切线问题 培优专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以导数几何意义为核心，通过“在点”“过点”切线方程、求参、切线条数、公切线五大题型，构建“步骤化方法+递进式逻辑”的切线问题专项训练体系，培养推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求“在点”型切线方程|4题|四步流程：设切点→求函数值→算导数得斜率→写切线方程|基于导数几何意义，直接应用切线方程公式，夯实基础| |求“过点”型切线方程|3题|五步流程：设切点→求函数值→算斜率→写切线方程→代入已知点|在“在点”型基础上增加代入验证，强化方程思想| |利用切线方程求参|4题|联立切线方程与曲线方程，结合相切条件（判别式或导数相等）求参|深化方程思想与导数应用，培养运算能力| |由切线条数求参|4题|转化为方程根的个数问题，结合函数单调性与极值分析|提升逻辑推理，建立“切线问题-方程解-函数性质”联系| |公切线|7题|分别求两曲线切线，令斜率与截距相等，转化为方程求解|综合应用导数与方程思想，培养模型观念|

一轮复习培优专题 切线问题 题型01 求“在点”型切线方程 【解题方法】 求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程： (1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率． (2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)． 1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0) 2、y0=f(x0) 3、y＝f′(x) k=f′(x0) 4、切线方程：y-y0＝k(x－x0) 1-1．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求切点坐标，再求函数在切点处的导数值得到切线斜率，最后由点斜式整理得到切线方程. 【详解】函数的定义域为，切点为： 得，即切点为； ，代入得斜率； 切线方程为，整理得. 1-2．若函数，则的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数求导得，则切线的斜率， 又，则切线方程为，即． 1-3．函数在点处的切线的斜率为________． 【答案】 【详解】由，得， 则，即函数在点处的切线的斜率为. 1-4．曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【详解】由题可得，由于，， 所以曲线在处的切线方程为，即． 题型02 求“过点”型切线方程 【解题方法】 1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0) 2、y0=f(x0) 3、y＝f′(x) k=f′(x0) 4、切线方程：y-y0＝k(x－x0) 5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得 2-1．过点与曲线相切的直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为， ，切线斜率，解得：，. 2-2．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 2-3．曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 【答案】 【详解】已知，则， 设切点坐标为，则切线斜率为， 此时切线方程为， 因为曲线的一条切线经过点， 所以，即， 因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为， 则该切线方程为，即. 题型03 利用切线方程求参 3-1．已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围. 【详解】由函数，得， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为. 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，. 设，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 且当时，. 综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围. 3-2．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 设切线斜率为，则， 又因为切线与直线垂直， 所以，即，解得. 3-3．若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】设，则， 由题意得，解得. 3-4．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 题型04 由切线条数求参 4-1．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义得切线方程为，根据条件，将问题转化成方程有两个不同解，即可求解. 【详解】设切点为，又，所以切线方程为， 又切线过原点，则，整理得到， 由题意知方程有两个不同解，所以，解得或， 所以的取值范围是. 4-2．若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 4-3．过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】 设切点为,切线斜率 切线方程： 过： 化简可得 即 切线有条方程有个不等实根,即 即或即或 故 4-4．已知函数图象关于点对称． (1)求a，b； (2)若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入函数解析式，对比系数即可求解； （2）将问题转化为与有三个交点，利用导数研究的单调性，极值和图像即可求解. 【详解】（1）因为函数图象关于对称， 所以，故， 化简可得， 所以，解得． （2）由（1）可知，函数，所以， 设切点坐标为， 所以切线方程为，因为切线过点， 所以，即， 令，则， 令，解得，或． 当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 1 0 0 单调递减 单调递增 0 单调递减 因此，当时，有极小值； 当时，有极大值． 过点存在3条直线与曲线相切，等价于 关于x的方程有三个不同的根，则， 所以实数m的取值范围是． 题型05 公切线 【解题方法】 交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点） 对函数，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线： ) 和 再令  ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。 但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0  5-1．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【分析】求出切线方程，设切线与曲线切于点，利用导数的几何意义以及点在切线上可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】对函数求导得，故曲线在处的切线斜率为， 所求切线方程为，即， 设直线与曲线切于点， 对函数求导得，所以曲线在点处的切线斜率为， 且点在直线上，所以有，解得. 5-2．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 【答案】0或1 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，分析可知方程有且仅有一个解，分析讨论即可. 【详解】令，， 则，可得，， 则在点处的切线方程为， 令，则， 由题意可知方程有且仅有一个解， 若，则有且仅有一个解，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：或1. 5-3．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设公切线与的切点为， 因为，所以， 因为，所以， 则，得. 5-4．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【分析】先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得： ，解得. 5-5．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 5-6．已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 【答案】 【详解】设，与曲线联立，得，由，得． 直线l与曲线联立，得，显然，由，得． 所以， 化简得，又，所以，从而． 所以直线l的方程为，即． 5-7．若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 一轮复习培优专题 切线问题 题型01 求“在点”型切线方程 【解题方法】 求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程： (1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率． (2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)． 1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0) 2、y0=f(x0) 3、y＝f′(x) k=f′(x0) 4、切线方程：y-y0＝k(x－x0) 1-1．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 1-2．若函数，则的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 1-3．函数在点处的切线的斜率为________． 1-4．曲线在处的切线方程为______． 题型02 求“过点”型切线方程 【解题方法】 1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0) 2、y0=f(x0) 3、y＝f′(x) k=f′(x0) 4、切线方程：y-y0＝k(x－x0) 5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得 2-1．过点与曲线相切的直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2-2．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 2-3．曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 题型03 利用切线方程求参 3-1．已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-2．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 3-3．若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 3-4．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 题型04 由切线条数求参 4-1．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 4-2．若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4-3．过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 4-4．已知函数图象关于点对称． (1)求a，b； (2)若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 题型05 公切线 【解题方法】 交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点） 对函数，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线： ) 和 再令  ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。 但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0  5-1．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 5-2．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 5-3．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 5-4．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 5-5．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 5-6．已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 5-7．若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $