4.6 函数的应用(二)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

4.6 函数的应用(二) [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 本节课的重点和难点是掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用，能够选择合适的数学模型分析解决实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 常见的函数模型 一次函数模型 y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 y=_________ (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 y=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 y=mlogax+n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 y=axn+b(a，b，n为常数，a≠0) 分段函数模型 y= ax2+bx+c |微|点|助|解| (1)建立函数模型应把握的三个关口 ①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口. ②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. ③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题. (2)有关增长(衰减)率问题 ①初始值为a，增长率为x，增长n次后的表达式是a(1+x)n. ②熟练应用公式a(1+x)n，特别是增长(衰减)次数，审清如年初、年底等字眼. 基础落实训练 1.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是 (　　) A.-1 B. C.-1 D. √ 解析：设月平均增长率为x，1月份产量为a，则有a(1+x)11=7a，则1+x=，故x=-1. 2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是 (　　) A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=log2t 解析：由题图知，该函数可能是y=log2t.故选D. √ 3.为绿化生活环境，某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是___________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a=_____.  解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y=6.4(1+a)x. 由题意可知6.4(1+a)3=12.5，所以(1+a)3=，所以1+a=，故a==25%. y=6.4(1+a)x　 25% 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　指数型函数模型 [例1]　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a. (1)求p%的值； 解：由题意得a(1-p%)10=，即(1-p%)10=，解得p%=1-. (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年? 解：设经过m年森林面积为a，则a(1-p%)m=a，即=， 得=，解得m=5. 故到今年为止，已砍伐了5年. (3)今后最多还能砍伐多少年? 解：从今年开始，n年后森林面积为a·(1-p%)n， 令a(1-p%)n≥a，即(1-p%)n≥≥，得≤， 解得n≤15. 故今后最多还能砍伐15年. |思|维|建|模| 指数型函数模型问题的求解策略 (1)对于平均增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解. (2)函数y=c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数. 针对训练 1.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减. (1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式； 解：最初的质量为500 g. 经过1年，w=500(1-10%)=500×0.9； 经过2年，w=500×0.92； 由此推知，t年后，w=500×0.9t. (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(保留小数点后一位，参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48). 解：由题意得500×0.9t=250， 即0.9t=0.5，两边取以10为底的对数， 得lg 0.9t=lg 0.5，即tlg 0.9=lg 0.5， ∴t==≈7.5. 即这种放射性元素的半衰期为7.5年. 题型(二)　对数型函数模型 [例2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3，单位是m/s，θ是表示鲑鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少? 解：由v=log3可知，当θ=900时，v=log3=log39=1(m/s). 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍? 解：由v2-v1=1，即log3-log3=1，得=9. 所以耗氧量的单位数为原来的9倍. 变式拓展 若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100个单位时，它的游速是多少? 解：将θ=8 100代入函数解析式， 得v=log381=×4=2(m/s)， 所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s. (2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数. 解：令v=0，得log3=0， 即=1，则θ=100， 所以一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数为100. |思|维|建|模| 对数型函数应用题的基本类型和求解策略 基本类型 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解 求解策略 首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义 针对训练 2.设小丁单次持续背单词所花时间y(分钟)与背出单词数x(个)之间满足函数表达式y=k·lg，其中常数k，b∈R且k，b≠0.已知小丁持续背单词50分钟背出了20个单词，100分钟背出了30个单词.问：小丁持续背200分钟约能背出多少个单词?(精确到个位) 解：由题意，得两式相除，得=， 即1-=，解得b=40.所以k=，即y=·lg. 当y=200时，解得x=37.5≈38(个)， 所以小丁200分钟约能背出38个单词. 题型(三)　幂函数模型 [例3]　果园A占地约3 000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本y(万元)与果树数量x(百棵)之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据以上表格中的数据判断：y=ax+b与y=c+d哪一个更适合作为y与x的函数模型； 解：①若选择y=ax+b作为y与x的函数模型，将(1，1)，(4，4.4)的坐标分别代入，得解得所以y=x-， 当x=9时，y=≈10.07， 当x=16时，y=18，与表格中的7.8和11.2相差较大，所以y=ax+b不适合作为y与x的函数模型.②若选择y=c+d作为y与x的函数模型，将(1，1)，(4，4.4)的坐标分别代入，得解得 所以y=-，当x=9时，y==7.8， 当x=16时，y==11.2，与表格中的7.8和11.2相符合，所以y=c+d更适合作为y与x的函数模型. (2)已知该果园的年利润z(万元)与x，y的关系为z=2y-0.1x，则果树数量x为多少时年利润最大? 解：由题可知，该果园最多种植120 000棵该品种果树，所以确定x的取值范围为[0，1 200]， 当y=-时，z=2y-0.1x=--x=-(x-68+48)， 令=t(0≤t≤20)，则z=-(t2-68t+48)，经计算，当t=34时， z=-(t2-68t+48)取得最大值，最大值为110.8(万元)，即果树数量x=1 156时(每亩约38棵)，利润最大. |思|维|建|模| 幂函数模型的常见题型及解法 常见题型：一是给出含参数的函数关系式；二是根据题意直接列出相应的关系式. 解法：幂函数的应用题大多可与指数函数的应用题相互转化，因为在y=(1+a)b中，如果a是已知的，b是待求的，那么此问题是指数函数问题；如果b是已知的，a是待求的，那么此问题是幂函数问题. 针对训练 3.某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润y(万元)与投资额x(万元)成正比，其关系如图1所示；B产品的利润y(万元)与投资额x(万元)的算术平方根成正比，其关系如图2所示. (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数； 解：设投资额为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元， 由题设f(x)=k1x，g(x)=k2，由题图可知f(1)=，所以k1=，又g(4)=，所以k2=，所以f(x)=x(x≥0)，g(x)=(x≥0). (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?(精确到1万元) 解：设A产品投入x万元，则B产品投入(10-x)万元，设企业的利润为y万元，y=f(x)+g(10-x)=x+(0≤x≤10)，令=t，则y=+t=-+(0≤t≤)，所以当t=时，ymax=，此时x=10-==3.75，所以当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为万元，约为4万元. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是 (　　) A.y=2x B.y=2x-1 C.y=2x D.y=2x+1 √ 解析：分裂一次后由2个变成2×2=22个，分裂两次后变成4×2=23个，…，分裂x次后变成y=2x+1个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.有一组实验数据如下表所示： 则能体现这些数据关系的函数模型是 (　　) A.u=log2t B.u=2t-2 C.u= D.u=2t-2 √ t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示. 由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t=3时，2t-2=23-2=6，排除选项B.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.某市的房价(均价)经过6年时间从12 000元/m2增加到了48 000元/m2，则这6年间平均每年的增长率是 (　　) A.600元 B.50% C.-1 D.+1 √ 解析：设6年间平均年增长率为x，则有12 000(1+x)6=48 000，解得x=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则60(1-25%)x<20，∴<，当x=3时，=>；当x=4时，=<； 结合选项可知他至少经过4个小时才能驾驶汽车.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.(2025·北京高考)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位：小时)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加 (　　) A.2小时 B.4小时 C.20小时 D.40小时 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3， 由题意，T1=klog2106=6klog210， T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210)， T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20，所以k=2， 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4， 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.已知一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于 (　　) A.lg B.lg C. D. √ 解析：由题意得a(1-8%)t=，所以0.92t=0.5.两边取对数得lg 0.92t=lg 0.5.所以tlg 0.92=lg 0.5.故t=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 (　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为Lp=20×lg随着p的增大而增大，且∈[60，90]，∈[50，60]，所以≥，所以p1≥p2，故A正确；由Lp=20×lg，得p=p01，因为=40，所以p3=p01=100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p01>10p01，所以1>10，所以->20， 由题中表格数据知不可能成立，故B错误；因为== 1≥1，所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)已知某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为___________.  解析：因为N=N0e-λt，所以=e-λt，两边取以e为底的对数， 所以t=-ln. t=-ln 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y=ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k=_______，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为　 .  解析：由题意知，当t=时，y=2，即2=，所以k=2ln 2，所以y=e2tln 2.当t=5时，y=e2×5×ln 2=210=1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024 2ln 2 　1 024 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为____.  解析：由已知得a=a·e-50k，即e-50k==.所以a=·a=(e-50k ·a=e-75k·a，所以t=75. 75 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t= -144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数.则当N=40时，t=______.(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)  解析：当N=40时，t=-144lg=-144lg =-144(lg 5-2lg 3) =-144(1-lg 2-2lg 3)≈36.72. 36.72 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量. (1)计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(5分) 解：由题意知，当燕子静止时，它的速度v=0，代入题中公式，可得0=5log2，解得O=10. 所以当燕子静止时的耗氧量是10个单位. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)当一只燕子的耗氧量是40个单位时，它的飞行速度是多少?(5分) 解：将耗氧量O=40代入题中公式， 得v=5log2=5log24=10(m/s). 所以当一只燕子的耗氧量是40个单位时，它的飞行速度是10 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)(单位：万元)，当年产量不超过14万件时，f(x)=x2+4x；当年产量超过14万件时，f(x)=17x+-80.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润g(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(4分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：根据题意得，当0≤x≤14时，g(x)=16x-f(x)-30=-x2+12x-30， 当14<x≤35时，g(x)=16x-f(x)-30=50-x-， 故g(x)= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片?(6分) 解：当0≤x≤14时，g(x)=-x2+12x-30，且当0≤x≤9时，g(x)单调递增，当9<x≤14时，g(x)单调递减，此时g(x)max=g(9)=-×81+12×9-30=24.当14<x≤35时，g(x)=50-x-≤50-2=10，当且仅当x=20时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 因为24>10， 所以当x=9时，g(x)取得最大值24，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $