4.1.1 实数指数幂及其运算课件——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学课件聚焦实数指数幂及其运算，通过国家统计局科研经费增长的实际问题导入，从初中整数指数幂、平方根与立方根出发，逐步延伸至n次方根、根式及分数指数幂，构建连贯的知识支架帮助学生实现认知过渡。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过“尝试与发现”问题链引导逻辑推理，结合反证法证明及运算例题提升数学计算能力。系统的知识总结助力学生构建体系，教师使用可高效落实重点难点，促进学生数学思维与应用意识的发展。

人教B版(2019)必修第二册 4.1.1 实数指数幂及其运算 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 1 学习目标 理解有理数指数幂的含义,体现逻辑推理能力（重点） 了解实数指数幂的意义,体现逻辑推理能力（重点） 掌握幂的运算,体现数学计算能力（重难点） 2 新课导入 国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%． 你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？ 3 新课学习 初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如 25=2×2×2×2×2=32， 30=1， 一般地，an中a 称为底数，n 称为指数. 整数指数幂运算的运算法则有： aman=am+n， (am)n=amn， (ab)m=ambm. 4 新课学习 初中我们还学习了平方根和立方根： (1)如果x2=a，则称x为a的平方根(或二次方根): 当a>0时，a有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根记为，负的平方根记为；当a=0 时，a只有一个平方根，记为=0；当a<0 时，a在实数范围内没有平方根. (2)如果x3=a，则x称为a的立方根(或三次方根)，在实数范围内，任意实数a 有且只有一个立方根，记作． 5 新课学习 n次方根的概念 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得 xn＝a， 则x称为a的n 次方根． 例如：因为方程x4=81的实数解为3与-3，因此3与-3都是81的4次方根； 因为25=32，而且x5=32只有一个实数解，所以32的5次方根为2 . 6 新课学习 根据方程xn=a解的情况不难看出： (1)0的任意正整数次方根均为0，记为＝0． (2)正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为 ，负的方根记为- ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a<0且n为偶数时， 在实数范围内没有意义． (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 ．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． 7 新课学习 根式的概念 注意：虽然我们不知道 等的精确的小数形式(计算器和计算机上给出的值都是近似值)，但是按照定义，我们知道 的一些性质，比如 2等. 8 新课学习 根式的性质 一般地，根式具有以下性质： 9 新课学习 10 新课学习 11 新课学习 根式有意义的条件 12 新课学习 举个例子： 13 新课学习 分数指数幂的概念 因此，以后没有特殊说明，一般认为分数指数幂中的指数都是既约分数. 14 新课学习 负分数指数幂的性质 15 新课学习 有理数指数幂的运算性质 现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂(即有理数指数幂).一般情况下，当s与t都是有理数时，有运算法则： asat=as+t； (as)t=ast； (ab)s=asbs. 16 新课学习 举个例子： 17 新课学习 根据不等式的性质与根式的性质，得 a<b或a=b. 18 新课学习 有理数指数幂的性质 利用例1的结论，可以证明： 1.如果 a>b>0， s是正有理数， 那么 as>bs； 2.如果a>1， s是正有理数， 那么 as>1， a-s<1； 3.如果a>1， s>t>0， 且s与t均为有理数， 那么 as>at. 19 新课学习 尝试与发现：根据前面的知识，猜测2π与23的相对大小，以及2π与24的相对大小. 不难猜出：23<2π<24. 思考一下：如何理解2π这个数？ 在计算圆的面积时，我们常常取π为3.14一样，在精度要求不高的前提下，我们可以认为 2π≈23.14 因为π=3.141592653…是一个无理数(即无限不循环小数)，我们写不出它的精确的小数形式， 20 新课学习 思考一下：如何理解2π这个数？ 但是因为3.1<π<3.2，所以23.1<2π<23.2，同样 3.14<π<3.15⇒23.14<2π<23.15， 3.141<π<3.142⇒23.141<2π<23.142， 3.1415<π<3.1416⇒23.1415<2π<23.1416， 3.14159<π<3.14160⇒23.14159<2π<23.14160. 也就是说，两个序列 3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，…； 3.2，3.15，3.142，3.1416，3.14160，… 21 新课学习 思考一下：如何理解2π这个数？ 中的数，随着指数的变化，也都会越来越接近一个实数，这个实数就是2π. 一般地，当a>0 且t是无理数时，at都是一个确定的实数，我们可以用与上述类似的方法找出它的任意精度的近似值．因此，当a>0 ，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at 都有意义． 可以证明，对任意实数s和t，类似前述有理指数幂的运算法则仍然成立. 22 新课学习 23 新课学习 24 课堂练习 D 25 课堂练习 A 26 课堂练习 C 27 课堂练习 28 课堂练习 D 29 课堂练习 30 课堂练习 C 31 课堂练习 32 课堂练习 -2 33 课堂总结 1.n次方根的概念 2.根式的性质 3.根式有意义的条件 4.分数指数幂的概念 5.负分数指数幂的性质 6.有理数指数幂的性质 34 谢 谢 观 看 35 $