5.1.1从算式到方程（二）学案 2025--2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“从算式到方程（二）”，核心内容包括方程的解、估算方法、等量关系寻找及设元技巧。课堂通过公园门票问题情境导入，对比算术与方程方法，引导学生体会代数方法优越性，衔接算式知识，搭建从算术思维到代数思维的学习支架。 资料以核心素养为导向，情境贴近生活激发兴趣，合作探究总结估算步骤、找等量关系（关键词、公式、不变量）和设元技巧，典型例题与错误诊所突破难点，分层次检测结合中考链接提升应用能力，数学文化增强趣味，培养学生数学思维、应用意识和运算能力。

5.1.1 从算式到方程（二） 一、学习目标（核心素养） 1. 数学运算：进一步掌握方程的解的概念，学会用估算方法找一元一次方程的解。 2. 数学建模：能从较复杂的实际问题中找出等量关系，列出一元一次方程。 3. 数学思维：经历从算式到方程的思维转变，体会代数方法的优越性。 4. 应用意识：能运用方程思想解决实际生活中的问题，增强应用意识。 二、重点难点 重点 进一步巩固一元一次方程的概念 从复杂实际问题中找等量关系并列方程 用估算方法检验方程的解 难点 准确找出复杂问题中的等量关系 设未知数的技巧（直接设元vs间接设元） 体会从算术思维到代数思维的转变 三、情境导入 【问题情境】 某班组织去公园游玩，门票价格：成人票每张20元，学生票每张10元。 全班共45人，买门票共花了500元。请问学生有多少人？ 【方法对比】 方法一（算术方法）： 假设全是学生票，45×10 = 450元，少花了50元。 每张成人票比学生票多10元，所以成人有50÷10 = 5人。 学生有45 - 5 = 40人。 方法二（方程方法）： 设学生有x人，则成人有(45 - x)人。 学生票总价：10x 元 成人票总价：20(45 - x) 元 列方程：10x + 20(45 - x) = 500 思考： 比较两种方法，你觉得哪种方法更容易想到？为什么？ 用方程方法解题的关键步骤是什么？ 四、合作探究 探究一：方程的解的估算 对于一些简单的方程，我们可以通过估算来找到它的解。 【例】估算方程 1700 + 150x = 2450 的解。 分析：x是正整数，从x=1开始尝试： x的值 左边 = 1700 + 150x 与右边2450比较 1 1850 左边 < 右边，x小了 2 2000 左边 < 右边，x小了 3 2150 左边 < 右边，x小了 4 2300 左边 < 右边，x小了 5 2450 左边 = 右边，x=5是解 方法总结： 估算方程解的步骤： ① 确定未知数的取值范围； ② 选取一些值代入方程计算； ③ 根据计算结果调整取值，逐步逼近； ④ 找到使左右两边相等的值。 探究二：找等量关系的技巧 列方程的关键是找等量关系。常见的找等量关系的方法： 1. 抓住关键词找等量关系 关键词如：'一共''共''比...多/少''是...的几倍''相等''同样多'等。 例：小明有15张邮票，比小红的2倍少3张。小红有多少张？ 关键词：'比...少' → 小红张数×2 - 3 = 小明张数 2. 利用公式找等量关系 常见公式：路程 = 速度×时间，总价 = 单价×数量，周长、面积公式等。 例：长方形周长是24cm，长是7cm，宽是多少？ 利用周长公式：2×(长 + 宽) = 周长 3. 抓住不变量找等量关系 例：把一些书分给学生，每人分3本剩20本；每人分4本缺25本。有多少学生？ 不变量：书的总数不变 → 3x + 20 = 4x - 25 探究三：设未知数的技巧 设未知数有两种方法：直接设元和间接设元。 直接设元：问什么设什么。 例：买5本笔记本剩3元，买7本差2元，求每本多少钱？ 直接设每本x元。 间接设元：不直接设问题所求，而设中间量。 例：买5本笔记本剩3元，买7本差2元，求带了多少钱？ 间接设每本x元，先求x，再求总钱数。 技巧点拨： 一般情况下用直接设元法，问题简单直接。 当直接设元列方程比较困难时，可以考虑间接设元。 设未知数时要写清单位名称。 五、典型例题 题型一：估算方程的解 【例1】估算方程 6x - 7 = 4x - 5 的解。 解：取x = 0，左边 = -7，右边 = -5，左边 < 右边； 取x = 1，左边 = -1，右边 = -1，左边 = 右边。 所以x = 1是方程的解。 题型二：稍复杂的列方程 【例2】根据题意列方程（不求解）： (1) 某商店将进价为1300元的某品牌彩电按标价的8折销售，仍可获利220元， 那么该彩电的标价是多少元？ 分析：等量关系是 '售价 - 进价 = 利润' 解：设该彩电的标价为x元，则售价为0.8x元， 列方程：0.8x - 1300 = 220 (2) 甲、乙两站相距360km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48km； 一列快车从乙站开出，每小时行驶72km。两车相向而行，慢车先开25分钟， 快车行驶多少小时后两车相遇？ 分析：等量关系是 '慢车行驶的路程 + 快车行驶的路程 = 总路程' 解：设快车行驶x小时后两车相遇，慢车共行驶 ( + x)小时， 列方程：48×( + x) + 72x = 360 题型三：方程的解的应用 【例3】已知x = 2是方程 3x - a = 1 的解，求代数式 a² - 2a + 1 的值。 解：因为x = 2是方程3x - a = 1的解， 所以将x = 2代入方程，得：3×2 - a = 1 6 - a = 1 a = 5 当a = 5时，a² - 2a + 1 = 5² - 2×5 + 1 = 25 - 10 + 1 = 16 六、错误诊所 易错点1：设未知数时漏写单位 【错例】设每支铅笔x。 【诊断】设未知数时要写清单位，应该是'设每支铅笔x元'。 【正解】设每支铅笔x元。 易错点2：单位不统一 【错例】，，求... 【诊断】速度单位不统一，不能直接列方程，需要先统一单位。 【正解】先把单位统一， = 米/秒 ≈ 。 易错点3：等量关系找错 【错例】小明比小红大3岁，设小红x岁，则小明(x - 3)岁。 【诊断】小明比小红大3岁，说明小明年龄 = 小红年龄 + 3，应该是(x + 3)岁。 【正解】小明(x + 3)岁。 易错点4：估算时漏掉解 【错例】估算方程x² = 4的解，得出x = 2。 【诊断】一元二次方程可能有多个解，x = -2也是解。不过我们现在学习的是一元一次方程，只有一个解。 【注意】一元一次方程有且只有一个解。 七、达标检测 ★ 基础达标（必做） 1. 估算方程 2x + 3 = 7 的解是（ ） A. x = 1 B. x = 2 C. x = 3 D. x = 4 2. 根据条件'x的3倍与5的和等于x的一半'，列方程正确的是（ ） A. 3x + 5 = B. 3(x + 5) = C. 3x + 5 = 2x D. 3x = 5 + 3. 检验x = 3和x = 4哪个是方程 2x - 1 = x + 2 的解。 4. 根据题意列方程（不求解）： (1) 某数的3倍比它的一半大2，求这个数； (2) 一个长方形的周长是30cm，长比宽多3cm，求宽； (3) 小明今年13岁，爸爸今年40岁，几年后爸爸的年龄是小明的2倍？ ★★ 能力提升（选做） 5. 若x = -3是关于x的方程 2x + a = 1 的解，则a的值为（ ） A. -5 B. 7 C. 5 D. -7 6. 某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个， 若一个螺栓配两个螺母，应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母， 才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？（只列方程） 7. 一次数学测验，全班35人共做对了205道题。其中每人做对5道题的有5人， 每人做对6道题的有10人，其余每人做对的题数相同，都是7道题。 请你检验一下这个说法是否正确。（提示：假设正确，列方程看是否有整数解） ★★★ 拓展探究（选做） 8. 关于x的方程 (a - 2)x² + 3x - 5 = 0 是一元一次方程，求a的值。 9. 古代问题：'今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。 问人数、羊价各几何？'（《九章算术》） 意思是：几个人一起买羊，如果每人出5钱，还差45钱；如果每人出7钱， 还差3钱。求人数和羊价。（设人数为x人，只列方程） 10. 编一道应用题，使得所列方程为 2x + 3 = 11。 八、中考链接 1. （2024·广东模拟）根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ） （图意：1个暖壶 + 1个杯子 = 43元，2个暖壶 + 3个杯子 = 94元） A. 51元 B. 35元 C. 8元 D. 7.5元 2. （2023·湖北中考）若x = 1是关于x的方程 2x + a = 0 的解， 则a的值为（ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 3. （2024·江苏模拟）某超市推出如下购物优惠方案： (1) 一次性购物不超过100元，不享受优惠； (2) 一次性购物超过100元但不超过300元，一律九折； (3) 一次性购物超过300元，一律八折。 小明两次购物分别付款80元和252元。如果小明一次性购买与上两次相同的商品， 应付款多少元？（只列方程，设应付款x元） 九、数学文化 丢番图与方程 丢番图（Diophantus）是古希腊著名的数学家，被称为'代数学之父'。 他生活在公元3世纪左右，其著作《算术》是一部划时代的作品， 书中系统地讨论了方程的解法，特别是不定方程的解法。 有趣的是，丢番图的生平我们知之甚少，但他的墓志铭却流传了下来， 这本身就是一道数学题： “过路人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑。 他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。 再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。 五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。 晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。 请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？” 你能列出方程算出丢番图活了多少岁吗？学完本章你就会了！ 十、小结反思 知识要点 内容总结 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值。一元一次方程只有一个解。 估算解的方法 取值代入 → 比较大小 → 调整范围 → 找到解 找等量关系 关键词法、公式法、不变量法、线段图法 设未知数 直接设元（问什么设什么）、间接设元（设中间量） 【我的收获】 通过这两节课的学习，我对一元一次方程有了更深入的理解： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 【我的困惑】 我还有以下问题不太明白： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 参考答案 典型例题答案 【例1】 估算方程 6x - 7 = 4x - 5 的解。 解：取x = 0，左边 = -7，右边 = -5，左边 < 右边； 取x = 1，左边 = -1，右边 = -1，左边 = 右边。 所以x = 1是方程的解。 题型二：稍复杂的列方程 【例2】 根据题意列方程（不求解）： (1) 某商店将进价为1300元的某品牌彩电按标价的8折销售，仍可获利220元， 那么该彩电的标价是多少元？ 分析：等量关系是 '售价 - 进价 = 利润' 解：设该彩电的标价为x元，则售价为0.8x元， 列方程：0.8x - 1300 = 220 (2) 甲、乙两站相距360km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48km； 一列快车从乙站开出，每小时行驶72km。两车相向而行，慢车先开25分钟， 快车行驶多少小时后两车相遇？ 分析：等量关系是 '慢车行驶的路程 + 快车行驶的路程 = 总路程' 解：设快车行驶x小时后两车相遇，慢车共行驶 ( + x)小时， 列方程：48×( + x) + 72x = 360 题型三：方程的解的应用 【例3】 已知x = 2是方程 3x - a = 1 的解，求代数式 a² - 2a + 1 的值。 解：因为x = 2是方程3x - a = 1的解， 所以将x = 2代入方程，得：3×2 - a = 1 6 - a = 1 a = 5 当a = 5时，a² - 2a + 1 = 5² - 2×5 + 1 = 25 - 10 + 1 = 16 一、基础达标 1. B 2. A 3. x = 3是解。 检验：x=3时，左边 = 2×3 - 1 = 5，右边 = 3 + 2 = 5，左边 = 右边。 x=4时，左边 = 2×4 - 1 = 7，右边 = 4 + 2 = 6，左边 ≠ 右边。 4. (1) 设这个数为x，3x - x = 2 . (2) 设宽为x cm，2(x + x + 3) = 30 . (3) 设x年后爸爸年龄是小明的2倍，40 + x = 2(13 + x) 二、能力提升 5. B 提示：代入x = -3，得-6 + a = 1，a = 7 6. 设分配x名工人生产螺栓，则(28 - x)名生产螺母，列方程：2×12x = 18(28 - x) （提示：螺母数是螺栓数的2倍） 7. 说法不正确。设做对7道题的有x人，列方程：5×5 + 6×10 + 7x = 205，解得x = ，不是整数，所以说法不正确。 三、拓展探究 8. a = 2 提示：一元一次方程不含二次项，即二次项系数为0，a - 2 = 0 9. 5x + 45 = 7x + 3 （羊价不变） 10. 答案不唯一，如：小明有11元钱，买了2支铅笔后还剩3元，求每支铅笔多少钱？ 四、中考链接 1. C 提示：设一个杯子x元，则暖壶(43 - x)元，2(43 - x) + 3x = 94，x = 8 2. B 3. 提示：需先判断252元是九折还是八折后的价格。若252是九折，则原价280元；若252是八折，则原价315元。分两种情况列方程即可。 学科网（北京）股份有限公司 $