精品解析：湖北武汉市七一中学2025-2026学年度下学期中考二模九年级数学试题

九年级数学（二） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，符合题意； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意． 2. 有两个事件，事件（1）：对顶角相等；事件（2）：掷一枚骰子得到的点数为6．下列判断正确的是（ ） A. （1）（2）都是随机事件 B. （1）是随机事件，（2）是必然事件 C. （1）（2）都是必然事件 D. （1）是必然事件，（2）是随机事件 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵对顶角相等是一定成立， ∴事件（1）是必然事件． ∵掷一枚骰子，点数可能为，得到点数6不一定发生， ∴事件（2）是随机事件． 因此选项D判断正确． 3. 如图，是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，该几何体的俯视图是： 4. 2026年“五一”期间，武汉各大景区人气爆棚．据文化和旅游部数据中心统计，全市共接待游客约1885万人次．将数据“1885万”用科学记数法表示是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：1885万． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A．与不是同类项，不能合并，∴A错误． 选项B．，∴B错误． 选项C．，∴C正确． 选项D．，∴D错误． 6. 如图1是健身器材上肢牵引器，在某种状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，图2是其简单示意图．其中，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，根据平行线基本事实的推论，可得，再根据平行线的性质，可得，，最后计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ，， ， ，， ，， ，， ． 7. 随着人工智能时代的到来，某学校开设了涵盖人工智能技术的四门兴趣课程，分别为“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，甲、乙两名同学选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出表格，列举出甲乙两名同学选课的所有可能结果数，即可得到两人选择同一门课程的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得，设“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 由表格可得，两人选课的所有可能结果总数为16种， ∵甲乙选择同一门课程的结果共有4种， ∴． 8. 甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ） A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可． 【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40， 设小亮对应函数图象的解析式为， 将代入解析式得，解得， 小亮对应函数图象的解析式为， 设小莹对应函数图象的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 小莹对应函数图象的解析式为， 令，得， 解得， 小亮与小莹相遇的时刻为8:28． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想． 9. 如图，在中，、为直径上两点，且，，在同一侧的圆周上有不同的两点，，使得，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造直角三角形，利用含角的直角三角形的性质，表示出各线段，根据直径所对的圆周角是直角，构造勾股定理列出方程，求出和的值，最终求出的值． 【详解】解：如图，过点作，过点作，连接，，，， ，， ， 设， 在中，， ，， ， ，， ，， 为直径， ， ， ， 解得：，即； 设， 同理可得，，， ， ，， ，， 同理得，， ， 解得：，即， ． 故选：． 10. 函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可得，当x无限大时，，可得；，当无限小时，，可得． 【详解】解：由图可知，当时，，且x越大，越接近0，即当x无限大时，，则，因为，所以； 当越接近0时，越接近0，即当无限小时，，则，因为，所以； 由上可知，选项D符合题意． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置． 11. 的绝对值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据一个负数的绝对值是它的相反数解答即可得． 【详解】解：的绝对值是2， 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，某反比例函数（k为常数）的图象分别位于第二、第四象限．写出一个满足条件的k的值是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】反比例函数的图象位于第二，第四象限时，比例系数．据此列出不等式得到的取值范围，即可在范围内选取一个满足条件的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第二，第四象限， ∴， 解得， ∴满足条件的可以为（答案不唯一）． 13. 计算：_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，设， 根据题意可得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 即， ∴ 解得， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 15. 用两对全等的直角三角形（，）和正方形拼成如图所示的（无重叠也无缝隙），其中，，记，的面积分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和完全平方公式的应用，通过勾股定理计算出的值，然后计算，将的值整体代入即可求出答案． 【详解】设，，， 则,,, , 即①, ， 即② 得： ， ， ， 又 ． 16. 已知抛物线（a，b，c是常数，），且．下列四个结论： ①抛物线经过定点； ②若，则抛物线经过点； ③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ④一元二次方程有一个根； ⑤点，在抛物线上，若当时，总有，则． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由可得，当时，故抛物线经过定点；结合，二次函数的对称性得出关于直线的对称点为，再把代入整理分析，得出抛物线与x轴不一定有两个不同的公共点；根据以及换元法进行整理，令，方程变形为，由可知是方程的根，得一元二次方程的一个根为，当时，总有，得时随增大而增大，结合二次函数的图象性质以及不等式的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线，，且， ∴当时，， 对任意满足条件的，时恒成立，故抛物线经过定点， 故①符合题意； ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线过， 由抛物线对称性，关于直线的对称点为， ∴抛物线经过点， 故②符合题意； 依题意，抛物线与轴交点的判别式， ∵， ∴， 代入得：， 当时，，抛物线与轴只有一个公共点， 当时，，抛物线与轴有两个公共点， 即抛物线与x轴不一定有两个不同的公共点 故③不符合题意； ∵， ∴移项变形得， 令，方程变形为， 由可知是方程的根， 即， 解得， ∴一元二次方程的一个根为， 故④符合题意； 当时，总有， ∴时随增大而增大， 因此抛物线开口向上，且对称轴， 将代入得， ∵， ∴不等式两边乘不等号方向不变，得， 整理得，与不符， 故⑤不符合题意； 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： ∴不等式组的解集为：. 18. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，． （1）求证：； （2）连接，请添加一个条件_____，使四边形为菱形，不需要说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴． （2）或 【解析】 【分析】（1）根据平行线得到角相等，再由证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再添加对角线互相垂直或一组邻边相等即可证明为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴当或时，四边形为菱形． 19. 某校检测学生跳绳水平，抽样调查了部分学生的“分钟跳绳”成绩，并将成绩分为如下五组（：；：；：；：；：，单位：次数）进行统计，绘制了如下频数分布直方图和扇形图．根据数据，解答下列问题． （1）本次抽取的学生人数是_____人； （2）补全频数分布直方图； （3）本次调查数据中的中位数落在_____组； （4）如果“分钟跳绳”成绩大于或等于次为优秀，那么该校名学生中“分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？ 【答案】（1） （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】用组人数除以其百分比即可求解； 根据的结果求出组人数，再补全频数分布直方图； 根据中位数的定义解答即可求解； 用样本估计总体的方法解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴本次抽取的学生人数是人； 【小问2详解】 解：成绩在组的人数为， 补全频数分布直方图略； 【小问3详解】 解：∵共抽取了名学生的成绩， ∴成绩由低到高排列，中位数为第位和第位成绩的平均数， ∵组的频数为，组的频数为， ∴第位和第位的成绩落在组， ∴本次调查数据中的中位数落在组； 【小问4详解】 解：（人）， 答：该校名学生中“分钟跳绳”成绩为优秀的大约有人． 20. 如图，是的直径，点在直径上，，，连接，与相交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若点是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由已知条件推出，由垂直得，同圆半径相等推出，等量代换得的角从而证出是的切线； （2）连接，由是的直径，得，由中点定义得线段相等，进一步用勾股定理求线段长，再用三角形相似求比例线段从而求出的长。 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， ． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格内完成下列画图任务，每个任务的画线不得超过五条． （1）在图1中，先画；连接，在线段上画一点E，使得； （2）在图2中，先画线段，使且；点P是线段上的任意一点，在上画一点G，使得． 【答案】（1）解：如图，，点即为所求； （2）解：如图，，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据平移思想，确定点的位置，画出；根据，得到，借助网格和相似三角形，确定点的位置即可； （2）通过构造全等三角形，确定点的位置，连接，作点关于的对称点（通过相似确定点为小正方形一边的中点，得到，，进而得到，平行线分线段成比例，得到关于对称），连接，与的交点即为点.（根据对顶角相等，三线合一，得到） 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 23. 【问题背景】： 将沿着翻折得到，延长、交于点E，点M为延长线一点，交延长线于点N，交于点P． （1）【问题探究】：如图1，若，点C为的中点，求证：； （2）【问题延伸】：如图2，若，点C为的中点，，，求的长； （3）【综合应用】：如图3，若，，直接写出的值________． 【答案】（1）证明：由翻折得，， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 又∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由翻折得，，根据点C为的中点推出，根据平行线的性质得到，可知，证明，即可证明； （2）由翻折得，，，根据点C为的中点推出，根据平行线的性质得到，进而得到，证明，得到，，进而证明，得到，，证明，得到，进而可知； （3）延长交的延长线于点F，证明得，设，则，，由面积法证明，设，则，，证明，求出，进一步求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由翻折得，，， ∵是中点， ∴． ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴​， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点F， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴． 由折叠的性质得，，，，， ∴，点C到和的距离相等，设为． 设点B到的距离为， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 已知抛物线经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为上方抛物线上一点，于点，若，求点的横坐标； （3）如图2，若抛物线顶点为，点为轴下方抛物线上任意一点，过作直线（直线不与轴垂直）与抛物线仅有一个公共点，在抛物线对称轴上的下方是否存在一点，使得直线与分别交于点，且为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）点的横坐标是或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将，代入即可求得解析式； （2）作的中点，连接．设，，根据已知条件用表示出点坐标并求出的直线方程，将点坐标代入求出，即得到点的横坐标； （3）先求出顶点的坐标，设，设过点一条直线方程为，，联立方程求出的关系，用含的式子表示的解析式，与抛物线联立求出的坐标，分别过作，交抛物线对称轴于点，根据为定值求出，即得点坐标． 【小问1详解】 解：将，代入得 ， ，， 抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：作的中点，连接．设，， 由，令，得， ， 又， ， ，且， ，且， 且， 由是的中点，得， ，同理，即， 且，由平移得：，， ，设的直线方程是， 则， ，． 的直线方程是 将代入得， 解得：，， 点的横坐标是或． 【小问3详解】 解：由得顶点的坐标，设， 设过点一条直线方程为，． 联立得：， ∵过的直线（直线不与轴垂直）与抛物线仅有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根，且这个实数根是， ，， ，， ， ，．设的直线方程为， ， ，． ， 同理：， 联立得， 同理， 分别过作，交抛物线对称轴于点， 为定值， 则， ， ，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（二） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有两个事件，事件（1）：对顶角相等；事件（2）：掷一枚骰子得到的点数为6．下列判断正确的是（ ） A. （1）（2）都是随机事件 B. （1）是随机事件，（2）是必然事件 C. （1）（2）都是必然事件 D. （1）是必然事件，（2）是随机事件 3. 如图，是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年“五一”期间，武汉各大景区人气爆棚．据文化和旅游部数据中心统计，全市共接待游客约1885万人次．将数据“1885万”用科学记数法表示是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1是健身器材上肢牵引器，在某种状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，图2是其简单示意图．其中，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 随着人工智能时代的到来，某学校开设了涵盖人工智能技术的四门兴趣课程，分别为“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，甲、乙两名同学选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ） A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35 9. 如图，在中，、为直径上两点，且，，在同一侧的圆周上有不同的两点，，使得，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置． 11. 的绝对值是______． 12. 在平面直角坐标系中，某反比例函数（k为常数）的图象分别位于第二、第四象限．写出一个满足条件的k的值是_____． 13. 计算：_____． 14. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）． 15. 用两对全等的直角三角形（，）和正方形拼成如图所示的（无重叠也无缝隙），其中，，记，的面积分别为，，则________． 16. 已知抛物线（a，b，c是常数，），且．下列四个结论： ①抛物线经过定点； ②若，则抛物线经过点； ③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ④一元二次方程有一个根； ⑤点，在抛物线上，若当时，总有，则． 其中正确的是________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解不等式组：． 18. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，． （1）求证：； （2）连接，请添加一个条件_____，使四边形为菱形，不需要说明理由． 19. 某校检测学生跳绳水平，抽样调查了部分学生的“分钟跳绳”成绩，并将成绩分为如下五组（：；：；：；：；：，单位：次数）进行统计，绘制了如下频数分布直方图和扇形图．根据数据，解答下列问题． （1）本次抽取的学生人数是_____人； （2）补全频数分布直方图； （3）本次调查数据中的中位数落在_____组； （4）如果“分钟跳绳”成绩大于或等于次为优秀，那么该校名学生中“分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？ 20. 如图，是的直径，点在直径上，，，连接，与相交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若点是的中点，，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格内完成下列画图任务，每个任务的画线不得超过五条． （1）在图1中，先画；连接，在线段上画一点E，使得； （2）在图2中，先画线段，使且；点P是线段上的任意一点，在上画一点G，使得． 22. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 23. 【问题背景】： 将沿着翻折得到，延长、交于点E，点M为延长线一点，交延长线于点N，交于点P． （1）【问题探究】：如图1，若，点C为的中点，求证：； （2）【问题延伸】：如图2，若，点C为的中点，，，求的长； （3）【综合应用】：如图3，若，，直接写出的值________． 24. 已知抛物线经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为上方抛物线上一点，于点，若，求点的横坐标； （3）如图2，若抛物线顶点为，点为轴下方抛物线上任意一点，过作直线（直线不与轴垂直）与抛物线仅有一个公共点，在抛物线对称轴上的下方是否存在一点，使得直线与分别交于点，且为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $