课时作业41　平面向量的数量积及其应用-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量数量积的定义、运算及几何应用，通过基础计算、几何情境与综合判断题型，构建从坐标运算到几何应用的逻辑链条，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5单选+2填空|数量积计算、垂直求参、投影向量、模长公式应用|从数量积定义（坐标运算）到性质应用（垂直、投影、模长），形成概念-运算-性质的逻辑链| |几何应用|1单选+1多选|三角形、正六边形中的向量关系分析|结合图形抽象向量表示，体现几何直观与空间观念，实现代数运算与几何意义的融合| |综合判断|2多选|向量平行、夹角、模长的综合辨析|多知识点交汇考查，强化推理意识，提升用数学思维分析复杂问题的能力|

课时作业(四十一)　平面向量的数量积及其应用 一、单项选择题 1．(湘教版必修第二册P39练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b的夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 2．(2025·重庆期中)已知向量a＝(1，－1)，b＝(－2，3)，c＝(1，1)，则(a＋b)·c＝(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 3．已知向量a＝(m，1)，b＝(0，3)，且a⊥(a－b)，则实数m＝(　　) A． B．2 C．± D．±2 4．(2025·秦皇岛模拟)已知向量a，b满足a·b＝－5|b|，b＝(3，4)，则a在b上的投影向量为(　　) A．(－3，－4) B．(3，4) C． D． 5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，2)，若(2a－b)⊥a，则|a－b|的值为(　　) A．4 B．5 C．3 D．4 6．(2025·大连期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝＝2，P为CD上一点，且满足＝m，若AC＝3，AB＝2，则＝(　　) A．－ B． C． D．－ 二、多项选择题 7．(2025·牡丹江期末)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法错误的是(　　) A．＝　　　　　　　　B．＝ C．＝ D．在上的投影向量为 8．(2025·泉州期中)若向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，则下列说法正确的是(　　) A．|a＋b|＝|a－2b| B．a－b与b平行 C．a＋2b在a上的投影向量为a D．sin 〈a，b〉＝ 9．(2025·三明市三元区期末)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋2b|＝，下列说法中正确的有(　　) A．a·b＝－1 B．(a＋b)⊥(a－b) C．|a－2b|＝ D．a与b的夹角为 三、填空题 10．设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 11．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 12．(2025·秦皇岛山海关区模拟)已知a＝(4，－3)，b＝(0，－2)，c＝a－tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t的值是________． 课时作业(四十一) 1．A　[因为|a|＝＝5，|b|＝＝13，a·b＝3×5＋4×12＝63， 设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝．] 2．A　[∵向量a＝(1，－1)，b＝(－2，3)，c＝(1，1)， ∴a＋b＝(－1，2)， ∴(a＋b)·c＝(－1，2)·(1，1)＝－1×1＋2×1＝1． 故选A．] 3．C　[因为a＝(m，1)，b＝(0，3)， 所以|a|＝，a·b＝m×0＋1×3＝3． 因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0， 即a2－a·b＝m2＋1－3＝0， 解得m＝±．故选C．] 4．A　[因为b＝(3，4)，所以|b|＝＝5， 所以a在b上的投影向量的坐标为b＝b＝－b＝(－3，－4)． 故选A．] 5．B　[向量a＝(2，－1)，b＝(x，2)， 则2a－b＝(4－x，－4)，又(2a－b)⊥a， 则(2a－b)·a＝8－2x＋4＝0，解得x＝6， 即b＝(6，2)，可得a－b＝(－4，－3)， 所以|a－b|＝＝5． 故选B．] 6．D　[因为＝2， 设＝k(0≤k≤1)， 则＝k(－k＝m， 则(m－1)＝k， 故解得k＝，m＝， 因为AC＝3，AB＝2，∠BAC＝， 则·()＝×3×2×＝－．故选D．] 7．ABC　[对于A，为相反向量，故A错误； 对于B，由正六边形的性质知AD平分等边△ACE的内角∠EAC交EC于H， 所以＝2， 在Rt△EDH，Rt△AEH中，||＝||＝3||，∠DEH＝∠EAH＝， 所以||＝4||＝||，所以，故B错误； 对于C，因为＝－＝－，故C错误； 对于D，由正六边形的性质知∠ABD＝，故D正确． 故选ABC．] 8．ACD　[对于A，a＋b＝(3，0)，则|a＋b|＝3，a－2b＝(0，3)，则|a－2b|＝3， 所以|a＋b|＝|a－2b|，故A正确； 对于B，a－b＝(1，2)，又b＝(1，－1)， 则≠，所以a－b与b不平行，故B错误； 对于C，a＋2b＝(4，－1)， 又|a|＝，a·(a＋2b)＝4×2＋(－1)×1＝7， 故投影向量为a，故C正确； 对于D，由题可得cos〈a，b〉＝， 又〈a，b〉∈[0，π]， 所以sin〈a，b〉＝，故D正确．故选ACD．] 9．AC　[由|a|＝1，|b|＝2，|a＋2b|＝， 可得|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝13， 将|a|＝1，|b|＝2代入，可得a·b＝－1，故A正确； 因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝－3≠0，故B错误； 由|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝21， 可得|a－2b|＝，故C正确； 设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝－1， 故cos θ＝－，又0≤θ≤π，则θ＝，故D错误．故选AC．] 10.11　[设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝， 又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos θ＝1×3×＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11．] 11.2　[由题意得，a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝ ＝2．] 12．－　[因为a＝(4，－3)，b＝(0，－2)， 则a－tb＝(4，－3)－(0，－2t)＝(4，2t－3)，|a|＝＝5，|b|＝＝2， a·c＝16－3(2t－3)＝25－6t， b·c＝－2(2t－3)＝6－4t， 若〈a，c〉＝〈b，c〉， 则，解得t＝－．] 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $