026·云南玉溪·模拟预测）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球取自2号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 47．（2026高二·重庆江津·月考）紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为． (1)求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率； (2)已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率； （注：贝叶斯公式） (3)小明为了更好的通关，现有两种方案： 方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取； 方案二：第二次从另一个机器中抓取． 比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大． 【答案】(1) (2) (3)方案二 【分析】（1）把“首次抓取抓到良品”拆分成两个互斥事件，分别求出对应机器及相应机器抓取良品的概率，再利用全概率公式计算求解； （2）先计算总的通关概率，再计算首次选乙机器且通过的概率，再代入贝叶斯公式得出条件概率； （3）分别计算方案一和方案二的概率，再通过比较得出结论． 【详解】（1）设选取甲机器为事件，则，选取乙机器为事件，则， 抓到良品娃娃为事件，则，， 由全概率公式． （2）两次选机器、抓取均互相独立，则两次抓取良品概率相同： ； 首次选乙，第一次抓到良品，第二次独立选机器抓良品的概率为： ； 由贝叶斯公式计算条件概率得：． （3）方案一：两次选取同一机器，抓取相互独立，概率为： ， 方案二：两次选取不同机器，抓取相互独立，概率为： ， ， ，故方案二的通关概率更大． 考点6 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 48．【多选】（2026高二·河北·期中）某加工厂的某种生活用品由A和B两台机器生产，A机器生产该种生活用品的速度是B机器的3倍，且A机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为，B机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为假设A，B机器每天同时开启和关闭，且两台机器生产出来的该种生活用品是否合格相互之间不影响．现随机抽出一件该种生活用品，下列结论正确的是（   ） A．这件生活用品合格的概率为 B．这件生活用品不合格的概率为 C．若这件生活用品不合格，则它来自A机器生产的概率为 D．若这件生活用品不合格，则它来自B机器生产的概率为 【答案】AC 【分析】设该生活用品由机器生产为事件，该生活用品由机器生产为事件，该生活用品为合格品为事件，得到，且，结合全概率公式阿赫条件概率的计算公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】设该生活用品由机器生产为事件，该生活用品由机器生产为事件， 该生活用品为合格品为事件， 可得， 则， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，，所以C正确； 对于D中，，所以D错误. 故选：AC. 49．【多选】（2026高二·河北保定·期末）甲和乙两个箱子中各装有 10 个球， 其中甲箱中有 5 个白球、 5 个红球， 乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子， 若点数为 5 或 6 ， 则从甲箱中随机摸出 1 个球不放回; 若点数为 ，则从乙箱中随机摸出 1 个球不放回. 下列结论正确的是（      ） A．掷骰子一次，摸出的是红球的概率为 B．掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为 C．掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为 D．掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为 【答案】BCD 【分析】根据全概率公式，贝叶斯公式计算概率，判断各个选项； 【详解】对于A，掷骰子一次，从甲箱摸球的概率为，从甲箱子中摸出红球的概率为，从乙箱摸球的概率为，从乙箱子中摸出红球的概率为， 掷骰子一次，摸出的是红球的概率为，故A错误； 对于B，掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为，B正确； 对于C，掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为，故C正确； 对于D，掷骰子两次，摸出 2 个红球包含三种情况， 掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为； 掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自乙箱的概率为 掷骰子两次，摸出的 2 个球来自甲、乙两个箱的概率为, 掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为 ，D正确； 故选：BCD. 50．【多选】（2026高二·陕西咸阳·月考）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.0675，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则以下说法正确的是（    ） A．使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题 B．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率相同 C．要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将信用卡支付通道关闭 D．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率 【答案】BC 【分析】设用户使用信用卡支付的事件为，用户使用支付宝支付为事件，用户使用微信支付为事件，用户出现支付问题为事件，利用贝叶斯公式求得的值，可得判定A正确；同理求得和的值，可判定BC正确；由全概率公式，可判定D错误. 【详解】根据题意，设用户使用信用卡支付的事件为，用户使用支付宝支付为事件，用户使用微信支付为事件，用户出现支付问题为事件， 则， 且， 对于A中，由， 解得，所以A错误； 对于BC中，由 解得，同理可得，所以， 即使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率相同， 要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将信用卡支付通道关闭,所以BC正确； 对于D中，减少微信支付的人数，即减少， 则的值不一定减少，所以D错误. 故选：BC. 51．【多选】（2026高二·山东德州·月考）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（    ） A．事件与相互独立 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A选项，计算出，根据，判断出与相互独立；BD选项，利用条件概率求出答案；C选项，利用全概率公式求出答案. 【详解】A选项，由题意，，， 而，A错误； B选项，由，， 所以，B正确； C选项， ，C正确； D选项，，正确． 故选：BCD． 考点7 全概率公式与数列的综合 52．（2026高二·福建三明·阶段检测）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 53．（2026高二·浙江·期中）为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 【答案】(1)； (2)；； (3). 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用全概率公式求出. （2）根据给定条件，利用全概率公式求出；再结合及构造法求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用条件概率公式列式求解. 【详解】（1）依题意，；，所以. （2）依题意，当时，，， 则，即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以的通项公式是. （3）设事件：第5次球从甲传出；事件：第3次球从丙传出， 则事件表示：第5次球从甲传出且第3次球从丙传出，其路径为：丙→乙→甲， ， 所以. 54．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. (1)求第2次巡逻时，机器人在区的概率； (2)求的表达式（用表示）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示第次巡逻到区，利用全概率公式计算； （2）利用全概率公式得出，构造等比数列即可求出. 【详解】（1）用表示第次巡逻到区， 则，，， 第2次在区的情况分为两类： 第1次在区，第2次巡逻到区：， 第1次在区，第2次巡逻到区：， 由全概率公式，第2次在区的概率为：； （2）当时，若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 则第次在区的概率为：， 设，则，得，解得； 又因为，所以，    故数列是首项为、公比为的等比数列. 故，整理得. 55．（2026高二·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）运用全概率公式计算即可 （2）设第n天选择B餐厅的概率，与通过全概率公式得到有关概率的递推公式，变成数列问题，配凑即可证明. 【详解】（1）设“同学甲第i天选择B餐厅”， 根据题意可知：， ，. 由全概率公式可得 即同学甲第二天选择B餐厅的概率为. （2）设“甲第n天选择B餐厅”，则，，， 当时，由全概率公式可得 则， 整理得 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $