第五章 一元一次方程 小结与复习学案 2025--2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元一次方程，涵盖概念、性质、解法及实际应用等核心知识点，通过知识梳理与即时训练衔接前后内容，搭建从基础概念到实际应用的学习支架，帮助学生系统构建知识体系。 资料亮点在于易错点辨析精准指导，典型例题结合生活情境培养模型意识，分层训练提升运算能力，渗透建模与转化思想，助力学生发展数学思维与应用意识，高效掌握知识并解决实际问题。

第五章 一元一次方程 小结与复习 一、知识梳理 知识点1：一元一次方程的相关概念 概念回顾 方程：含有未知数的等式叫做方程。 一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式， 这样的方程叫做一元一次方程。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 【即时训练1】 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. x² - 4x = 3 B. x = 0 C. x + 2y = 1 D. x - 1 = 知识点2：等式的性质 性质回顾 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 即 如果a = b，那么a ± c = b ± c 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 即 如果a = b，那么ac = bc；如果a = b（c ≠ 0），那么 = 【即时训练2】 下列变形正确的是（ ） A. 若a = b，则a + c = b - c B. 若a = b，则ac = bc C. 若ac = bc，则a = b D. 若a = b，则 = 知识点3：解一元一次方程 一般步骤 ① 去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘没有分母的项； ② 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，注意符号变化； ③ 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到另一边，注意变号； ④ 合并同类项：把方程化成ax = b（a ≠ 0）的形式； ⑤ 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x = 。 【即时训练3】 解方程： (1) 5x - 2 = 7x + 8 (2) - = 1 知识点4：实际问题与一元一次方程 常见类型 ① 配套问题：配套比例关系是等量关系的关键； ② 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间； ③ 销售盈亏问题：利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润/进价 × 100%； ④ 积分问题：总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分； ⑤ 方案选择问题：找临界点，分类讨论最优方案； ⑥ 分段计费问题：各段分别计算，再求和。 【即时训练4】 一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元。 设这件商品的成本价为x元，下面所列方程正确的是（ ） A. x·40%×80% = 240 B. x(1 + 40%)×80% = 240 C. 240×40%×80% = x D. x·40% = 240×80% 二、易错点辨析 易错点1：移项不变号 【错例】解方程：3x + 5 = 2x - 1 解：3x + 2x = -1 + 5 → 5x = 4 → x = 【诊断】移项时忘记变号。2x从右边移到左边应变号为-2x，+5从左边移到右边应变号为-5。 【正解】3x - 2x = -1 - 5 → x = -6 易错点2：去分母时漏乘不含分母的项 【错例】解方程： - 1 = 解：去分母，得 3(x-1) - 1 = 2x → 3x - 3 - 1 = 2x → x = 4 【诊断】去分母时，常数项-1漏乘了6。 【正解】去分母，得 3(x-1) - 6 = 2x → 3x - 3 - 6 = 2x → x = 9 易错点3：去括号时符号错误或漏乘 【错例】解方程：2(2x - 1) - 3(x - 2) = 5 解：4x - 2 - 3x - 6 = 5 → x - 8 = 5 → x = 13 【诊断】-3(x-2)去括号时，-3没有乘到-2，符号也错了。应该是-3x + 6。 【正解】4x - 2 - 3x + 6 = 5 → x + 4 = 5 → x = 1 易错点4：设未知数时单位不统一 【错例】甲乙两地相距300公里，一辆汽车速度是每小时60千米，求需要几小时到达？ 解：设需要x小时，60x = 300 → x = 5 【分析】这道题其实单位是统一的（公里=千米），但很多题目会出现米和千米、 小时和分钟混用的情况，一定要先统一单位再列方程！ 易错点5：忽略检验解的实际意义 【错例】某班共有学生45人，其中男生比女生的2倍少9人，问男女生各多少人？ 解：设女生x人，x + 2x - 9 = 45，3x = 54，x = 18，男生 = 2×18 - 9 = 27人。 【分析】这道题的解是合理的，但有些问题的解可能是负数、小数或不符合实际， 必须检验！比如人数不能是小数，场次不能是负数等。 三、典型例题精讲 题型一：一元一次方程的概念 【例1】若关于x的方程 (m-2) + 3 = 0 是一元一次方程，求m的值。 分析：一元一次方程需要满足两个条件：① 只含一个未知数； ② 未知数的次数为1，且系数不为0。 解：根据一元一次方程的定义，得： |m - 1| = 1 且 m - 2 ≠ 0 由|m - 1| = 1，得 m - 1 = ±1，即 m = 2 或 m = 0 又 m - 2 ≠ 0，即 m ≠ 2 所以 m = 0 题型二：巧解一元一次方程 【例2】解方程： {[(x - 1) + 2] + 4} = 1 分析：这个方程有多层括号，可以从外向内逐步去分母，简化计算。 解：两边同乘2，得： [(x - 1) + 2] + 4 = 2 [(x - 1) + 2] = -2 两边再同乘2，得： (x - 1) + 2 = -4 (x - 1) = -6 两边再同乘2，得： x - 1 = -12 x = -11 方法点拨 对于有多层括号的方程，可以灵活选择去括号的顺序， 有时从外向内去分母反而更简单，避免复杂的乘法运算。 题型三：行程问题 【例3】甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里， 一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 (1) 慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行。 问快车开出多少小时后两车相遇？ 解：设快车开出x小时后两车相遇。 慢车共行驶了(x + 1)小时。 根据题意，得：90(x + 1) + 140x = 480 90x + 90 + 140x = 480 230x = 390 x = 答：快车开出 小时后两车相遇。 (2) 两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ 解：设x小时后两车相距600公里。 根据题意，得：90x + 140x + 480 = 600 230x = 120 x = 答： 小时后两车相距600公里。 题型四：方案选择问题 【例4】某中学组织七年级学生春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位； 如果租用同样数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满。 已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元。 请问：(1) 七年级有多少学生？(2) 租用哪种客车更合算？租几辆车？ 解：(1) 设原计划租用45座客车x辆。 根据题意，得：45x + 15 = 60(x - 1) 45x + 15 = 60x - 60 -15x = -75 x = 5 学生人数 = 45×5 + 15 = 240人 (2) 方案比较： 方案一：租用45座客车，需6辆，费用 = 6×250 = 1500元 方案二：租用60座客车，需4辆，费用 = 4×300 = 1200元 因为1200 < 1500，所以租用60座客车更合算，租4辆。 四、综合训练 基础过关 1. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ） A. x² - 4x = 3 B. x = 0 C. x + 2y = 1 D. x - 1 = 2. 方程2x - 1 = 3的解是（ ） A. x = -1 B. x = 1 C. x = -2 D. x = 2 3. 若x = 2是关于x的方程2x + 3m - 1 = 0的解，则m的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 4. 解方程： (1) 3x - 7 + 4x = 6x - 2 (2) 8x = -2(x + 4) (3) - 1 = 5. 当x取何值时，代数式2x - 5与3x - 10的值互为相反数？ 6. 某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个 或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母 正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 能力提升 7. 某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%， 另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（ ） A. 不赔不赚 B. 赚了8元 C. 赔了8元 D. 赚了32元 8. 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同。 随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。 (1) 求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？ (2) 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售， 超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）。 但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品， 你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 9. 某校七年级组织学生参加社会实践活动，原计划租用30座客车若干辆， 但有15人没有座位；如果租用同样数量的45座客车，则多出一辆， 且其余客车恰好坐满。已知30座客车租金为每辆220元，45座客车租金为每辆300元。 (1) 七年级人数是多少？原计划租用30座客车多少辆？ (2) 若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租用更合算？ 拓展探究 10. 某水果批发市场香蕉的价格如下表： 购买香蕉数（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克价格（元） 6 5 4 张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元， 请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？ 五、本章数学思想方法 1. 建模思想 将实际问题转化为数学问题（一元一次方程），通过解方程来解决实际问题。 这是本章最核心的思想，也是数学应用于生活的重要体现。 2. 转化思想（化归思想） 解方程的过程就是不断转化的过程： 复杂方程 → 简单方程 → x = a（最简形式） 去分母、去括号、移项、合并同类项等都是转化的手段。 3. 分类讨论思想 在方案选择问题、分段计费问题中，需要根据不同情况分类讨论， 比较不同方案的优劣，做出最优选择。 4. 整体思想 在某些方程中，可以将某个代数式看作一个整体来处理，简化计算。 例如：解方程2(2x - 1) - 3(2x - 1) = 5，可以把(2x - 1)看作整体。 参考答案 典型例题答案 【例1】 若关于x的方程 (m-2) + 3 = 0 是一元一次方程，求m的值。 分析：一元一次方程需要满足两个条件：① 只含一个未知数； ② 未知数的次数为1，且系数不为0。 解：根据一元一次方程的定义，得： |m - 1| = 1 且 m - 2 ≠ 0 由|m - 1| = 1，得 m - 1 = ±1，即 m = 2 或 m = 0 又 m - 2 ≠ 0，即 m ≠ 2 所以 m = 0 题型二：巧解一元一次方程 【例2】 解方程： {[(x - 1) + 2] + 4} = 1 分析：这个方程有多层括号，可以从外向内逐步去分母，简化计算。 解：两边同乘2，得： [(x - 1) + 2] + 4 = 2 [(x - 1) + 2] = -2 两边再同乘2，得： (x - 1) + 2 = -4 (x - 1) = -6 两边再同乘2，得： x - 1 = -12 x = -11 题型三：行程问题 【例3】 甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里， 一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 (1) 慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行。 问快车开出多少小时后两车相遇？ 解：设快车开出x小时后两车相遇。 慢车共行驶了(x + 1)小时。 根据题意，得：90(x + 1) + 140x = 480 90x + 90 + 140x = 480 230x = 390 x = 答：快车开出 小时后两车相遇。 (2) 两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ 解：设x小时后两车相距600公里。 根据题意，得：90x + 140x + 480 = 600 230x = 120 x = 答： 小时后两车相距600公里。 题型四：方案选择问题 【例4】 某中学组织七年级学生春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位； 如果租用同样数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满。 已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元。 请问：(1) 七年级有多少学生？(2) 租用哪种客车更合算？租几辆车？ 解：(1) 设原计划租用45座客车x辆。 根据题意，得：45x + 15 = 60(x - 1) 45x + 15 = 60x - 60 -15x = -75 x = 5 学生人数 = 45×5 + 15 = 240人 (2) 方案比较： 方案一：租用45座客车，需6辆，费用 = 6×250 = 1500元 方案二：租用60座客车，需4辆，费用 = 4×300 = 1200元 因为1200 < 1500，所以租用60座客车更合算，租4辆。 一、即时训练 1. B 2. B 提示：C和D选项要注意c不能为0 3. (1) x = -5(2) 去分母：2(2x+1) - (5x-1) = 6 → 4x+2-5x+1=6 → -x=3 → x = -3 4. B 二、基础过关 1. B 2. D 3. A 提示：代入x=2，得4+3m-1=0，3m=-3，m=-1 4. (1) 7x - 7 = 6x - 2 → x = 5(2) 8x = -2x - 8 → 10x = -8 → x = -0.8(3) 4(2x-1) - 12 = 3(x+2) → 8x-4-12=3x+6 → 5x=22 → x = 5. 解：(2x-5) + (3x-10) = 0 → 5x - 15 = 0 → x = 3答：当x=3时，两代数式互为相反数。 6. 解：设x名工人生产螺栓，则(28-x)名生产螺母。2×12x = 18(28-x) → 24x = 504 - 18x → 42x = 504 → x = 1228 - 12 = 16名答：12人生产螺栓，16人生产螺母。 三、能力提升 7. B 提示：设两个进价分别为x、y元。x(1+60%)=64 → x=40；y(1-20%)=64 → y=80。总进价=120元，总售价=128元，赚了8元。 8. (1) 设书包单价x元，则随身听(4x-8)元。x + 4x - 8 = 452，5x=460，x=92。 随身听 = 4×92 - 8 = 360元。 答：书包92元，随身听360元。(2) 超市A：452×0.8 = 361.6元 < 400元，可以购买。 超市B：先买随身听360元，返3×30=90元券，再加2元买书包，共362元。 两家都可以选择，在A超市购买更省钱（361.6 < 362）。 9. (1) 设原计划租用30座客车x辆，30x + 15 = 45(x-1)，解得x = 4。 人数 = 30×4 + 15 = 135人。(2) 租30座：需5辆，5×220=1100元；租45座：需3辆，3×300=900元。 答：租用3辆45座客车更合算。 四、拓展探究 10. 分析：第二次多于第一次，说明第一次少于25千克，第二次多于25千克。分情况讨论：① 第一次≤20kg，第二次20~40kg：设第一次x kg，第二次(50-x)kg 6x + 5(50-x) = 264 → 6x+250-5x=264 → x=14，50-x=36，符合条件。② 第一次≤20kg，第二次>40kg：6x + 4(50-x) = 264 → 2x=64 → x=32，矛盾。③ 第一次20~25kg，第二次25~30kg：都按5元算，50×5=250 ≠ 264，不成立。答：第一次购买14千克，第二次购买36千克。 五、你掌握了吗？ 学习完本章后，请对照以下问题自查： □ 我能识别一元一次方程 □ 我能正确运用等式的性质 □ 我能熟练解一元一次方程 □ 我能列一元一次方程解应用题 □ 我会检验方程的解是否正确、是否符合实际意义 □ 我能运用分类讨论思想解决方案选择类问题 学科网（北京）股份有限公司 $