精品解析：江苏扬州市扬州大学附属中学2025-2026学年高二下学期阶段练习2数学试题

2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科阶段练习2 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的散点图，结合相关系数的意义判断即得. 【详解】由图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即； 对应的与正相关，且对应的相关性更强，即， 所以. 故选：A 2. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理和判定定理结合充要条件的判定可得. 【详解】若，由线面平行的性质定理可得，充分性成立； 若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立. 所以是的充要条件. 故选：C 3. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理即可得到答案. 【详解】因为 . 4. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简函数，然后求出导函数，代入计算即可求解. 【详解】由题可得位移是关于时间的函数，且满足， 则， 则该弹簧振子在时的瞬时速度是. 故选：C 5. 在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底法结合空间向量数量积公式及投影向量公式可求得投影向量. 【详解】设平行六面体棱长为，， 且，， ， 在上的投影向量为. 故选：D. 6. 已知函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究在R上的单调性，结合单调性即可求解. 【详解】， 则， 由得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则当在内存在最小值时，也即极小值即为最小值， 故需满足得， 则实数的取值范围是. 7. 某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算教师不站在两端的总排列数，再计算该条件下甲乙相邻的符合条件排列数，两者作商得到所求概率. 【详解】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件， 因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列， 所以； 将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师）， 要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： ， 根据条件概率公式： . 8. 已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲､乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定的可能取值，再求随机变量取各值的概率, 根据期望公式方差公式求 ，判断随机变量服从二项分布，根据二项分布的均值、方差公式计算，由此可得结论. 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 所以，， ， 所以， . 乙每次抽到选择题的概率为，由条件可得 根据二项分布的均值方差公式得：， ， 所以，. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的分布比的分布更集中 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正态曲线的特点判断AB，根据正态曲线的对称性判断CD. 【详解】对于A，由可知，故A正确； 对于B，因为，所以的分布比的分布更分散，故B不正确； 对于C，因，则， 而,故C不正确， 对于D，由可知， 所以，故D正确． 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 被除所得余数是 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令通过换元得，通过通项公式可得A选项的正确，通过赋值可判断BC选项，通过对二项式展开式求导并赋值可判断D选项. 【详解】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； ， 所以除了最后一项外，其余全为的倍数， 所以被除所得余数是，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 11. （多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. 若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D. 点到平面距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用向量法求直线与直线所成角、判断位置关系、求平面与平面所成角的余弦值、结合参数范围求点到平面距离的最值. 【详解】由题设建立如下图示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 则，显然直线MN与所成角不为，A选项错误； 又，故，B选项正确； 由，，若为平面AMP的一个法向量， 则，令，则， 由平面的一个法向量为，，所以， 设平面与平面所成的角为， 则， C选项正确； 易知，则点到平面的距离为， 又，上式分子分母同时除以，可得， 令，则， 易知当时，，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的性质求出，再利用向量模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以，即，有， 可知. 故答案为：. 13. 已知随机变量满足，且，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二项分布公式，方差性质直接计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 14. 已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】只需要满足在上恒小于等于在上的最大值，导根据导函数得出，再分离参数得出，令，求导判断单调性即可. 【详解】由已知可知，只需满足对任意的，总存在， 只需要满足在上恒小于等于在上的最大值. ，令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在单调递减，， ，化简得，即 对任意的恒成立， 令，即，令，解得或， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故的最大值为， . 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，且． （1）求展开式的所有二项式系数之和； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数之和的公式求解． （2）通过赋值求得，赋值代入展开式，变形后求得目标式子的值． 【小问1详解】 展开式的所有二项式系数之和为． 【小问2详解】 令，得； 令，， 故． 16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； （参考数据：，，，，的方差为200）； （2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关． 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差： 相关系数：， ． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）可以认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关 【解析】 【分析】（1）根据相关系数公式求解； （2）计算出与临界值比较可得出周末在校自主学习与成绩进步是否有关. 【小问1详解】 ，， 又（，2，3，…，5）的方差为， ， ； 【小问2详解】 零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： 因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关． 17. 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）为等腰梯形，，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，平面平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出； （3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， ，故两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，， ，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则. 【小问3详解】 设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 18. 甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． （1）若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； （2）规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 【答案】（1）的分布列见解析，， （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望. （2）（i）根据条件概率公式，由（1）中各事件概率，求出条件概率. （ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，证明结果. 【小问1详解】 甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ， ， X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． 【小问2详解】 （i）因为， 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是． （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则， 可知， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则在上单调递增， 又，所以． 综上，． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即， 联立解得，所以． 且， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科阶段练习2 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. （ ） A. B. C. 1 D. 4. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ） A. B. 0 C. D. 5. 在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲､乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的分布比的分布更集中 C. D. 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 被除所得余数是 C. D. 11. （多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. 若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D. 点到平面距离的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则___________ 13. 已知随机变量满足，且，则_____. 14. 已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，且． （1）求展开式的所有二项式系数之和； （2）求的值． 16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； （参考数据：，，，，的方差为200）； （2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关． 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差： 相关系数：， ． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18. 甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． （1）若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； （2）规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $