8.6.1 直线与直线垂直 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间直线与直线垂直，核心内容包括异面直线所成角的定义、范围及求法。课前通过正体观察问题链导入，如判断异面直线、分析位置差异，衔接平面角知识，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以直观想象为基础，通过正体模型感知空间关系，结合逻辑推理设计一题多问典例和一题多解证明，类题通法提炼“平移求角”口诀强化数学语言表达。助力学生发展空间观念与推理能力，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 素养目标 思维导图 1.借助正体,通过直观感知,了解空间中直 线与直线垂直的关系.(直观想象) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位 置关系的简单命题.(逻辑推理) ‹#› 课前自主学习 观察如图正体,分析下列问题. 问题1.判断直线AC与直线D1B1,直线AB与直线D1B1是平行直线还 是异面直线? 提示:直线AC与直线D1B1是异面直线,直线AB与直线D1B1也是异 面直线. 问题2.直线AC和直线AB与直线D1B1的位置相同吗? 提示:直线AC和直线AB与直线D1B1虽然均是异面直线,但位置不尽相同. 问题3.直线A1C1与直线D1B1夹角是多少?能否判断直线AC与直线D1B1所成的角? 提示:直线A1C1与直线D1B1夹角是直角.因为直线AC与直线A1C1平行,可以借助直线 A1C1与直线D1B1夹角判断直线AC与直线D1B1所成的角. ‹#› 【核心概念】 1.两异面直线所成的角及空间两条直线垂直 定义 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b, 我们把直线a'与b'所成的___叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为θ,则_________ 空间两 直线垂直 当θ=____时,a与b互相垂直,记作_____ 角 0°<θ≤90° 90° a⊥b ‹#› 2.对异面直线所成角的认识 (1)任意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关. (2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算. 3.当两条直线平行时,我们规定它们所成的角为0°. 4.求异面直线所成的角时,点O常取在两条异面直线中的一条上. ‹#› 课堂合作探究 探究点一　求异面直线所成的角 【典例1】(一题多问) 已知如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,解决下列问题. (1)记D为A1B1的中点,AB=BC=BB1=1,AC=,则异面直线BD与AC 所成的角的余弦值是多少? (2)若底面ABC为正三角形,AA1=3,AB=2,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值是多少? (3)若AB=AC=1,∠BAC=,AA1=4,点M为线段AA1的中点,则异面直线BM与B1C1所成角的余弦值是多少? (4)若AA1=AC=BC,且AC⊥BC,记E为BC的中点,则异面直线A1C与C1E所成角的余弦值是多少? ‹#› 【问题解读】(1)取B1C1的中点E,易得∠BDE(或其补角)为异面直线BD与AC所成的角,根据直棱柱的性质结合条件即得. (2)在三棱柱内构造直线使其平行于A1B,然后构造三角形,运用异面直线夹角的定义求解即可. (3)∠MBC或其补角即为异面直线BM与B1C1所成的角,根据余弦定理求解. (4)根据直三棱柱的几何性质,补形成正体,利用异面直线夹角的定义,结合余弦定理,可得答案. ‹#› 【解析】(1)如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE, 所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角,由题可知 BD=EB==,DE=AC=,所以cos∠BDE==, 即异面直线BD与AC所成角的余弦值为. ‹#› (2)取A1C1的中点D,连接BC1交B1C于点E,连接DE,B1D, 则DE∥A1B且DE=A1B,则∠DEB1为异面直线A1B与B1C所成 的角或其补角.易求A1B=B1C=,B1D=, 则DE=B1E=,所以cos∠DEB1===. (3)因为BC∥B1C1,所以∠MBC或其补角即为异面直线BM与B1C1所成的角, 在△MBC中,BM=CM=,BC=,由余弦定理得,cos∠MBC==. ‹#› (4)由题意,可将该三棱柱看作正体的一半,补形如图所示: 记AD的中点为F,连接A1F,CF,EF.因为在正形ACBD中,E,F分别是BC,AD的中点, 所以EF∥AC,EF=AC,又A1C1∥AC,A1C1=AC,所以EF∥A1C1,EF=A1C1, 故四边形A1C1EF是平行四边形,则A1F∥C1E, 则∠FA1C为异面直线A1C与C1E的夹角或其补角. 设该正体的棱长为2,在Rt△AA1F中,A1F===. 在Rt△ACF中,CF===, 在Rt△ACA1中,A1C==2,在△A1CF中,cos∠CA1F==. ‹#› 【类题通法】 求两条异面直线所成的角的一般步骤及注意问题 (1)一般步骤 ①构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形的中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角. ②证明:证明作出的角就是要求的角. ③计算:求角度,常利用三角形. ④结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角. ‹#› (2)注意问题 ①作异面直线所成的角时,要选择恰当的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的一个特殊点. ②由于异面直线所成角的范围是大于0°且小于等于90°,因此平移所作出的角不一定恰好是所求的角,因此要说明此角是异面直线所成的角或是其补角. ‹#› 【定向训练】 1.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,AB=,E是PC的中点,则异面直线PA与BE所成的角为(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.连接AC,BD相交于点O,连接OE,则O是AC,BD的中点, 故OE∥PA,故∠BEO即为异面直线PA与BE所成的角或其补角, 由于PA=2,AB=,故BD=2,OE=PA=1, OB=BD=1,由于cos ∠PCB==, 故BE===, 故BE2=OE2+BO2,所以OE⊥OB,结合OE=OB,故∠BEO=,即异面直线PA与BE所成的角为. √ ‹#› 2.如图,在圆柱OO1中,AB是底面圆O的直径,点P为半圆弧AB上一点,AA1是圆柱的母 线.已知AP=,BP=1,圆柱的体积为3π.求异面直线A1P与AB所成角的余弦值. 【解析】连接A1B1(图),由题意知A1B1∥AB, 则异面直线A1P与AB所成角即为∠PA1B1, 由圆锥的体积为3π,易得BB1=AA1=3, 所以A1P===2, 在△PA1B1中,又A1B1=AB=2,B1P===, 所以cos ∠PA1B1==. 则异面直线A1P与AB所成角的余弦值为. ‹#› 探究点二　空间两直线垂直 【典例2】(一题多解) 如图所示,正体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF. 【思维导引】转化为利用直线垂直判定定理求解. ‹#› 【证明】法一:如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G, 连接OG,A1G,C1G. 则OG∥B1D,EF∥A1C1. 所以∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. 因为GA1=GC1,O为A1C1的中点,所以GO⊥A1C1. 所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.所以DB1⊥EF. ‹#› 法二:如图所示,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE DB1. 于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角. 连接HF,设AA1=1,则EF=,HE=,取A1D1的中点I,连接HI,IF,则HI⊥IF. 所以HF2=HI2+IF2=. 所以HF2=EF2+HE2. 所以∠HEF=90°.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°. 所以DB1⊥EF. ‹#› 【类题通法】 求角证线线垂直 平移求角:求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面,也就是通过平移直线至相交位置求角,有如下“口诀”: 中点、端点定顶点,平移常用中位线; 平行四边形中见,指出成角很关键; 求角构造三角形,锐角、钝角要明辨; 平行线若在外,补上原体在外边. ‹#› 【定向训练】 如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是 AB,CD的中点,EF=.求证:AD⊥BC. 【证明】如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH. 因为E是AB的中点,且AD=2, ‹#› 所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1. 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角. 因为EF=,所以EH2+FH2=EF2, 所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边, 所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°, 所以AD⊥BC. ‹#› 课堂学业达标 1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与直线c (　　) A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 【解析】选B.因为a⊥b,b∥c,所以a⊥c. √ ‹#› 2.在正体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线中与AD1成60°的有 (　　) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 【解析】选C.如图所示, 在正体ABCD-A1B1C1D1中,△AD1B1是等边三角形,故B1D1,AB1与AD1所成的角是 60°,同理△ACD1也是等边三角形,AC,CD1与AD1也成60°角,则在面对角线中, 与AC,CD1,B1D1,AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角. √ ‹#› 3.一个正体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正体的顶点,则在原来的正体 中 (　　) A.AB∥CD B.AB与CD相交 C.AB⊥CD D.AB与CD所成的角为60° 【解析】选D.还原成正体如图, 因为AB∥DE,所以∠CDE是AB与CD所成角, 因为CD=DE=CE,所以∠CDE=60°, 所以在原来的正体中AB与CD所成的角为60°. √ ‹#› 4.一个长体的平面展开图如图所示,其中AB=4,AD=2,DH=,点M为AB的中点, 则将该长体还原后,AH与CM所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. √ ‹#› 【解析】选B.将该长体还原后的直观图如图所示, 取CD的中点N,易证AN∥CM,所以由图知,∠HAN即为异面直线AH与CM所成的角, 可得AN=CM=2,AH=HN=,所以由余弦定理得cos∠HAN==. ‹#› 5.在正体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,则EF和 CD所成的角是　　　　.  【解析】连接B1D1,AD1,则E为B1D1的中点,F为AD1的中点,连接AB1,则EF∥AB1, 又CD∥AB,所以∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角,∠B1AB=45°. 答案:45° ‹#› $