课后作业19 导数与函数的单调性 -2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 以导数应用为主线，通过分层题型系统构建“求导判断—分类讨论—构造转化”的解题方法链，强化单调性与函数性质、不等式证明的逻辑关联，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|单选1-6、多选7|导数零点分析、奇偶性结合单调性、导函数图像识别|从导数与单调性关系出发，构建“求导→判断符号→确定单调区间”基础逻辑| |综合应用|填空9-10、解答11|函数构造（指数型）、切线斜率与单调性综合|延伸至函数性质（奇偶性、周期性）与单调性的融合应用| |创新拓展|多选8、解答12-13|不等式证明（构造函数）、含参单调性分类讨论|深化参数对导数符号的影响，建立“导数→单调性→不等式/参数范围”推理链条|

课后作业(十九)　导数与函数的单调性 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分 一、单项选择题 1．若函数f (x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－3，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－3，0)∪(0，＋∞) 2．(2026·广东珠海模拟)已知函数f (x)＝sin 2x－x，则在下列区间内，f (x)单调递增的是 (　　) A． C． 3．(2025·北京通州一模)已知函数f (x)＝x2＋cos x，则f (－2)，f (3)，f (π)的大小关系是 (　　) A．f (－2)<f (3)<f (π) B．f (π)<f (3)<f (－2) C．f (3)<f (－2)<f (π) D．f (－2)<f (π)<f (3) 4．(2025·山东菏泽一模)已知函数f (x)＝ax2－ln x(a>0)在区间(1，2)内单调，则a的取值范围是 (　　) A． C． 5．(2026·湖南长沙模拟)如图是函数f (x)及其导函数f '(x)在同一坐标系中的图象，则图象正确的为 (　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 6．设函数f (x)，g(x)在R上的导函数存在，且f '(x)<g'(x)，则当x∈(a，b)时 (　　) A．f (x)<g(x) B．f (x)>g(x) C．f (x)＋g(a)<g(x)＋f (a) D．f (x)＋g(b)<g(x)＋f (b) 二、多项选择题 7．下列函数在定义域上为增函数的是 (　　) A．f (x)＝xln x B．f (x)＝ln x＋x C．f (x)＝x－cos x D．f (x)＝x2ex 8．下列不等式中恒成立的有 (　　) A．ln(x＋1)≥x－x2 B．ln x>，x∈(0，1) C．ex≤1＋x＋x2 D．cos x≥1－x2 三、填空题 9．写出一个同时具备下列性质的函数f (x)＝___________． ①f (x＋1)＝f (x)f (1)；②f '(x)<0 ． 10．已知定义在区间(0，π)上的函数f (x)＝x＋2cos x，则f (x)的单调递增区间为______． 四、解答题 11．(13分)(2026·河南洛阳模拟)已知函数f (x)＝x＋asin x＋a＋1，曲线y＝f (x)在点(π，b)处的切线斜率为2． (1)求a，b的值； (2)求不等式f (x2－1)＋f (7－5x)<0的解集． 12．(13分)已知函数f (x)＝x2＋aln x，a∈R． (1)若函数g(x)＝f (x)－x在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)讨论函数h(x)＝f (x)－(a＋2)x的单调性． 13．(15分)(2026·湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝ln，其中a>1． (1)当a＝2时，求曲线y＝f (x)的对称中心； (2)若函数g(x)＝f (x)＋x在区间(a，a2＋a－1)内单调递减，求实数a的取值范围． 课后作业(十九) 1．D　[依题意知f '(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故解得a>－3且a≠0． 故选D．] 2．B 3．A　[因为f (－x)＝x2＋cos x＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数， f '(x)＝x－sin x，令g(x)＝x－sin x，x∈(0，＋∞)， 则g'(x)＝1－cos x≥0，x∈(0，＋∞)， 所以函数g(x)>g(0)＝0，即当x∈(0，＋∞)时，f '(x)>0， 所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f (－2)＝f (2)<f (3)<f (π)．故选A．] 4．B　[由已知得f '(x)＝2ax－， 当a>0时，令f '(x)＝0，得x＝， 令f '(x)>0，解得x>；令f '(x)<0，解得0<x<； 故f (x)在区间上单调递增，所以若f (x)在区间(1，2)内单调，则需满足≤1或≥2，即0<a≤或a≥， 所以a的取值范围是∪．故选B．] 5．C 6．C　[对于A，B，不妨设f (x)＝－2x，g(x)＝1，则f '(x)＝－2，g'(x)＝0，满足f '(x)<g'(x)，若x＝－1∈(a，b)，则f (－1)＝2>1＝g(－1)，故A不正确；若x＝0∈(a，b)，则f (0)＝0<1＝g(0)，故B不正确；对于C，D，令h(x)＝f (x)－g(x)，则h'(x)＝f '(x)－g'(x)<0，所以h(x)在R上单调递减．因为x∈(a，b)，即a<x<b，所以h(b)<h(x)<h(a)．由h(x)<h(a)得f (x)－g(x)<f (a)－g(a)，则f (x)＋g(a)<g(x)＋f (a)，故C正确；由h(b)<h(x)得f (b)－g(b)<f (x)－g(x)，则f (x)＋g(b)>g(x)＋f (b)，故D不正确．故选C．] 7．BC　[对于A，f (x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)， f '(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，令f '(x)＝0得x＝， 所以在内f '(x)<0，f (x)单调递减， 在上f '(x)>0，f (x)单调递增，故A错误； 对于B，f (x)＝ln x＋x的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝＋1＝>0， f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确； 对于C，f (x)＝x－cos x的定义域为R， f '(x)＝1－(－sin x)＝1＋sin x， 因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]， 所以1＋sin x∈[0，2]， 所以当x∈R时，f '(x)≥0，f (x)单调递增，故C正确； 对于D，f (x)＝x2ex的定义域为R，f '(x)＝x2ex＋2xex＝(x＋2)xex， 令f '(x)＝0得x＝－2或x＝0，所以在(－∞，－2)上f '(x)>0，f (x)单调递增， 在(－2，0)内f '(x)<0，f (x)单调递减， 在(0，＋∞)上f '(x)>0，f (x)单调递增，故D错误．故选BC．] 8．BD　[A选项，令f (x)＝ln(x＋1)－x＋x2，x>－1，则f '(x)＝－1＋，x>－1， 当0<x<3时，f '(x)<0，所以f (x)在(0，3)内单调递减， 又f (0)＝0，∴f (3)<f (0)＝0，故A错误； B选项，令f (x)＝ln x－，x∈(0，1)， 则f '(x)＝＝－<0显然恒成立， 所以f (x)＝ln x－在(0，1)内单调递减， 又f (1)＝0，所以当x∈(0，1)时，f (x)>f (1)＝0，即ln x>，故B正确； C选项，当x＝3时，e3>1＋3＋32，故C错误； D选项，令f (x)＝cos x－1＋x2， 则f '(x)＝－sin x＋x， 令h(x)＝f '(x)＝－sin x＋x，则h'(x)＝－cos x＋1≥0恒成立，即函数f '(x)＝－sin x＋x在R上单调递增， 又f '(0)＝0，所以当x>0时，f '(x)>0， 即f (x)＝cos x－1＋x2单调递增； 当x<0时，f '(x)<0，即f (x)＝cos x－1＋x2单调递减，所以f (x)min＝f (0)＝0， 因此cos x≥1－x2恒成立，故D正确． 故选BD．] 9．e-x(答案不唯一)　[因为f (x＋1)＝f (x)f (1) 是加变乘，所以考虑指数函数类型， 又f '(x)<0， 所以f (x)＝e-x 满足要求．] 10． 11．解：(1)f (x)＝x＋asin x＋a＋1， 所以f '(x)＝1＋acos x， 由题意可得f '(π)＝1－a＝2，所以a＝－1， 所以f (x)＝x－sin x，所以f (π)＝π＝b． 所以a＝－1，b＝π． (2)由(1)知f (x)＝x－sin x， 所以f '(x)＝1－cos x≥0， 所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增， f (－x)＝－x＋sin x＝－f (x)， 所以f (x)为奇函数， f (x2－1)＋f (7－5x)<0，即f (x2－1)<－f (7－5x)， 即f (x2－1)<f (5x－7)， 所以x2－1<5x－7，即x2－5x＋6<0， 即(x－2)(x－3)<0，解得2<x<3， 所以不等式f (x2－1)＋f (7－5x)<0的解集为(2，3)． 12．解：(1)函数g(x)的定义域为(0，＋∞)， 则g'(x)＝2x＋－1≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即a≥(－2x2＋x)max． 设y＝－2x2＋x＝－2，则ymax＝， 所以a≥，即实数a的取值范围是． (2)h(x)＝x2＋aln x－(a＋2)x，且定义域为(0，＋∞)， h'(x)＝2x＋－(a＋2)＝， 令h'(x)＝0，解得x1＝，x2＝1， 若a≤0，则≤0， 当x∈(0，1)时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增． 若0<a<2，则0<<1， 当x∈时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增， 当x∈时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增． 若a＝2，则h'(x)≥0在定义域内恒成立， 函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a>2，则>1， 当x∈(0，1)时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增； 当x∈时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增． 综上所述， 当a≤0时，函数h(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当0<a<2时，函数h(x)在内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当a＝2时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>2时，函数h(x)在(0，1)内单调递增，在上单调递增． 13．解：(1)当a＝2时，f (x)＝ln∪(2，＋∞)，其定义域关于x＝对称， 则f (x)＋f ＝ln＋ln ＝ln＋ln ＝ln＝2ln 2， 所以函数f (x)图象的对称中心是点． (2)由g(x)＝f (x)＋x＝lnx， 因为a>1，所以a>， 所以g(x)的定义域为∪(a，＋∞)， 则g'(x)＝ ＝ ＝， 由题可得g'(x)≤0在区间(a，a2＋a－1)内恒成立， 则(ax－1)(x－a)＋9－9a2≤0在区间(a，a2＋a－1)内恒成立，则 解得1<a≤2， 故实数a的取值范围为(1，2]． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $