4.5 增长速度的比较课件——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学课件聚焦指数、对数、幂函数的增长速度比较，以世界500强面试题（房价与攒钱问题）导入，通过平均变化率概念构建学习支架，从一次函数、二次函数到指数函数实例逐步深入，形成“问题-概念-应用”的知识脉络。 其特色在于以真实情境激发兴趣，通过计算对比培养逻辑推理与数学抽象能力，用表格数据直观呈现指数增长的“爆炸式”特点，课堂总结结构化。学生能建立函数增长直观认知，教师可提升教学互动性与知识系统性。

人教B版(2019)必修第二册 4.5 增长速度的比较 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 1 学习目标 理解函数的平均变化率,体现数学抽象能力（重点） 了解平均变化率的应用,体现数学抽象能力（重点） 了解指数、对数、幂函数的增长差异,体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题： 有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？ (A)5年 　(B)7年 　(C)8年 　(D)9年 　(E)永远也买不起 你能给出这道题的答案吗？ 3 新课学习 平均变化率的概念 函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率为 也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加 个单位. 因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢. 4 新课学习 举个例子： 当g(x)=2x+3，h(x)=3x-2时，容易算出 这就是说，自变量每增加1个单位，g(x)将增加2个单位，而h(x)将增加3个单位. 这也就意味着，即使h(x0)<g(x0)，但当Δx足够大时，必将有 h(x0+Δx)>g(x0+Δx). 5 新课学习 举个例子： 当f(x)=x2-2x-1时，则 由此可知，在[1,+∞) 内，自变量每增加1个单位，区间长不变的条件下，端点数值之和越大，f(x)的函数值增加越快. 6 新课学习 举个例子： 当f(x)=x2-2x-1时， f(x)在区间[1,2]上的平均变化率为1，在区间[2,3]上的平均变化率为3 . 从图象上来看，如图所示，线段AB所在直线的斜率小于线段BC所在直线的斜率. 7 新课学习 例1：已知函数y=2x，分别计算函数在区间[1，2]和[2，3]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律． 不难看出，当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快． 8 新课学习 例2：已知函数f(x)=2x，g(x)=x，h(x)=log2x，分别计算这三个函数在区间[a，a+1](a>1)上的平均变化率，并比较它们的大小． 因为 又因为a>1时，有 9 新课学习 例2：已知函数f(x)=2x，g(x)=x，h(x)=log2x，分别计算这三个函数在区间[a，a+1](a>1)上的平均变化率，并比较它们的大小． 因此在区间[a，a+1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的最小． 10 新课学习 思考一下：根据指数函数f(x)=2x、幂函数g(x)=x和对数函数h(x)=log2x的图象，判断函数的增长变化？ 通过例1和例2的计算可以看出，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的无限增大，f(x)=2x的函数值增长会越来越快 ， 而且比函数g(x)=x和函数h(x)=log2x 的增长速度都快 ． 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 g(x)=x h(x)=log2x f(x)=2x a a+1 11 新课学习 指数增长和线性增长的概念 一般地，当a＞1时，指数函数f(x)=ax都具有这个特征．也正因为如此，人们一般将类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长). 将类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长). 例如:《人民日报》2016 年8月24日的一篇文章中提到：“我们要在传统媒体有线性增长的基础上，使新兴媒体有指数级的增长．” 12 新课学习 思考一下：尝试解决本节课开始的问题. 本节情境与问题中的房价是指数增长的，而攒的钱是线性增长的，因为指数增长的速度会越来越快，所以在题目给定的条件下，永远也买不起房子，这可通过下表的计算结果(精确到1万元)看出． 年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 房价/万元 220 242 266 293 322 354 390 429 472 攒的钱/万元 80 120 160 200 240 280 320 360 400 注意：试题中的情形在现实生活中是不可能发生的，因为房价不可能按照每年10％的速度永远增长下去，而且买房时可以选择按揭贷款等． 13 课堂练习 D 14 课堂练习 15 课堂练习 B 16 课堂练习 17 课堂练习 B 18 课堂练习 19 课堂练习 D 20 课堂练习 21 课堂练习 B 22 课堂练习 23 课堂练习 (0,2)∪(4,+∞) 24 课堂练习 25 课堂总结 1.平均增长率的概念 2.指数增长和线性增长的概念 3.指数函数、对数函数与幂函数的增长变化 26 谢 谢 观 看 27 $