精品解析：湖北省武汉市七一华源中学2025-2026学年八年级下学期六月归纳小结 数学试题

2025—2026学年度下学期六月归纳小结八年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列出不等式解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 2. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，再逐一分析即可． 【详解】解：A．图象中给定一个x，只有1个y值与它对应，能表示是的函数，符合题意， B．图象中出现给定一个x，存在两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； C．图象中出现给定一个x，存在两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； D．图象中出现给定一个x，存在三个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意． 3. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 4. 如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡越大）判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小. 【详解】解：根据直线经过的象限，知，，，，根据直线越陡越大，知，，所以．故选B． 【点睛】此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 5. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 【答案】B 【解析】 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 6. 如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象,解决本题的关键是根据容器的高度相同,每部分的粗细不同得到用时的不同．容器内水面高度h随时间t变化而分两个阶段， 【详解】解:底层的容器底面半径较大,容器内水面高度h随时间t的增大而增长缓慢,用时较长;上层容器底面半径较小,容器内水面高度h随时间t的增大而增长较快. 故选:A. 7. 如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．连接．由，F是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即． 【详解】解：如图，连接． ∵，F是的中点， ∴． 在中， ∵，E是的中点，， ∴． 故选：D． 8. 如图，在正方形中，为对角线的中点，为边上一点，于点，，，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于M，则过点O，作交于N，证明，可得，，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，交于M，则过点O，作交于N， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，° ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长是． 9. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，为自然数 ， 点的坐标为，即 ． 10. 如图，在内部有一点，为边上一点，连接，，，当，，时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，连接，过作于，证明三点共线，当共线且重合时，可得，此时最小． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接，过作于， ∴，，，， ∴都为等边三角形， ∴，，， ∵平行四边形，， ∴，， ∴，，， ∴三点共线， ∴，， ∴， 当共线且重合时， ，此时最小， ∴的最小值为． 二、填空题：（本题共8小题，共20分） 11. 在平面直角坐标系中，把直线向上平移一个单位长度后，其直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：由一次函数图象的平移规律“上加下减”可知，将直线向上平移一个单位长度后，所得直线解析式为． 12. 若一组数据，，，，的平均数为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：根据算术平均数的定义可得 ， 整理得 ， 解得 ． 13. 分别以矩形的边，，，为直径画半圆，对角线为直径画圆，得到如图所示图形，矩形的边，，则图中阴影部分面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于分别以矩形四条边为直径的四个半圆面积之和，减去以对角线为直径的圆面积与矩形面积之差，通过勾股定理及圆面积公式推导可得阴影部分面积等于矩形面积． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵矩形的边，， ∴，，， ∴， ∵阴影部分的面积等于以为直径的两圆面积之和加上矩形的面积，再减去以为圆心，为直径的圆的面积， ∴． 14. 如图，在矩形纸片中，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿，折叠，点落在处，点落在处，点，，恰好在同一直线上，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求，由等面积法可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作，交于，交于，连接， 将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处， ，，，， 在和中， ， ，， ，， 四边形是矩形， 又，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ∴由三角形的面积可得： ， ∴， ． 15. 等腰中，，，于，在上满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理和二次根式的性质进行化简，即可解答． 【详解】解：， ， 在中，， 在中，， ， ， 整理得，， 由和可得，； ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 整理得，； 在中，， 由和可得，， 即． 又， ， ． 16. 已知直线：分别与轴、轴交于，两点，直线：与交于点，一次函数的图像为，且，，不能围成三角形则的值为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】三条直线不能围成三角形分三种情况：平行于，平行于，经过与的交点，分类计算得到的值即可． 【详解】解：联立与的解析式， ， 解得：， ∴． 分三种情况讨论： 1． 若，可得，此时，与不重合，符合题意． 2． 若，可得，此时，与不重合，符合题意． 3． 若经过交点，三条直线共点，不能围成三角形， 将代入得： ， 解得，符合题意． 综上，的值为或或． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 如图，在中，点D，E，F分别是边，，的中点，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质、矩形的判定、等腰三角形的性质以及三角形的内角和．先根据中位线的性质得到，，即可得到四边形为平行四边形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明，得到结论． 【详解】解：∵点D，E，F分别是边，，的中点， ∴和是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 19. 如图，直线：与直线：相交于点，直线经过和 （1）求直线的解析式； （2）求出点坐标； （3）直接写出不等式的解集：________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把和代入，即可得到函数解析式， （2）联立两个函数解析式，解方程组可得的坐标； （3）由函数图像的性质可得的解集． 【小问1详解】 解：∵直线：经过和 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵直线直线交于点 ∴， 解得 ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵， 当时，则， 解得：， ∴与轴的交点坐标为：， ∵点的坐标为， ∴的解集是． 20. 如图①，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，即，，将沿着的方向以的速度运动得到（如图②），连接，． （1）求证四边形是平行四边形； （2）若，，设运动时间为，当为何值时，四边形是菱形？请说明理由． 【答案】（1）证明：由题意可得， ∴， 根据平移的性质得到：， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：当秒时，是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平移和全等三角形的性质可得，，即可得出，再根据全等三角形的性质易得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）当秒时，根据等边三角形的性质和判定，即可得出四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图是由边长为l的小正方形构成的6×6网格，正方形ABCD顶点都在网格线的交点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）直接写出正方形的边长______； （2）图l中，若E是边AB上任一点．在CD上找点F．连接EF，使得EF平分正方形ABCD的面积； （3）图2中．M为边AB与网格线的交点． ①画点M绕点D逆时针旋转90°的对应点G； ②在BC边上画点H．连接DH，MH．使得． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①见解析，②见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）连接AC，BD交于点O，连接BO，延长BO交CD于点F，点F即为所求； （3）①延长BC交过点D的网格竖线于点G，点G即为所求； ②作∠MDH＝45°，射线DH交BC于点H，点H即为所求． 【小问1详解】 解：BC＝， 故答案为：； 【小问2详解】 连接AC，BD交于点O，连接BO，延长BO交CD于点F，如图1中，点F即为所求； ∵四边形ABCD是正方形， ∴ABCD，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴＝＋＝＋， 即EF平分正方形ABCD的面积； 【小问3详解】 ①如图，延长BC交过点D的网格竖线于点G，点G即为所求； 在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠BCD＝∠DAM＝90°， ∵∠MDG＝90°，∠DCG＝90°， ∴∠ADC＝∠MDG， ∴∠ADM＝∠CDG， 又∵∠DCG＝∠DAM＝90°， ∴△DAM≌△DCG（SAS）， ∴DM＝DG， ∵∠MDG＝90°， ∴点G是点M绕点D逆时针旋转90°得到的对应点； ②如图，作∠MDH＝45°，射线DH交BC于点H，点H即为所求． ∵∠ADC＝90°，∠MDH＝45°， ∴∠ADM＋∠HDC＝45°， 由①知∠ADM＝∠CDG，DM＝DG ∴∠CDG＋∠HDC＝45°＝∠MDH， 又∵DH＝DH， ∴△DMH≌△DGH（SAS）， ∴∠DHM＝∠DHG， 在正方形ABCD中，ADBC， ∴∠ADH＝∠DHG， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，作图—旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： （1）请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； （2）若，请给出游泳费用最省方案； （3）当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 【答案】（1）， （2）当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱 （3） 【解析】 【分析】（1）根据B种年卡套餐的收费方式列函数关系式即可； （2）利用A、B、C种年卡套餐的收费方式得出解析式，再分类讨论即可． （3）当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个，可得两个函数图象有两个交点，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ． 【小问2详解】 解：当时， A种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ， ∵B种年卡套餐的费用为， C种年卡套餐的费用为， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当，解得：， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当，解得：， ∴当时，选套餐最省钱； 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当时，选套餐最省钱． 【小问3详解】 解：∵A种年卡套餐的费用（单位：元）为： 当时，， ， B种年卡套餐的费用为， 当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个， ∴两个函数图象有两个交点， ∴当函数的图象与函数中的图象平行时只有一个交点， 此时， 当函数的图象过时，两函数图象只有一个交点， 此时， 解得：， ∴游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，的值存在两个，的取值范围为：． 23. 如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），连接，若平分，求证：； （3）如图（3），若，连接，为的中点，直接写出的最小值是________． 【答案】（1）证明：四边形为正方形， ，． ， ， ． ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，交的延长线于点， ． 由（1）可知，， ， 四边形为矩形， ，即． 四边形为正方形， ，即， ． 平分，，， ． 又， ， ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质，得出，再利用三角形的内角和定理，即可得证； （2）先过点作于点，交的延长线于点，再根据矩形的判定与性质、正方形的性质，得出，利用角平分线的性质得出，最后根据全等三角形的判定与性质，即可得证； （3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再利用勾股定理得出，最后利用二次函数求最值的方法，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）可知，， ． 为的中点， ， 求的最小值，即求的最小值． 四边形为正方形， ，． 设，（），则， 在中， 由勾股定理得，， 当时，取得最小值，即， ． 24. 如图，直线：（）分别交轴、轴于、，直线：（且）分别交轴、轴于、两点． （1）请直接写出直线的解析式：________；以及点坐标________； （2）如图，直线与直线相交于点，且，求直线的解析式； （3）如图，直线与直线关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点，直线与相交于点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）,； （2）直线解析式为; （3）坐标为和 【解析】 【分析】（1）把，代入，算出；，令，； （2）过点A作交y轴于H点，如图，根据平行线的性质结合已知可得，设，利用勾股定理求出t，得到点H坐标，进而可得直线的解析式，即可求解； （3）和关于轴对称，得；由可利用等腰直角三角形构造一线三垂直模型，分两种情况求解． 【小问1详解】 解：已知过， 代入得，解得， ； ， 令， ． 【小问2详解】 解：过点A作交y轴于H点，如图，则， ， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 设直线的解析式是， 代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴的解析式为． 【小问3详解】 解：∵直线与直线关于轴对称， ∴点关于x轴对称， ∴， ∴设直线：， 代入可解得， ∴直线：， 当点P在点A下方时， 过点作，交直线于点Q， ，， 为等腰直角三角形，， 过点Q作轴于点M，作于点N， 则， ∴， ， ∴， 设，点 则①， ∴②， 联立①②可得： ∴， ∴， 把和代入， 得， 解得：， ； 当点P在点A上方时， 过点C作，交直线于点R， ，， 为等腰直角三角形，， 过点R作轴，作于点G，作于点E， 同理可得， ∴， 设，点 则①， ②， 联立①②可得：， ∴ 把代入， 得， 解得：， ； 综上，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期六月归纳小结八年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 4. 如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 6. 如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在正方形中，为对角线的中点，为边上一点，于点，，，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在内部有一点，为边上一点，连接，，，当，，时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共8小题，共20分） 11. 在平面直角坐标系中，把直线向上平移一个单位长度后，其直线解析式为______． 12. 若一组数据，，，，的平均数为，则_______． 13. 分别以矩形的边，，，为直径画半圆，对角线为直径画圆，得到如图所示图形，矩形的边，，则图中阴影部分面积为_______． 14. 如图，在矩形纸片中，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿，折叠，点落在处，点落在处，点，，恰好在同一直线上，若，，，则________． 15. 等腰中，，，于，在上满足，则________． 16. 已知直线：分别与轴、轴交于，两点，直线：与交于点，一次函数的图像为，且，，不能围成三角形则的值为________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，点D，E，F分别是边，，的中点，且．求证：四边形是矩形． 19. 如图，直线：与直线：相交于点，直线经过和 （1）求直线的解析式； （2）求出点坐标； （3）直接写出不等式的解集：________． 20. 如图①，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，即，，将沿着的方向以的速度运动得到（如图②），连接，． （1）求证四边形是平行四边形； （2）若，，设运动时间为，当为何值时，四边形是菱形？请说明理由． 21. 如图是由边长为l的小正方形构成的6×6网格，正方形ABCD顶点都在网格线的交点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）直接写出正方形的边长______； （2）图l中，若E是边AB上任一点．在CD上找点F．连接EF，使得EF平分正方形ABCD的面积； （3）图2中．M为边AB与网格线的交点． ①画点M绕点D逆时针旋转90°的对应点G； ②在BC边上画点H．连接DH，MH．使得． 22. 游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： （1）请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； （2）若，请给出游泳费用最省方案； （3）当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 23. 如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），连接，若平分，求证：； （3）如图（3），若，连接，为的中点，直接写出的最小值是________． 24. 如图，直线：（）分别交轴、轴于、，直线：（且）分别交轴、轴于、两点． （1）请直接写出直线的解析式：________；以及点坐标________； （2）如图，直线与直线相交于点，且，求直线的解析式； （3）如图，直线与直线关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点，直线与相交于点，满足，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $