2025-2026学年人教版八年级下册期末复习：压轴题精选

**基本信息** 以压轴题精选为载体，系统整合二次根式、勾股定理、四边形、一次函数四大模块，通过材料阅读提炼解题方法，构建从概念到综合应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|多题|双重根式化简（完全平方转化）、分母有理化、换元法|从互逆运算概念到坐标系综合应用| |勾股定理|多题|折叠对称性质、面积法证明、最短路径（对称点转化）|从基本计算到折叠与路径问题| |四边形|多题|正方形/矩形折叠、中位线定理、全等证明|从特殊四边形性质到动态折叠应用| |一次函数|多题|行程图像分析、平行四边形存在性、面积割补法|从函数图像到综合几何应用|

2025—2026学年人教版八年级下册期末复习：压轴题精选 【二次根式】 1. （25-26八年级下·广东珠海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构， 直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 2. （24-25八年级下·安徽安庆·期末）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)是正整数，，且，求； (3)已知，求的值． 3. （25-26八年级下·全国·期末）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中 的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫作分母有理化．我们把叫作的有理化因式，叫作的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：． 4. （25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 5. （25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做 完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 6. （25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3） 计算：． 7. （25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 8. （24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找 到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【勾股定理】 9. （25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 10. （25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2) 连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 11. （25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方 形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 12. （25-26八年级上·广东佛山·期末）综合应用 已知：直角三角形纸板中，． (1)如图1，点在边上，将沿折叠，点落在点处．当时，线段的长度是多少？ (2)如图2，点是边上一动点（不与点A，C重合），将沿折叠，点落在点处．当与的边垂直时，线段的长度是多少？ (3)如图3，点为边的中点，点为边上一动点，将沿折叠，点落在点处．记的中点为，连接、．在点从点运动到点的过程中，的最小值是多少？ 13. （25-26八年级上·四川成都·期末）如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连 接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (3) 连接，当时，求的值． 14. （25-26八年级上·山东青岛·期末）折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动 手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 15. （26-27八年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 （）如图，在中，，平分，过点作．若，则的长为 ； （）如图，点，两点分别在线段和轴上，求的最小值； 【问题解决】 （）如图，某大型工厂生产区域内，有一个直角三角形场地，在处分别设有两条生产流水线．某员工需要从点出发到达流水线上的任意一点，取一零件当场加工后，放回到流水线上任意一点，其中，米，米，．为了便于确定点的位置，以为原点，所在的直线为y轴，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点B的坐标为．为节约时间，要求员工行走路程最短，请你根据以上信息，求出符合要求的点的具体位置（坐标）． 16. （25-26八年级上·广东深圳·期末）【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (4) 求出代数式的最小值． 【四边形】 17. （25-26八年级下·河南漯河·期中）综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片 换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． (1)【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． (2)【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． (3)【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 18. （22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图1，四边形是正方形，，分别是边，上的点，连接， 作于点，延长交边于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，若，，则的长为 ． 19. （24-25八年级下·北京·期中）已知，在正方形中，点O是对角线的中点，点E是上一动点（不 与点B，D，O重合），作交直线于点F． (1)如图，当点E在线段上时． ①证明：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； (2) 直接写出线段，，的数量关系． 20. （24-25八年级下·安徽合肥·期末）【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 21. （24-25八年级下·湖北咸宁·期末）【问题背景】：张老师在讲解完“中位线定理”，提出了一个问题：如图1，在 中，D为的中点，，求证：E为的中点．小睿给出分析思路：如图2，过点E作交于点F，则四边形的形状为____，通过证明与全等，可得． (1)【尝试证明】：请填空，并参照小睿的思路，利用图2完成证明过程； (2)【拓展应用】：如图3，正方形中，于点M，点H在上，，过点H作交于点G， ①证明：； ②若，，则的长为______． 22. （25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于 直线l的对称点为，且点恰好在上． (1)当点是中点时，的长为_____； (2)连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 23. （25-26八年级下·全国·期末）如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点 从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P和点B重合时，线段的长为_______； (2)如图2，当点P在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 【一次函数】 24. （25-26八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业 落在家里了，便骑车追赶李华，图中分别表示了两人离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为______，爸爸骑车的速度为______； (2)求出的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义． (3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 25. （25-26八年级上·安徽合肥·期末）妈妈骑车从家出发到距家米的超市买菜，同时菲菲也放学从学校步行往 家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间）．分钟后菲菲和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了菲菲，妈妈到家分钟后菲菲才到家．如图是两人离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)________；________； (2)请直接写出妈妈离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系式________； (3)求菲菲与妈妈恰好相距米时x的值． 26. （25-26八年级上·江苏盐城·期末）绿波带交通控制方案问题 绿波带是这样一段路：车辆以特定范围匀速行驶时，能连续通过多个绿灯． 如图1，在某段道路上依次有A、B、C、D 四个路口，路口B、C、D和路口A的距离分别为1200米、2100米、3600米． 各路口的交通灯设置及启动时间如下：各路口的绿灯持续30秒，红灯持续30秒，黄灯时长忽略不计，红灯和绿灯依次交替亮起，循环往复．在路口A绿灯亮起10秒后， C、D路口的绿灯同时亮起；A路口的绿灯亮起30秒后路口B的绿灯亮起． 如图2，若汽车在第0秒出发，以“时间”为横轴，“距离”为纵轴，绘制各路口红绿灯时序带（实线段为绿灯时段，虚线段为红灯时段）． (1)CD路口距离 米；在平面直角坐标系中，写出坐标 ； (2)作射线， ①求该射线表示的汽车行驶距离S与行驶时间t的函数关系式； ②通过读图，直接判断该车到达D路口时，路口亮着 （填“红灯”或“绿灯”）； (3) 汽车在城市道路安全行驶速度．在（2）的基础上，为了让汽车能绿灯通过D路口，需要在C路口处调整车速，求调整后汽车速度V的取值范围． 27. （25-26八年级上·山东青岛·期末）一条公路上依次有A，B，C三地．一辆轿车从地出发途径地接人，停留 一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车到各自出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中的值是___________，的值是___________； (2)在货车从地返回地的过程中，求货车距出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位：）之间的函数关系式； (3)求轿车从出发到与货车相距的时间． 28. （25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直 线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 29. （25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B， 直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得以C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 30. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 31. （25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴 正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32. （24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、 D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 33. （21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经 过点的一次函数的图象相交于点，点的横坐标为3，直线与轴相交于点． (1)直线的函数表达式为______；（直接写出结果） (2)点为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 34. （25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，点 在一次函数图象上，垂直轴于点，点为线段上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)求，的值； (2)是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当、、或者、、不共线时，请直接写出，和之间的数量关系． 35. （25-26八年级上·四川达州·期末）已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的 对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形． (1)①求的值；②判断的形状，并说明理由； (2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年人教版八年级下册期末复习：压轴题精选 【二次根式】 1. （25-26八年级下·广东珠海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念． （1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可； （2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可； （3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可． 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 2. （24-25八年级下·安徽安庆·期末）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)是正整数，，且，求； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由阅读材料中的分母有理化方法，将式子中的各项分母有理化，再合并同类二次根式化简，最后有有理数运算计算即可； （2）先由阅读材料中的分母有理化方法化简，再将恒等变形为，代入化简后的得到，直接开平方求出值即可； （3）先将两边同时平方得到，再计算，结合二次根式非负性，求算术平方根即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ， 由可得，即， 则或， 解得或， 由是正整数可知，舍去， ； （3）解：， ， 则， ， ， ， 则． 3. （25-26八年级下·全国·期末）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫作分母有理化．我们把叫作的有理化因式，叫作的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：． 【答案】(1) (2)2024 【分析】分母有理化的原理是通过平方差公式和同类最简二次根式的平方为有理数，来对分母有理化，根据题目中的计算方式进行计算即可 【详解】（1）解：； （2）解：，， 同理，可得： 原式 ． 4. （25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5. （25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义结合二次根式的性质进行化简即可； （3）①根据新定义推出，进而推出或或，进而得到当的值最小时，有最小值，即可得出结果；②将转化为，根据是整数，得到，得到，再进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； 故满足要求的是①③； （2）解：原式 ； （3）解：① 是“完全平方根式”， ， 又，且为正整数 或或， 当的值最小时，有最小值， ， ， ②， 为正整数，是整数， ，即， ， ， ， ， 当时，，原式； 当时，，原式． 6. （25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键． （1）将配方成，即可得到答案； （2）将配方成，即可得到答案； （3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 7. （25-26八年级上·广西桂林·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 8. （24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 【勾股定理】 9. （25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【答案】(1)16，5 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键． （1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题； （2）①证和全等，即可得出结论； ②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 10. （25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)或 【分析】（1）①利用折叠的性质和勾股定理求解即可． ②先求出，由折叠的性质得出，设，，然后根据勾股定理建立方程求解即可进一步得出答案． （2）分两种情况，当和当，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在中，， ∴． ②∵，． ∴， 由折叠的性质可知， 设，， 在中，， 即， 解得， 故，． （2）解：分两种情况： 当时，如下图： 在中，， 由折叠的性质可知， 设， 在中，． 当时，如下图： 则， 由折叠的性质可知， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 综上：的值为或． 11. （25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 12. （25-26八年级上·广东佛山·期末）综合应用 已知：直角三角形纸板中，． (1)如图1，点在边上，将沿折叠，点落在点处．当时，线段的长度是多少？ (2)如图2，点是边上一动点（不与点A，C重合），将沿折叠，点落在点处．当与的边垂直时，线段的长度是多少？ (3)如图3，点为边的中点，点为边上一动点，将沿折叠，点落在点处．记的中点为，连接、．在点从点运动到点的过程中，的最小值是多少？ 【答案】(1)3.2 (2)2或5 (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求得的长，根据折叠性质得到即可求解； （2）分为当时和当时两种情况，利用折叠性质和勾股定理，以及等腰三角形的判定分别求解即可； （3）取的中点，连接，证明得到，则，可得当T、H、B三点共线时，有最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如答图1，在Rt中，， 即 解得 ∵折叠 的长度为3.2 ； （2）解：①如答图2，根据题意，分两种情况： 当时， 由折叠可知，， ， ， ， ， ； ②如答图3，当时，则 由折叠可知，， ， 设，则， 在Rt中，， ， 解得， ， 综上所述：的长度为2或5 ； （3）解：如答图4，取的中点，连接， 由折叠可知，， ， ， 分别是的中点， ， 又， ， ， ∴当T、H、B三点共线时，有最小值， 最小值． 的最小值为． 【点睛】本题考查折叠性质、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握折叠性质和相关知识的联系与运用是解答的关键． 13. （25-26八年级上·四川成都·期末）如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (2)连接，当时，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠，熟练掌握以上知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）①由长方形得到，，，则，根据翻折，得到，即可得； ②，则，，在中，，代入解方程得，过作于，根据求出，再证明得到； （2）点E在线段或线段延长线分情况讨论，过点作于点M，延长交于点N，则，，，设，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）①证明：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴， ∵将沿着翻折，B点的对应点为， ∴，， ∴，即， ∴； ②解：设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，则， 过作于， ∴， ∴， ∴； （2）解：分两种情况： 当点E在线段上时，过点作于点M，延长交于点N，如图： ∴四边形是矩形， ∴，，， 根据翻折的性质得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 当点E在射线的延长线上时， 同理可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 综上可得的值为． 14. （25-26八年级上·山东青岛·期末）折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 【答案】（1）；（2）；（3）图见解析，说明见解析；（4）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，再由折叠的性质即可求出的长； （2）由折叠的性质可得， ， ，，利用勾股定理可得，可证明得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，再利用勾股定理求出的长即可； （3）将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，由勾股定理可得 ，则线段即为所求； （4）将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，由折叠的性质可得，由勾股定理得则线段即为所求． 【详解】解：（1）在中，， ∴， 由折叠的性质可得； （2）由折叠的性质可得， ， ，， ∵， ∴，， ∴； 同理可得， ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）如图3所示，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，则线段即为所求； （4）如图4所示，折叠将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，则线段即为所求． 15. （26-27八年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 （）如图，在中，，平分，过点作．若，则的长为 ； （）如图，点，两点分别在线段和轴上，求的最小值； 【问题解决】 （）如图，某大型工厂生产区域内，有一个直角三角形场地，在处分别设有两条生产流水线．某员工需要从点出发到达流水线上的任意一点，取一零件当场加工后，放回到流水线上任意一点，其中，米，米，．为了便于确定点的位置，以为原点，所在的直线为y轴，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点B的坐标为．为节约时间，要求员工行走路程最短，请你根据以上信息，求出符合要求的点的具体位置（坐标）． 【答案】 （）； （）； （）点． 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，将军饮马模型，坐标与图形，确定最小值是解题关键． （）由角平分线的性质可得，再由勾股定理即可求解； （）当三点共线，且时，有最小值为，证明得出； （）过点作，此时最小，过点作，利用等面积求出，进而求出即可解答． 【详解】解：（）∵，平分，． ∵， ∴， 在中，， 故答案为：； （）当三点共线，且时，有最小值，如图， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为：； （）过点作，此时有最小值，过点作，如图， ∵． ∴， ∵点的坐标为，点B的坐标为， ∴米，米， ∴米， ∴， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴点． 16. （25-26八年级上·广东深圳·期末）【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，利用点的坐标的特征和勾股定理解答即可； （2）构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可； （3）在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，如图， 则，， ∴． 故答案为：5； （2）解：构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴当取得最小值时，的最小值的最小值． 作点E关于直线的对称点，连接，交于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， 则，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图， 则，，，， ∴，， ∴代数式的最小值的最小值， 作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， ∴ 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，关于x轴对称的点的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【四边形】 17. （25-26八年级下·河南漯河·期中）综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． (1)【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． (2)【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． (3)【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)是等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再根据 即可得解． （2）连接，由折叠的性质结合正方形的性质证明可求，再证明，可得，进而得证； （3）分两种情况讨论，或2，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， 由（1）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； （3）解：点H是边的三等分点， 或2； 由（2）知，， ， 由折叠可知， 当时，则， 设，则， ， 在中，， ， 解得 ， ， 当时，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 18. （22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图1，四边形是正方形，，分别是边，上的点，连接，作于点，延长交边于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，若，，则的长为 ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，从而得到，，由，得到，从而得到进而得出； （2）作交延长线于，则，从而得到，由正方形的性质可得，从而得到，由四边形的内角和定理可得，由，可得，通过证明，可得，，再由勾股定理可得，从而即可得到答案； （3）作于点，连接，由得，，再，进而证明，得，由，得，可求得，则，，由，求得，则，，所以，于是得，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，   ，四边形是正方形， ，， ，， ， ， ． ， ； （2）解：， 作交延长线于，   ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ； （3）解：如图，作于点，连接，   ， 则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 19. （24-25八年级下·北京·期中）已知，在正方形中，点O是对角线的中点，点E是上一动点（不与点B，D，O重合），作交直线于点F． (1)如图，当点E在线段上时． ①证明：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； (2)直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)①证明：过点E作于点M，点E作于点N， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：线段，，的数量关系，理由如下： 连接， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①过点E作于点M，点E作于点N，先证明四边形是正方形，得到，再证明，从而得出结论； ②连接，证明四边形是正方形，再证明，，可证，根据，即可得证． （2）分点E在线段上，点E在线段上两种情况，分别求解求得线段，，的数量关系． 【详解】（1）①略； ②略； （2）解：或．理由如下： 当点E在线段上时，过点E作于点G， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 当点E在线段上（不含O，B）时，过点E作于点J，于点G，的延长线交于点H，连接， ∵E在正方形的对角线上， ∴，，， ∴， ∴， 与（1）同理可证：， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 在正方形中，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴． 20. （24-25八年级下·安徽合肥·期末）【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是矩形，垂直平分线段， ， 由折叠的性质可知：，， 取的中点H，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用正方形性质，以及轴对称性质推出，再结合平行线性质求解，即可解题； （2）根据矩形性质，以及垂直平分线性质推出，由折叠的性质得到，取的中点H，连接，证明是等边三角形，结合等边三角形性质，等腰三角形性质，以及直角三角形性质求解，即可解题； （3）连接，由折叠的性质可知：，推出，为等边三角形，进而证明四边形是菱形，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，推出，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可知：， ， ； （2）略 （3）解：连接， ， 由折叠的性质可知：，， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ，为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， 在平行四边形中，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． 21. （24-25八年级下·湖北咸宁·期末）【问题背景】：张老师在讲解完“中位线定理”，提出了一个问题：如图1，在中，D为的中点，，求证：E为的中点．小睿给出分析思路：如图2，过点E作交于点F，则四边形的形状为____，通过证明与全等，可得． (1)【尝试证明】：请填空，并参照小睿的思路，利用图2完成证明过程； (2)【拓展应用】：如图3，正方形中，于点M，点H在上，，过点H作交于点G， ①证明：； ②若，，则的长为______． 【答案】(1)平行四边形； 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即E为的中点． (2)①证明：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴点为的中点， ∵，， ∴， 由（1）知，点为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②． 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和全等三角形的判定定理解题即可； （2）①结合（1）中的结论，证明，进而证明； ②设正方形的边长为，则，可求出正方形的边长，根据计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：①略； ②设正方形的边长为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知为的中位线， ∴， ∴． 22. （25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于直线l的对称点为，且点恰好在上． (1)当点是中点时，的长为_____； (2)连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 【答案】(1) (2)①如图所示，过点作于点， ∴， ∵折叠， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 在中， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ② 【分析】（1）过点作，交于点，证明，由勾股定理可得，即可得出结果； （2）①过点作于点，证明，再证明，从而，再证明即可； ②设，则，，求得，则，得出，设，得出，整理得，解得，，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在正方形中，， ∵折叠， ∴，垂足为点， ∴，垂足为点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为： （2）解：①略 ②根据上述证明得到， ∴， 设，则， ∴， ∵的面积为， ∴，则， 在中，， ∴，整理得，， 设， ∴，整理得，， 解得，， ∴． 23. （25-26八年级下·全国·期末）如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P和点B重合时，线段的长为_______； (2)如图2，当点P在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 【答案】(1)13 (2)解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）连接，求出，，由勾股定理可得结果； （2）过点作 于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （3）当点在上时，当，重合时符合题意， 由建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴，， 在中，； （2）略 （3）解：当点在上时， ∵点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 【一次函数】 24. （25-26八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，便骑车追赶李华，图中分别表示了两人离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为______，爸爸骑车的速度为______； (2)求出的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义． (3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 【答案】(1)60米/分，180米/分． (2)，爸爸骑车的速度为180米/分． (3)能追上 【分析】本题主要考查了函数图像、求函数解析式、一次函数的实际应用等知识点，从函数图像上获取所需信息是解题的关键． （1）根据速度等于路程除以时间并结合图像可得点A、点B表示的实际意义列式计算即可； （2）先利用待定系数法求得函数表达式，由（1）爸爸的骑车速度即可确定一次项系数的实际意义； （3）先求得的函数表达式，与函数表达式联立求得相遇时间，再求出李华的行走距离，然后与1200比较即可解答． 【详解】（1）解：李华步行的速度为米/分， 爸爸骑车的速度为米/分， 故答案为：60米/分，180米/分． （2）解：由题意设的表达式为， ∵当时，；当时，． ∴，解得：， ∴的表达式为． 由（1）可得：爸爸骑车的速度为180米/分． 所以该表达式中一次项系数的实际含义为爸爸骑车的速度为180米/分． （3）解：由题意设的表达式为， ∵当时，， ，解得：， ∴的表达式为， 当时，解得：， 把代入，得：， ， ∴能追上． 25. （25-26八年级上·安徽合肥·期末）妈妈骑车从家出发到距家米的超市买菜，同时菲菲也放学从学校步行往家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间）．分钟后菲菲和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了菲菲，妈妈到家分钟后菲菲才到家．如图是两人离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)________；________； (2)请直接写出妈妈离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系式________； (3)求菲菲与妈妈恰好相距米时x的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)菲菲与妈妈恰好相距米时x的值为，，． 【分析】（1）由题意直接求出；先求出妈妈的速度，再求出妈妈到超市的时间，再加上购物时间即可求出； （2）分别求出当时， 当时， 当时妈妈离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式即可求解； （3）用待定系数法求出菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式，再根据菲菲与妈妈恰好相距米分段列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解： 由题意可知，； 妈妈的速度为：（米/分）， 妈妈到超市所用时间为：（分钟）， 妈妈到达超市后花分钟买菜， ， 故答案为：，； （2）当时，， 当时，， 当时，设y与x的解析式为， 把和代入解析式得：， 解得：， ， 综上所述，y与x的解析式为； （3）设菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式为， 把和代入解析式得：， 解得：， 因此菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式为； 妈妈在去往超市的过程中：， 解得：或； 妈妈在回家过程中：， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，菲菲与妈妈恰好相距米时x的值为，，． 【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 26. （25-26八年级上·江苏盐城·期末）绿波带交通控制方案问题 绿波带是这样一段路：车辆以特定范围匀速行驶时，能连续通过多个绿灯． 如图1，在某段道路上依次有A、B、C、D 四个路口，路口B、C、D和路口A的距离分别为1200米、2100米、3600米． 各路口的交通灯设置及启动时间如下：各路口的绿灯持续30秒，红灯持续30秒，黄灯时长忽略不计，红灯和绿灯依次交替亮起，循环往复．在路口A绿灯亮起10秒后， C、D路口的绿灯同时亮起；A路口的绿灯亮起30秒后路口B的绿灯亮起． 如图2，若汽车在第0秒出发，以“时间”为横轴，“距离”为纵轴，绘制各路口红绿灯时序带（实线段为绿灯时段，虚线段为红灯时段）． (1)CD路口距离 米；在平面直角坐标系中，写出坐标 ； (2)作射线， ①求该射线表示的汽车行驶距离S与行驶时间t的函数关系式； ②通过读图，直接判断该车到达D路口时，路口亮着 （填“红灯”或“绿灯”）； (3)汽车在城市道路安全行驶速度．在（2）的基础上，为了让汽车能绿灯通过D路口，需要在C路口处调整车速，求调整后汽车速度V的取值范围． 【答案】(1)1500； (2)①；②红灯 (3)或 【分析】本题主要考查了线段的和差、平面直角坐标系、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据线段的和差以及平面直角坐标系即可解答； （2）①先根据题意画图，再运用待定系数法即可求得函数解析式；②由（1）的结论易得该汽车的行驶速度为，可得当该车到达D路口时，用时，再结合函数图像即可解答； （3）D路口绿灯时段为秒、秒，然后分两种情况并结合安全速度即可解答． 【详解】（1）解：∵路口B、C、D和路口A的距离分别为1200米、2100米、3600米． ∴米，米， ∴米． 由图2可知：的横坐标为，纵坐标为2100，即． 故答案为：1500；． （2）解：①如图： 该射线表示的汽车行驶距离S与行驶时间t的函数关系式，即，解得：， 所以； ②∵， ∴该汽车的行驶速度为， ∴当该车到达D路口时，用时， ∵， ∴直线与的交点位于上，即此时为红灯． （3）解：汽车在第70秒到达C路口，行驶距离米． 为了绿灯通过D路口，需在C路口调整车速，使到达D路口时处于绿灯时段． D路口绿灯时段为秒、秒， 汽车在秒到达C路口，从C到D距离为米． 若要赶上秒的绿灯： 最晚到达时间秒，从C到D用时秒， ∴速度， ∵安全行驶速度：， ∴． 若要赶上秒的绿灯： 最早到达时间秒，从C到D用时秒， ∴速度， ∵安全行驶速度：， ∴． 综上，调整后汽车速度V的取值范围为或． 27. （25-26八年级上·山东青岛·期末）一条公路上依次有A，B，C三地．一辆轿车从地出发途径地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车到各自出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中的值是___________，的值是___________； (2)在货车从地返回地的过程中，求货车距出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位：）之间的函数关系式； (3)求轿车从出发到与货车相距的时间． 【答案】(1)300，2 (2) (3)轿车出发或或与货车相距 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，根据路程、时间和速度求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，几种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，A、B两地之间的距离为，B、C两地之间的距离为， ， ， 轿车的速度为， ， 根据图象，得， 解得． 故答案为：300，2； （2）解：∵， ， ∵， ， 货车的速度为， 则， ∴在货车从地返回地的过程中，货车距出发地的距离（单位：km）与行驶时间（单位：）之间的函数解析式为． （3）①当时，得， 解得， ②当时，两车之间的距离一直在减小，且总是小于， ③当时，得， 解得， ④当货车到达，轿车离C地时，， 解得． ∴轿车出发或或与货车相距． 28. （25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 【答案】(1) (2)或， (3)或 【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得； （2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点，的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）设点的坐标为．由点在直线上，求出或．再求出相应的的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：，解得， 点坐标为； 故答案为：； （2）解：将代入直线得：， ， ， 将点代入直线得： ， 解得， 直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ， ， 要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ， 解得或， 当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； （3）解：设点的坐标为． ∵点在直线上， 解得， 即或． 当时，，解得，此时点坐标为； 当时，，解得，此时点坐标为． 所以点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像上点的坐标特征、平行四边形的判定等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 29. （25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得以C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．或． 【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法进行解答即可； （2）过点D作轴于点E，根据面积关系、等腰直角三角形的判定和性质解得．证明是等腰直角三角形，得到，即可求出答案； （3）分两种情况根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， ， 设直线的解析式为，把， 代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点H， 在中，令，得， ， ． ，， ，， ． ， ，． ， ． ， ，解得． ，， ．轴， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）理由如下：D由（2）知，． ①四边形为平行四边形时，，即轴，， ，在中，令得． ， ， ， ； ②四边形为平行四边形时，由①可得，． 综上，以点C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，或． 30. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为 (2) (3)， 【分析】（1）先求出的坐标，作轴，作轴，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，作轴，进而求出点的坐标，再利用面积公式进行计算即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 同理：， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的表达式为； （2）解：∵的图象分别与轴，轴交于点，， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴， 同（1）法可得：， ∴， ∴的面积； （3）解：连接， 当，则， 同（1）法：，， 直线的解析式为， ∵正方形， ∴，， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得； ∴； 延长至点，使，连接，则， ∴， ∴当点为直线与直线的交点时，也满足题意， ∵，，， ∴， 此时点恰好在上，即点与点重合； ∴， 综上：或. 31. （25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形 【分析】（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，即可得出线段的长，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出的长； （2）①设，利用待定系数法直线的解析式为，由，根据代入数值即可求出的值； ②当点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出的值，即可得到点的坐标；当点在轴上方时，点与关于对称，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴， 把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴，则 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； （2）解：①设， ∴在线段上， ∴， 设直线的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当点在轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形． 32. （24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先求得点E坐标，C点坐标，从而得出B点坐标，设直线l1的解析式为：，将点E和点B坐标代入，进一步得出结果； （2）作轴于G，交于H，设，则，从而得出，可求得，，进一步得出结果； （3）先求得直线的解析式为：，设，作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接，，从而得出，当时，可求得的解析式，将点Q坐标代入的解析式，从而得出t，进而得出点Q坐标；同样得出当时的结果． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于G，交于H， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：如图2-1， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设， 作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 当时， 由得，， ∴， ∴直线的解析式为：， 将点代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 如图2-2， 当时， ∵，， ∴直线的解析式为：， 将代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：或． 33. （21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，点的横坐标为3，直线与轴相交于点． (1)直线的函数表达式为______；（直接写出结果） (2)点为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①或；②点的坐标为或 【分析】（1）求出D点坐标，把C、D两点的坐标代入即可解决问题； （2）①分两种情形或分别构建方程即可； ②分两种情形当：点D落在x轴正半轴上（记为点）时，如图2中，当点D落在y轴负半轴上（记为点）时，如图3中，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于， 令，则， ∴， ∵一次函数的图象过，， ∴， 解得， ∴； （2）①直线将的面积分为两部分， 或． 在中，当时，． ． 在中，当时，． ， 如图1中，过点作轴于点， 由（1）知，， ∴． ． 或． 设，由题意知． 过点作轴于点，则． 或． 解得或2． 的坐标为或． ②当点落在轴正半轴上（记为点）时，如图2中． 由（2）知：． 由翻折得． 在和中， ， ， ． 由翻折得． ． 轴． 点的纵坐标为2， 当点落在轴负半轴上（记为点）时，如图3中． 过点作，，垂足分别为点、． 由翻折得． ． 由（2）知，即． ． 在中，由勾股定理，得． ， 解得． ． 综上，点的坐标为或 34. （25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，点在一次函数图象上，垂直轴于点，点为线段上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)求，的值； (2)是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当、、或者、、不共线时，请直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)存在，或或 (3)或或 【分析】本题主要考查一次函数，图形折叠以及直角三角形的相关知识． （1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将点的横坐标代入解析式求出的值即可解答； （2）分三种情况讨论为直角三角形时的情况，即，（点在点上方）和（点在点下方），通过构建直角三角形，利用勾股定理求出点的坐标即可解答； （3）分三种情况讨论：点落在直线和直线之间，点落在直线的上方和点落在直线的下方，通过作辅助线，利用平行线的性质和折叠的性质得出，和之间的数量关系． 【详解】（1）解：把点代入函数得：， 解得， 所以一次函数关系式为， 把代入得， 所以； （2）解：由（1）可知， ∴， ①当时，如图1， 轴，， ， ，， ， 设，则，， 在中，，即， 解得， ， ； ②当且点在点上方时，如图2， 由题易知， 在中，，即，解得， ． 设，则，， 在中，，即， 解得， ， ； ③当且点在点下方时，如图3， 同②可得， ， 为的垂直平分线， 点与原点重合， ， 综上可知，或或； （3）解：当、、或者、、不共线时， ，和之间的数量关系为：或或，理由如下： ①当点落在直线和直线之间时，如图4， 过点作平行于轴， 易知， ，． ； ②当点落在直线的上方时，如图5， 过点作平行于轴， 易知， ，， ； ③当点落在直线的下方时，如图6， 过点作平行于轴， 易知， ，， ， 综上所述，当、、或者、、不共线时， ，和之间的数量关系为或或． 35. （25-26八年级上·四川达州·期末）已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形． (1)①求的值；②判断的形状，并说明理由； (2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②等边三角形，理由见解析 (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）①求出与y轴的交点即可求出b的值；②由轴对称的性质求出点D的坐标，由勾股定理求出，的长即可判断的形状； （2）设点关于直线的对称点为，求出点的坐标，连接，则与直线的交点为点，则当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，与联立求出点P的坐标，进而可求出点F的坐标； （3）分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：①令，则， ， 直线经过点， ； ②是等边三角形，理由如下： 令，则， 解得， ， 点关于轴的对称点是点， ， ，，， ， 是等边三角形； （2）解：， 直线， 令，则， ， 设点关于直线的对称点为， ， ， ， ， ， 连接，则与直线的交点为点， ， 的周长， 当、、三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ， 轴， ， ， 四边形是正方形， ； （3）解：在轴上存在一点，使得是等腰三角形，理由如下： 设， ，，， 当时，， 解得或， 或； 当时，， 解得， ； 当时，， 解得或舍， ； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，正方形的性质，轴对称的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $