10.1.2事件的关系和运算-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦随机事件的关系（包含、相等、互斥、对立）和运算（并、交），通过掷骰子试验设置问题链，引导学生用集合表示事件，发现事件间的包含、互斥等关系，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接集合知识与事件关系。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心素养，结合思维导图梳理知识体系，通过课前自主学习问题、课堂合作探究（如掷骰子、抛硬币典例分析）及定向训练，用集合观点辨析互斥与对立事件。类题通法总结助学生掌握事件运算方法，提升抽象能力和逻辑思维，教师可利用结构化内容高效教学。

课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 10.1.2　事件的关系和运算 素养目标 思维导图 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义. (数学抽象) 2.能结合实例进行随机事件的并、交 运算.(数学运算) ‹#› 课前自主学习 在掷骰子试验中,观察骰子朝上面的点数,可以定义许多随机事件.例如,Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于3”;D2=“点数大于3”;E1=“点数为1或2”;E2=“点数为2或3”;F=“点数为偶数”;G=“点数为奇数”…… 问题1.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,若事件C1发生,事件G发生吗? 提示:用集合的形式分别表示是C1={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生. ‹#› 问题2.用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,若事件E1和事件E2至少有一个发生,则事件D1发生吗? 提示:用集合的形式分别表示是D1={1,2,3}、E1={1,2}和E2={2,3}.可以发现,事件E1和事件E2至少有一个发生,相当于事件D1发生. 问题3.分析事件C2=“点数为2”与E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”的关系. 提示:可以用集合的形式表示为C2={2}.可以发现,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”同时发生,相当于事件C2发生. ‹#› 问题4.用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”,这两个事件能同时发生吗? 提示:它们分别是C3={3},C4={4}.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生. 问题5.用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G=“点数为奇数”,并分析这两个事件的关系. 提示:用集合的形式分别表示是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只发生其中之一,而且也必然发生其中之一. ‹#› 【核心概念】 1.事件的关系 (1)包含关系 ①定义:若事件A发生,事件B_________,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B). ②表示法:_____(或_____). ③图示:如图1 一定发生 B⊇A A⊆B ‹#› (2)相等关系 ①定义:若事件B包含事件A,事件A也包含事件B,称事件A与事件B相等. ②表示法:_____. ③图示:如图2 A=B ‹#› (3)互斥事件 ①定义:如果事件A与事件B_____________,称事件A与事件B互斥(或互不相容). ②表示法:若_______,则A与B互斥. ③图示:如图3 (4)对立事件 ①定义:如果事件A和事件B在任何一次试验中_________________,称事件A与事件 B互为对立,事件A的对立事件记为. ②表示法:若_______,且A∪B=Ω,则A与B对立. ③图示:如图4 不能同时发生 A∩B=⌀ 有且仅有一个发生 A∩B=⌀ ‹#› 2.事件的并、交运算 项目 定义 表示法 图示 事件的运算 并事件(或和事件) 事件A与事件B至少有一 个发生,这样的一个事件 中的样本点或者在事件A 中,或者在事件B中 ______或_____ 事件的运算 交事件(或积事件) 事件A与事件B同时发生, 这样的一个事件中的样 本点既在事件A中,也在 事件B中 _____或____ A∪B A+B A∩B AB ‹#› 课堂合作探究 探究点一　事件的关系 【典例1】(1)同时掷两枚硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚 是正面”为事件B,则有(　　) A.A=B B.A⊇B C.A⊆B D.A与B之间没有关系 【思维导引】根据题意,结合列举法求得事件A和事件B,进而得到两事件的关系,得 到答案. 【解析】选C.由同时抛掷两枚硬币,基本事件的空间为Ω={(正,正),(正,反), (反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A⊆B. √ ‹#› (2)(多选)对于一个随机试验,设Ω是样本空间,A是随机事件,ω是样本点,则下列说法 正确的是(　　) A.A∈Ω B.A⊆Ω C.ω∈Ω D.ω⊆Ω 【思维导引】根据样本空间、样本点、随机事件的定义即可得到答案. 【解析】选BC.对于一个随机试验,其所有可能的结果的集合称为样本空间,样本空 间的元素称为样本点或基本事件,随机事件是样本空间的一个子集. 所以有ω∈Ω和A⊆Ω. √ √ ‹#› 【定向训练】 掷一枚骰子,观察其向上的点数,可能得到以下事件:A=“出现1点”;B=“出现2 点”;D=“出现4点”;E=“出现5点”;G=“出现的点数不大于1”;H=“出现的点数小于 5”;I=“出现奇数点”;J=“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系: (1)B　　　H;(2)D　　　J;(3)E　　　I; (4)A　　　G.  【解析】(1)因为“出现的点数小于5”包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B⊆H. (2)“出现偶数点”包括出现2点,出现4点,出现6点三种情况,所以事件D发生时,事件J必然发生,故D⊆J, ‹#› (3)“出现奇数点”包括出现1点,出现3点,出现5点三种情况,所以事件E发生时,事件I必然发生,故E⊆I. (4)“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况,即事件A与事件G相等,故A=G. 答案:(1)⊆　(2)⊆　(3)⊆　(4)= ‹#› 探究点二　事件的运算 【典例2】连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}. (1)用样本点表示事件C∩D,A∪B; (2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系? 【思维导引】(1)由随机事件求出样本点,然后求解; (2)由事件E,结合已知事件A,B,C,D求解. ‹#› 【解析】(1)由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}, 事件B={(1,3),(2,2),(3,1)}, 事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)}, 事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. 则C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}; (2)由(1)知,事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)}, 因为E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)}, 所以E=B∪C. ‹#› 【类题通法】 事件间的运算法 (1)利用事件间运算的定义:列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算. (2)利用Venn图:借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算. ‹#› 【定向训练】 某同学参加跳远测试,共有3次机会.用事件Ji(i=1,2,3)表示随机事件“第i(i=1,2,3)次跳远成绩及格”,那么事件“前两次测试成绩均及格,第三次测试成绩不及格”可以表示为(　　) A.J1∩J2 B. C.J1∩J2∩ D.∩∩ √ ‹#› 【解析】选C. 选项 原因 正误 A J1∩J2表示前两次测试成绩均及格 × B 表示后两次测试不都及格 × C J1∩J2∩表示前两次测试成绩均及格,第三次测试成绩不 及格 √ D ∩∩表示三次测试成绩均不及格 × ‹#› 探究点三　事件的互斥与对立 【典例3】(1)掷一枚骰子,设事件A:落地时向上的点数是奇数;B:落地时向上的点数是3的倍数;C:落地时向上的点数是2;D:落地时向上的点数是2的倍数,则下列说法中,错误的是(　　) A.A和B有可能同时发生 B.A和D是对立事件 C.B和C是对立事件 D.A和C是互斥事件 【思维导引】根据给定条件,利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解. √ ‹#› 【解析】选C.依题意,事件A={1,3,5},B={3,6},C={2},D={2,4,6},对于A,事件A和B有相同的基本事件:点数3,A正确;对于B,事件A和D不能同时发生,但必有一个发生,则A和D是对立事件,B正确;对于C,事件B和C不能同时发生,但可以同时不发生,则B和C不是对立事件,C错误;对于D,事件A和C不能同时发生,它们是互斥事件,D正确. ‹#› (2)将一枚均匀硬币连续抛掷两次,下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是 (　　) A.至多一次正面向上 B.两次正面都向上 C.只有一次正面向上 D.两次都没有正面向上 【思维导引】根据对立事件的定义,对每个选项进行逐一判断即可. √ ‹#› 【解析】选D.将一枚均匀硬币连续抛掷两次,有:正正,正反,反正,反反,共4种可能,事件“至少一次正面向上”包括:正正,正反,反正,对于A,事件“至多一次正面向上”包括:正反,反正,反反,与事件“至少一次正面向上”不是对立事件;对于B,事件“两次正面都向上”即正正,与事件“至少一次正面向上”不是对立事件;对于C,事件“只有一次正面向上”包括:正反,反正,与事件“至少一次正面向上”不是对立事件;对于D,事件“两次都没有正面向上”即反反,与事件“至少一次正面向上”是对立事件. ‹#› (3)从一堆产品(其中正品与次品均多于两件)中任取两件,观察所抽取的正品件数与次品件数,则下列每对事件中,是对立事件的是 (　　) A.恰好有一件次品与是次品 B.至少有一件次品与是次品 C.至少有一件次品与是正品 D.至少有一件正品与至少有一件次品 √ ‹#› 【解析】选C.任取两件所有可能结果为是正品、是次品、一件正品一件次品; A中,恰好有一件次品即为一件正品一件次品, 所以恰好有一件次品与是次品是互斥但不对立事件; B中,至少有一件次品包含:是次品、一件正品一件次品, 所以至少有一件次品与是次品不是对立事件; C中,至少有一件次品包含:是次品、一件正品一件次品, 所以至少有一件次品与是正品是对立事件; D中,至少有一件正品包含:是正品、一件正品一件次品; 至少有一件次品包含:是次品、一件正品一件次品,所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集,不是对立事件. ‹#› 【类题通法】 互斥事件和对立事件的判定法 (1)互斥事件的判断:利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生. 对立事件的判断:在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件. 提醒:注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响. (2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B. ①若事件A与B互斥,则集合A∩B=⌀. ②若事件A与B对立,则集合A∩B=⌀且A∪B=Ω. 提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系. ‹#› 【定向训练】 1.把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分别写在10张一样的卡片上,并随机抽取1张.设事件A=“出现偶数”,B=“出现3的倍数”.写出下面两个事件的对应集合. (1)A,B至少有一个发生; (2)A,B同时发生. 【解析】由题,可得A={2,4,6,8,10},B={3,6,9}; (1)A,B至少有一个发生所对应事件集合为A∪B={2,3,4,6,8,9,10}. (2)A,B同时发生所对应事件集合为A∩B={6}. ‹#› 2.由甲、乙两个射手各进行一次射击,每个射手可能中靶或脱靶.设事件A=“甲射手中靶”,B=“乙射手中靶”. (1)写出试验的样本空间; (2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件. 【解析】(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个射手的射击情况,则可以用(x1,x2)表示试验的样本空间.以1表示中靶,0表示脱靶,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. (2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)}.B={(0,1),(1,1)}.={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}. ‹#› 课堂学业达标 1.下列各组事件中,不是互斥事件的是 (　　) A.一个班级进行一次数学考试,成绩高于80分与低于60分 B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分 C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒 D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70% 【解析】选B.对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件. √ ‹#› 2.把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件A=“甲得红卡”与 事件B=“乙得红卡”是 (　　) A.不可能事件 B.必然事件 C.对立事件 D.互斥但不对立事件 【解析】选D.把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件A=“甲得红卡”与事件B=“乙得红卡”不可能同时发生,但事件A=“甲得红卡”不发生时,事件B=“乙得红卡”有可能发生,有可能不发生;所以事件A=“甲得红卡”与事件B=“乙得红卡”是互斥但不对立事件. √ ‹#› 3.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则 (　　) A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件 C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件 √ ‹#› 【解析】选D.对于A,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,则两次取球的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),所以事件甲、丙可能同时发生,不是互斥事件,A错误; 对于B,乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,是互斥不对立的事件,B错误; 对于C,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则两次取球的情况有(1,1),(1,3),(1,5)等,所以事件甲、丁可能同时发生,不是互斥事件,C错误; 对于D,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,两个事件不会同时发生,是互斥事件,D正确. ‹#› 4.如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况,设事件A=“参加数学兴趣小组”,事件B=“参加语文兴趣小组”,事件C=“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生,则事件AB所代表的区域是　　　　.(注:事件A的对立事件用符号表示)  【解析】事件AB表示参加数学兴趣小组,且参加语文兴趣小组,但不参加英语兴趣小组,故表示的区域为4. 答案:4 ‹#› 5.国际上通用的茶叶分类法,是按发酵度把茶叶分为不发酵茶(如:龙井、碧螺春)和发酵茶(如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类,现有6个完相同的纸盒,里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒,根据以上材料,判断下列两个事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由. (1)“取出龙井”和“取出铁观音”; (2)“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”; (3)“取出发酵茶”和“取出普洱茶”; (4)“取出不发酵茶”和“取出乌龙茶”. ‹#› 【解析】(1)事件“取出龙井”和事件“取出铁观音”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件. (2)事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生,但必有一个发生,所以既是互斥事件又是对立事件. (3)事件“取出发酵茶”和事件“取出普洱茶”不是互斥事件,因为“取出普洱茶”时,事件“取出发酵茶”也发生了. (4)事件“取出不发酵茶”和事件“取出乌龙茶”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件. ‹#› $