江苏连云港市灌南县名校协作体2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 注重基础与能力梯度，融入智能驾驶统计、立体几何翻折等真实情境与创新问题，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、排列组合、概率|基础概念与运算结合| |多选题|3/18|统计、二项式定理、立体几何|多维度辨析与空间想象| |填空题|3/15|概率分布、条件概率、立体几何翻折|动态问题与数学建模| |解答题|5/77|数列、统计案例、导数、解析几何、立体几何综合|智能驾驶统计分析体现数据观念，立体几何公垂线段考查创新思维|

高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。 一、单选题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1．已知集合，那么（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（   ）种. A．90 B．60 C．150 D．140 5．展开式中含项的系数为（    ） A． B． C．220 D．380 6．已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（   ） A．0.6 B．0.8 C．0.75 D．0.5 7．在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：共3小题，每小题6分，满分18分。 9．下列说法正确的有（    ） A．一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3 B．若随机变量，则 C．若事件，满足，则与是对立事件 D．若事件，满足，则事件，相互独立 10．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 11．在棱长为1的正四面体中，M，N分别是棱AB，BC的中点，则下列说法正确的是 A．正四面体外接球的体积是 B．直线SM和AN所成角的余弦值为 C．可以用棱长为的正方体切割出正四面体 D．若正四面体的内切球为球O，在球O和各个顶角的空隙内分别放入一个和球O、顶角侧面都相切的小球，则这5个球的半径之和为 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则________． 13．已知事件和满足，，，则______． 14．在梯形ABCD中，，，E为CD上一点， ，将△AED沿AE所在直线翻折成 △AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足， 在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______. 四、解答题：共5大题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，满分77分。 15．在数列中，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 16．智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表： 经常使用智能驾驶辅助系统 不经常使用智能驾驶辅助系统 合计 驾龄≤5年 58 42 100 驾龄＞5年 36 64 100 合计 94 106 200 (1)从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 18．已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线交于，两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为， 证明：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）为钝角三角形． 19．如图1，在梯形中，，是线段 上的一点，，，将沿翻折到的位置． (1)如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面． (2)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值取值范围． (3)我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论． 高二数学试题 第1页 共3页 高二数学试题 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案 一、单选题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1.B 2.B 3.c 4.A 5.A 6.C 7.D 8.D 二、多选题共3小题，每小题6分，满分18分。 9.ABD 10.AD 11.ABC 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 9 12.20 a号 4名 四、解答题：共5大题，第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分， 满分77分。 15.(1)因为在数列{an}中，a1=2,am1-an=2n+2, 当n≥2时，an=a1+(a2-a)+(a3-a2)+…+(an-an-), 所以2.=2+4+6+…+2n）=2+4+6+…+2n=2牛20）=㎡+n, 2 又a=2=12+1符合上式，所以an=n2+n; (2)由(1)知an=n2+n=n(n+1), 则b-1=1=11 a.n(n+1)nn+1, 所以3》G传》…-日点 16.(1)设事件A为“车主驾龄不超过5年”，事件B为“车主经常使用智能驾驶辅助系 统” 由题意可知：n(A)=100,n(AB)=58,根据条件概率公式得： P小的-智-品-08 所以该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率为0.58 (2)提出假设H。:智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄无关， 高二根据表中数据可得： n(ad-bc月 200×(58×64-42×36)月 X=a+b)lc+d)a+c)6+d100x100x94x106 ≈9.715>6.635， 根据小概率值α=0.010的独立性检验，推断H。不成立，即认为智能驾驶辅助系统使用情况 与驾龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.010. 17.()函数f)=x+2-3x+1求导得f(x)=2+2x-3, 3 则f(0)=1,f'(0)=-3, ∴曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为： y-1=-3x,即y=-3x+1. (2)令'(x)=x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3, 当x∈[4，-3)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(-3,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减 当xe(1,6]时，'(x)>0,f(x)单调递增， f(-3)为极大值点，f()为极小值点 f4到4*+(4-3(4*1-3 f(-3)=3（-3+(-3-3(-3)+1=10, f0-=0+1-3x1+1=子 f(6)=6+62-3x6+1=91, 综上可得，函数f(:)在区间[4,6上的最大值为91，最小值为 2 (3)函数g(x)=f(x)+b在x∈R有三个不同的零点， 等价于直线y=-b与y=∫(x)有3个不同交点， 由（②）知，f)的极大值为(3)=10，极小值f0=号 作出f(x)大致图象如下： 10 yf(x) y=-b -5-3 由图象可知，要使直线y=-b与y=f(x)有3个不同交点， 则需满足：号<-6<10，解得-10<6 3 18.(1)设P(xy),y≠0， 山题意可知女古，整理为2-号1，少0， 3 所以双尚线C的方程为x-号-1.≠0， 2)(①)设M(x,),N(x2,2),T(x,-乃)，显然1的斜率不为零，否则有x2=-x,y2=乃， 点线y此时安 而直线TB和NA的斜率之商为2，故矛盾，故设直线：x=my+t, x=my+t 由-号=1r得6m-1少+6m+3-3=0, 3 依题意，3m2-1≠0，且△=36m-43m2-1)(32-3)12(3m2+2-1）>0, 所以m±号，且3-1>0，为+% -6mt 3t2-3 3m-%=3m- x+3=m(0+⅓)+21=，-21 3m2-1' =(m+m,+)=my+m(y+为)+r=-3-1 3m2-1 因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以，=， 因为点M在C上，所以=3(K-),即片上=3， x-1x+1 所以2头上=3，即2 =-3， x2+1x+1 xx2+x+x2+1 32-1) 即 3m+=3.化简可得20=1，解得4=3. 3m2-1 t+1 3m2-13m2-1+1 此时△=12(3m2+8)>0恒成立，所以1：x=my+3,过定点(3,0)： -6 24 面由①知，+年定+m,+扣沙马。 省8m1c0.助香流<m9 >0, 3 3m2-1 所以点M,N均在C的右支，如图， VA 此时 BM·BN=(x-1)(x2-1)+y2=xx2-(:+x2)+y2+1 =-3m+9+6+24 <0, 3m2-13m2-13m2-1 +1、20 3m2-1 所以∠MBN是钝角，△BMN是钝角三角形 2》当3m-1>0时，即m>5或m<-5, 3 6=0 所以M,N分别在C的两支，不妨设M在C的右支，则x>1,如图， B 设R(3,0),则MB.MR=(1-x)3-x)+2=x-4x+3+3x2-3=4x(x-1)>0, π 所以∠BMR∈O, 因为I过点R,所以LBMN=元-∠BMR∈ 2 所以∠BMN是钝角，△BMN是钝角三角形综上可知，△BMW是钝角三角形. 19.(1)连接ME,由题意知∠BEC=∠ECD=∠AEC=90°， ∠PED=∠AED=45°，而BE=CE,M是BC的中点，所以ME⊥BC, 又CD/IBE,CD=BE,所以四边形BCDE为平行四边形，故ED//BC, 所以ME⊥ED, 又平面PED⊥平面BCDE,平面PED∩平面BCDE=ED,MEc平面BCDE, 所以ME⊥平面PED (2)在平面PDE内作ED的垂线作为z轴，所以ME⊥z轴， 如图以E为坐标原点，分别以EM,ED为x,y轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为BE=CD=CE=√2，BC=2,设PE=t(t>O), 所以E(0,0,0),M1,0,0),B1,-1,0),C(1,1,0),D(0,2,0), 则P0.55,No55. 22 44 所以-导华.原-9. 2 2 BC=0,20,乎-052，EC=10. t,2 2 设平面PBC的法向量n=(:,乃，)， n·BC=2y=0 √2 2」 BP= 1+1+ 2=0取网=（ 2t,0,1), √2， 元·MN 2 4 t sine= M 12 ++ V+612+8 5,解得2<t<2. 4 设平面PEC的法向量m=(x2,2,Z2), n2·EC=x3+y2=0 得 9m9 2多=o取2=1，得2=1一11）， 设平面PBC与平面PEC所成锐二面角为a,则 2 2 nn +1 t+1 2 2 1+ 2v2 cosa +1 V3 2+1 3 1+- 2 2 由于y=1+在(2,2)上单调递增，故2√2<t+2<3, 故3 +3 e5+1,5 2 33, 1+ 所以平面PBC与平面PEC所成锐二面角余弦值的取值范围是(5+1，S)】 3,3 ZA D 3)>2 1 KG+C,证明如下： 1 S是四面体的表面积，cm=3S,令KG与面CGH所成角为a, GH.CH.KGsina sGH-CH-KG. VK-CGM=6 6 S.m-CH-GH.S.ue-KG-GH 因为GH是公垂线，CD上的点和PK上的点的最短距离是GH, SBKG>SKGH,ScKH>ScHG(取不到等号)， S>CH-GHGGH-GHCH+KG).GCG)高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟、考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规 定位置。 一、单选题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1.已知集合A=∈N-1<x<5B={L,3,5},那么A∩B=() A.0,1,3 B.L,3} C.{0,1,3,5} D.,3,5} 2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(1为虚数单位)，则z为（) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 3.已知向量ā，6满足d=2,(-b)1b,a+=3,则=() A.1 B.√ C.5 D.2 4.某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1 人最多2人，则不同的安排方法有(）种 A.90 B.60 C.150 D.140 5.(x+2)2x-1)°展开式中含x3项的系数为（) A.-260 B.-100 C.220 D.380 6.已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为 0.5.现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（) A.0.6 B.0.8 C.0.75 D.0.5 7.在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB=BC=2,∠ABC=120°若四面体P-ABC 的体积为2 3， 则AC与平面PBC所成角的正弦值为（) A. 3 B. 5 C.6 D. 7 8.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，M是棱BB,的中点，N是正方形BCC,B,内的 动点（包含边界），且DNI/平面AMD,则点N的轨迹长度为（) A. B.√反 C. D. 4 2 高二数学试题第1页共4项 二、多选题：共3小题，每小题6分，满分18分。 9.下列说法正确的有（) A.一组数据1,2,3,45,6,7,8的第30百分位数为3 B.若随机变量X:B4,2) 1 则E(X)=2 C.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件 D.若事件A,B满足P(4B)=P(4B),则事件A,B相互独立 0已知3x一=a+ax+4x+…+ax,且第5项与第8项的二项式系数相等，则(】 A.n=11 B.展开式的二项式系数和为22 C.展开式的各项系数和为 83 ..4an_2"+1 D+学+ 3”=31 11.在棱长为1的正四面体S-ABC中，M,N分别是棱AB,BC的中点，则下列说法正确 的是 A.正四面体S-ABC外接球的体积是V6, B.直线SM和AN所成角的余弦值为 6 C可以用技长为号的正方体切出正四面体5-AC D.若正四面体S-ABC的内切球为球O,在球O和各个顶角的空隙内分别放入一个和 球0、顶角侧面都相切的小球，则这5个球的半径之和为6 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12.已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量ξ5，且5~N(4,o2）,若 P5<5)0PGs45)8.期P255≤45)= 8.已知事件A和B满足P(A)},P(a)-,P(B0=子，则P(B) 14.在梯形ABCD中，AB/ICD,AD1AB,E为CD上一点， AB=BC=CE=2DE=2,将△AED沿AE所在直线翻折成 △AED'(如图所示).AD'上一点M满足CM.EA=5, 在翻折过程中，二面角M-BC-E的正弦值的最大值为 高二数学试题第2页共4项 四、解答题：共5大题，第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分， 满分77分。 15.在数列{an}中，a1=2,an1-an=2n+2. (1)求an: ②设6=。，求数列也}的前”项和S 16.智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运 动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程 监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾 驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表： 经常使用智能驾驶辅助系统 不经常使用智能驾驶辅助系统 合计 驾龄≤5年 58 42 100 驾龄>5年 36 64 100 合计 94 106 200 (①)从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾 驶辅助系统的概率； (2根据小概率值α=0.010的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关 附：X2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(X2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 高二数学试题第3页共4页 17设函数f()写r+-3x+1. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： 2)求函数f(x)在区间[-4,6]上的最大值与最小值， (3)若函数g(x)=f(x)+b在x∈R有三个不同的零点，求b的取值范围. 18.已知点A(-1,0),B(1,0),点P是直线AB外的一个动点，直线AP,BP的斜率之积为3， 记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程： (2已知直线I交C于M,N两点，M关于x轴的对称点为T,若直线TB和NA的斜率之商 为2， 证明：()直线I过定点；()△BMN为钝角三角形. 19.如图1，在梯形ABCD中，ABIICD,E是线段AB上的一点，BE=CD=CE=√2，BC=2, 将VADE沿DE翻折到△PDE的位置. B色 B M 图1 图2 图3 (1)如图2，若M是BC的中点，二面角P-ED-B为直二面角，证明：ME⊥平面PED (2)如图2，若二面角P-ED-B为直二面角，M,N分别是BC,PE的中点，若直线MN与 平面PBC所成角为Q,sin9>,求平面PEC与平面PBC所成锐二面角余弦值取值范围 (③)我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度 是两条异面直线上两点间距离的最小值.如图3所示，点K为线段CE的中点，G,H分别 在线段PK,CD上（不包含端点），且为PK,CD的公垂线段，记四面体CKGH的内切球 半径为，比较，与2记+动的大小并证明你的结论， 高二数学试题第4页共4项