5.1.2等式的性质导学案2024-2025学年人教版数学七年级上册

第五章一元一次方程 5.1 方程 第二课时 5.1.2 等式的性质导学案 一、学习目标 1. 深入理解等式的两条基本性质，能准确表述其内容。 1. 熟练运用等式的性质对等式进行变形，解决与等式变形相关的问题。 1. 能够利用等式的性质将方程逐步转化为 “x = a” 的形式，为解方程奠定基础。 二、学习重难点 重点：等式的性质 1 和性质 2 的内容及应用；利用等式的性质解简单方程。 难点：准确运用等式性质 2，注意除数不能为0的条件；在复杂等式变形中，正确使用等式性质进行操作；理解等式性质在解方程过程中的逻辑关系。 三、知识点自主预习填空 1. 等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个________（或________），结果仍相等。用字母表示为：如果a = b，那么a ± c = ________ 。 1. 等式的性质 2：等式两边乘同一个________，或除以同一个________的数，结果仍相等。用字母表示为：如果a = b，那么ac = ________；如果 （________ ），那么________ 。 1. 在等式x - 5 = 8两边都加上5，可得x - 5 + 5 = 8 + 5，其依据是________ 。 1. 由等式3x = 12变形为x = 4，是根据等式的性质 2，在等式两边同时________ 。 1. 若a = b，则2a - 1 = ________ 。 四、知识点详细讲解与要点讲解 知识点 1：等式的性质 1 详细内容：等式的性质 1 表明，等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。用字母表示为：若a = b，那么a + c = b + c，a - c = b - c。例如，在等式x = 5两边同时加上3，得到x + 3 = 5 + 3，即x + 3 = 8；在等式y - 2 = 3两边同时加上2，得到y - 2 + 2 = 3 + 2，即y = 5 。这一性质体现了等式在进行加减运算时的不变性，无论等式两边加上或减去的是具体的数还是一个式子，只要操作相同，等式依然成立。 常考易错点：在运用等式性质 1 时，容易出现只在等式一边进行加减运算，而另一边未进行相同操作的错误；对于加上或减去的 “式子” 理解不透彻，导致变形错误。 经典例题 1：下列等式变形正确的是（ ） A. 若x = y，则x + 3 = y - 3 B. 若a = b，则a - 5 = b - 5 C. 若m = n，则m + 2 = n - 2 D. 若p = q，则p + 1 = q + 2 答案：B 解析：根据等式的性质 1，等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。A 选项中，等式左边加3，右边减3，变形错误；B 选项中，等式两边都减5，变形正确；C 选项中，等式左边加2，右边减2，变形错误；D 选项中，等式左边加1，右边加2，变形错误。所以选 B。 变式题 1：在等式2x - 1 = 5两边都________，可得2x = 6，依据是________ 。 答案：加上1；等式的性质 1 解析：在等式2x - 1 = 5两边都加上1，左边2x - 1 + 1 = 2x，右边5 + 1 = 6，得到2x = 6，依据是等式的性质 1。 知识点 2：等式的性质 2 详细内容：等式的性质 2 指出，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。用字母表示为：若a = b，那么ac = bc；若a = b（c≠0），那么 。例如，对于等式2x = 6，两边同时除以2，即，得到x = 3；在等式y = 4两边同时乘3，得到3y = 12 。这里特别要注意除数不能为0，因为0做除数无意义，这是运用等式性质 2 时的关键限制条件。 常考易错点：运用等式性质 2 进行除法运算时，容易忽略除数不能为0的条件；在等式两边乘（或除以）一个式子时，未考虑式子的值是否可能为0；对等式两边乘（或除以）同一个数的 “同一个” 把握不准确，出现两边乘（或除以）不同数的错误。 经典例题 2：已知3a = 6，下列变形正确的是（ ） A. 3a + 1 = 6 - 1 B. C. 3a*0 = 6*0 D. 3a÷0 = 6÷0 答案：C 解析：A 选项不符合等式的性质，等式两边操作不同，变形错误；B 选项等式两边除以的不是同一个数，变形错误；C 选项根据等式的性质 2，等式两边乘同一个数0，等式仍成立，变形正确；D 选项中0不能做除数，变形错误。所以选 C。 变式题 2：若4x = 16，根据等式的性质 2，在等式两边同时________，可得x = 4 。 答案：除以4 解析：因为等式4x = 16，要得到x = 4，根据等式的性质 2，在等式两边同时除以4，即，所以x = 4。 知识点 3：利用等式的性质解方程 详细内容：利用等式的性质解方程，就是通过在方程两边进行相同的运算，逐步将方程转化为 “x = a”（a为常数）的形式。例如，解方程3x + 2 = 11，首先根据等式的性质 1，在方程两边同时减去2，得到3x + 2 - 2 = 11 - 2，即3x = 9；然后再根据等式的性质 2，在方程两边同时除以3，得到，解得x = 3 。在这个过程中，每一步变形都依据等式的性质，保证了方程的解不变。 常考易错点：在解方程过程中，混淆等式性质 1 和性质 2 的使用，导致运算顺序错误；在进行多次变形时，出现漏项或计算错误；对最终要得到 “x = a” 的目标不明确，变形方向错误。 经典例题 3：解方程2x - 5 = 7 答案：x = 6 解析： 根据等式的性质 1，在方程两边同时加上5：2x - 5 + 5 = 7 + 5， 得到2x = 12； 再根据等式的性质 2，在方程两边同时除以2：， 解得x = 6。 变式题 3：解方程4x + 3 = 19 答案：x = 4 解析： 首先根据等式的性质 1，方程两边同时减去3：4x + 3 - 3 = 19 - 3， 得到4x = 16； 然后根据等式的性质 2，方程两边同时除以4：， 解得x = 4。 五、效果检测（判断题） 1. 若a = b，则a + 5 = b - 5。（ ） 1. 在等式2x = 6两边都除以2，可得x = 3，依据是等式的性质 1。（ ） 1. 等式两边乘同一个数，或除以同一个数，结果仍相等。（ ） 1. 若m = n，则m*0 = n*0。（ ） 1. 由3y = 15变形为y = 5，是根据等式的性质 2，在等式两边同时除以3。（ ） 1. 若x - 3 = 7，在等式两边都加上3，得到x = 10，运用了等式的性质 1。（ ） 1. 因为a = b，所以a÷c = b÷c（c为任意数）。（ ） 1. 在等式x + 2 = 5两边都减去2，得到x = 3，这是根据等式的性质 2。（ ） 1. 若2a = 2b，那么a = b，是在等式两边同时除以2得到的。（ ） 1. 等式5 = 5，两边同时除以0，等式依然成立。（ ） 六、课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·重庆·期中）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（22-23七年级上·北京密云·期末）已知，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）下列等式的性质的运用中，错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24七年级上·广东江门·期末）下列等式的性质中，与下图的情形具有相同意义的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25七年级上·云南楚雄·期中）根据等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25七年级上·福建厦门·期末）下列对等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式运用等式性质运算正确的是（    ） A．如果，那么； B．如果，那么； C．如果，那么； D．如果，那么； 9．（24-25七年级上·陕西延安·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25七年级上·河南漯河·期中）下列等式的变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列变形不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（24-25七年级上·北京昌平·期末）下列等式变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（24-25七年级上·云南临沧·期末）若，则下列等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）已知，则 （填“”“”或“”）． 三、解答题 15．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 七、答案与解析 （一）知识点自主预习填空答案 1. 数；式子；b ± c 1. 数；不为0；bc； 1. 等式的性质 1 1. 除以3 1. 2b - 1 （二）效果检测答案与解析 1. 答案：× 解析：根据等式的性质 1，若a = b，等式两边应进行相同的运算，而这里一边加5，一边减5，等式不成立，所以该说法错误。 1. 答案：× 解析：在等式2x = 6两边都除以2，得到x = 3，依据是等式的性质 2，不是等式的性质 1，所以该说法错误。 1. 答案：× 解析：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果才相等，忽略了除数不能为0的条件，所以该说法错误。 1. 答案：√ 解析：根据等式的性质 2，等式两边乘同一个数，结果仍相等，所以若m = n，则m*0 = n*0，该说法正确。 1. 答案：√ 解析：由3y = 15变形为y = 5，是在等式两边同时除以3，依据是等式的性质 2，所以该说法正确。 1. 答案：√ 解析：若x - 3 = 7，在等式两边都加上3，得到x = 10，符合等式的性质 1，即等式两边加同一个数，结果仍相等，所以该说法正确。 1. 答案：× 解析：根据等式的性质 2，当c = 0时，a÷c和b÷c无意义，所以应该是a÷c = b÷c（≠0），该说法错误。 1. 答案：× 解析：在等式x + 2 = 5两边都减去2，得到x = 3，这是根据等式的性质 1，不是等式的性质 2，所以该说法错误。 1. 答案：√ 解析：若2a = 2b，根据等式的性质 2，在等式两边同时除以2，可得a = b，所以该说法正确。 1. 答案：× 解析：0不能做除数，所以等式5 = 5两边不能同时除以0，该说法错误。 （3） 课后作业答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A A D D C D C 题号 11 12 13 答案 D D B 1．D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； B、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； C、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； D、如果，那么，原式变形错误，符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】A．当时，，此时和不一定相等，故该选项错误，不符合题意； B．如果，那么，故该选项错误，不符合题意； C．如果，那么，故该选项错误，不符合题意； D．如果，那么，正确，符合题意． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了等式的性质：①把等式的两边都加(或减去)同一个整式，等式仍然成立；②等式两边都乘（或除以）同一个不为零的数，等式仍然成立；据此解答即可． 【详解】解：A、， ，即，故该选项正确，不符合题意； B、， ，即，故该选项错误，符合题意； C、， 等号两边都除以得：，故该选项正确，不符合题意； D、， 等号两边都乘得：，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质： （1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解∶A、c等于零时，除以c无意义，原变形错误，故这个选项符合题意； B、两边都乘以，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意； C、两边都加上2，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意； D、两边都除以，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意； 故选∶A． 5．A 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式两边同时加上一个相同的数或式子等式仍然成立是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在平衡的天平两边同时加上一个相同重量的物体，天平仍然平衡，即相当于在等式两边同时加上一个相同的数或式子等式仍然成立， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质“等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立；等式两边同时乘方或开方，等式依然成立；”进行判定即可求解． 【详解】解：A、若，则，原变形错误，故本选项不符合题意． B、若，则，原变形错误，故本选项不符合题意． C、若，当不为时，则，原变形错误，故本选项不符合题意． D、若，则，变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 ；等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；根据等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：、若，则，故本选项不符合题意； 、若，则，故本选项不符合题意； 、若，当时，不成立，故本选项不符合题意； 、若，则，故本选项符合题意； 故选：． 8．C 【分析】本题考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． 等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍成立；由此即可求解． 【详解】解：A、如果，那么，故原选项错误，不符合题意； B、如果，那么，当时，原选项错误，不符合题意； C、如果，那么，正确，符合题意； D、如果，那么，当时，原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 9．D 【分析】本题考了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； B、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； C、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； D、若且，则，故此选项变形不正确，符合题意； 故选：D． 10．C 【分析】本题主要考查等式的基本性质，根据等式的基本性质１和等式的基本性质２（等式的两边都乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍是等式），逐项判断即可． 【详解】A、变形正确，该选项不符合题意； B、，变形正确，该选项不符合题意； C、当时，变形错误，该选项符合题意； D、变形正确，该选项不符合题意． 故选：C 11．D 【分析】本题考查了等式的基本性质：“如果，那么” ，“如果，那么” ，“如果，那么（），”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键． 【详解】A.等式两边同时减，变形正确，故不符合题意； B.等式两边同时除以，变形正确，故不符合题意； C.等式两边同时乘以，变形正确，故不符合题意； D.当时，不成立，变形不一定正确，故符合题意； 故选：D． 12．D 【分析】本题考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． 等式的性质：等式两边同时加减或减去同一个数或式子，等式仍成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立；由此即可求解． 【详解】解：A、若，等式两边同时加上1，则，正确，不符合题意； B、若，等式两边同时除以，则，正确，不符合题意； C、若，等式两边同时加上4，则，正确，不符合题意； D、若，等式两边同时除以，则，原选项计算错误，符合题意； 故选：D ． 13．B 【分析】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质进行判断． 【详解】解：A、因为，所以，原变形正确，故此选项不符合题意； B、如果，那么原变形不正确，故此选项符合题意； C、因为，所以，原变形正确，故此选项不符合题意； D、因为，且，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 14． 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．(1)，检验见解析 (2)，检验见解析 (3)，检验见解析 【分析】（1）根据等式的性质1，给等式的两边同时减8即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）根据等式的性质2，方程两边同乘以即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （3）先根据等式的性质1，给方程两边同时加4可得，至此，再给方程两边同时除以3即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边同减8，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （2）解：两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （3）解：两边同加4，得， 化简，得， 两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$