精品解析：江苏省宿迁市沭阳外国语实验学校2024-2025学年下学期期中模拟考试数学试卷

2024~2025学年度第二学期期中测试模拟一 初二年级 数学学科 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一．选择题 （共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了了解衢州市2013年中考数学学科各分数设成绩分布情况，从中抽取1500名考生的中考数学成绩进行统计分析.在这个问题中，样本是指（　　） A. 1500 B. 被抽取的1500名考生 C. 被抽取的1500名考生的中考数学成绩 D. 衢州市2013年中考数学成绩 3. 不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　） A. 摸出的是3个白球 B. 摸出的是3个黑球 C. 摸出的是2个白球、1个黑球 D. 摸出的是2个黑球、1个白球 4. 已知上述式子中，是分式是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币99次，都是正面朝上，那么第100次抛掷时正面朝上的概率是 （ ） A. 0 B. C. D. 1 6. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 如果分式的值为零，那么（ ） A. B. 2 C. D. 二．填空题 （共10小题，每题3分，共30分） 9. 下列调查：①调查一批灯泡的使用寿命；②调查全班同学的身高；③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准；④企业招聘，对应聘人员进行面试．其中适合抽样调查的是________（填序号）． 10. “下个月8号沭阳城区下雨”是________（填“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”）． 11. 已知分式有意义，则x满足的条件是________． 12. 如图，在中，，将点A折叠到点C处，则折痕的长度为________． 13. 某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比．如图是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频数分布直方图．已知从左到右5个小长方形的高的比为，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分别大于或等于80分为优秀，且分数为整数）________篇． 14. 下列三个分式的最简公分母是________． 15. 现有四张分别标有数字、1、2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a．放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点在第一象限内的概率为________ 16. 如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为_____ 17. 如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为________． 18. 如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，则四边形的面积是___________． 三．解答题 （共10题，共96分） 19. 化简： （1） （2） 20. 为庆祝国庆，某校组织八年级学生进行“方阵表演”．为了整齐划一，需了解学生的身高，现随机抽取该校八年级部分学生进行调查，根据所得数据绘制出如下统计图表： 组别 身高 A B C D E 根据图表提供信息， 回答下列问题： （1）这次抽样调查，一共抽取学生 人，请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 ； （3）已知该校八年级共有学生2000人，请估计身高在学生约有多少人？ 21. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． （1）摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是白球的概率是多少？ （2）为了使摸出白球的概率是，再放进去7个球，那么这7个球中红球和白球的数量分别应是多少？ 22. 如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点F，交于点G，．求的长度． 23. 如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点． （1）若绕点逆时针旋转可得到，则旋转角至少为______； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）若（2）中的与成中心对称，则对称中心的坐标为______． 24. 如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． （1）求证：和互相平分； （2）若，，，求的面积． 25. 如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）当C为中点，时，四边形是什么图形？请证明； （2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由． 26. 如图,在正方形ABCD中,点E､F､G分别在CD､AD､BC上,且,垂足为O． （1）求证:; （2）若O是BE的中点,且,,求AF的长． 27. 已知：正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交从（或它们的延长线）于点M、N．当绕点A旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点A旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 （2）当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？猜想并加以证明； （3）如图4，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，E，F是底边上任意两点，且满足，试探究之间的关系． 28. 如图，在矩形中，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A，B，D的对应点分别是点E，F，G． （1）如图①，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； （2）如图②，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接交于点H，连接，直接写出，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期中测试模拟一 初二年级 数学学科 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一．选择题 （共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图四幅图是我国一些博物馆标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形，轴对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，找出中心对称点，对称轴是解题的关键． 中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解． 【详解】解：A、在图形中能找到对称中心和对称轴，故该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、在图形中不能找到对称中心，但能找到对称轴，故该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、在图形中不能找到对称中心和对称轴，故该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D、在图形中不能找到对称中心，但能找到对称轴，故该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 2. 为了了解衢州市2013年中考数学学科各分数设成绩分布情况，从中抽取1500名考生的中考数学成绩进行统计分析.在这个问题中，样本是指（　　） A. 1500 B. 被抽取的1500名考生 C. 被抽取的1500名考生的中考数学成绩 D. 衢州市2013年中考数学成绩 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是样本的定义，样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；根据样本的概念进行逐个选择便可.；本题主要考查对总体、个体、样本、样本容量等考点的理解，样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本容量：一个样本包含的个体的数量叫做这个样本的容量，据此即可判断． 【详解】由题意得：样本是指被抽取的1500名考生的中考数学成绩， 故选：C． 3. 不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　） A. 摸出的是3个白球 B. 摸出的是3个黑球 C. 摸出的是2个白球、1个黑球 D. 摸出的是2个黑球、1个白球 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选A 4. 已知上述式子中，是分式的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义，分母中含有字母的式子即为分式，逐一判断每个式子是否符合条件即可． 【详解】解：：分母为x，含字母，是分式； ：分母为，含字母x，是分式； ：分母为，含字母x，是分式； ：分母为常数2，不含字母，是整式，不是分式； ：分母为，含字母a，是分式； 综上，分式共有4个，对应选项D， 故选D． 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币99次，都是正面朝上，那么第100次抛掷时正面朝上的概率是 （ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 每次抛掷硬币都是独立事件，不受之前结果影响． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次抛掷的结果相互独立．无论之前抛掷的结果如何，第100次抛掷时，“正面朝上”的概率仍为． 故选B． 6. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解；分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 详解】选项A： 分子分母同时加2，除非，否则不成立．但． 例如，取，，左边为，右边为，不等。故A错误． 选项B： 分子分母同时减2，除非，否则不成立．但． 例如，取，，左边为，右边为，不等． 故B错误． 选项C： 左边为，右边为，仅当或时成立． 但，且时虽成立，但非普遍情况． 例如，取，，左边为，右边为，不等． 故C错误． 选项D： 计算左边：，右边为，显然左边=右边． 故D正确． 故选：D． 7. 如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：B 8. 如果分式的值为零，那么（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查分式的值为零的条件，分式为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此解答 【详解】解：解方程 ，得 或 ， 分母不为零的验证： - 当 时，分母 ，此时分式无意义，舍去； - 当 时，分母 ，满足条件； 综上，唯一满足条件的解为 ，对应选项 C， 故选：C 二．填空题 （共10小题，每题3分，共30分） 9. 下列调查：①调查一批灯泡的使用寿命；②调查全班同学的身高；③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准；④企业招聘，对应聘人员进行面试．其中适合抽样调查的是________（填序号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此进行进行判断． 【详解】①调查一批灯泡的使用寿命，属于具有破坏性的调查，适合抽样调查；②调查全班同学的身高，属于对于精确度要求高的调查，适合全面调查；③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，属于具有破坏性的调查，适合抽样调查；④企业招聘，对应聘人员进行面试，属于事关重大的调查，适合全面调查． 故答案为：①③． 10. “下个月8号沭阳城区下雨”是________（填“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”）． 【答案】随机事件 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“下个月8号沭阳城区下雨”是随机事件， 故答案为：随机事件． 11. 已知分式有意义，则x满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0，得，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案： 12. 如图，在中，，将点A折叠到点C处，则折痕的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质和三角形中位线定理，由勾股定理得，由折叠得，，可证，得出是的中位线，从而可求出的长度． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将点A折叠到点C处，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 13. 某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生调查报告进行了评比．如图是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频数分布直方图．已知从左到右5个小长方形的高的比为，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分别大于或等于80分为优秀，且分数为整数）________篇． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，正确读懂统计图是解题的关键．直接用调查报告总数乘以被评为优秀的论文的数量占比即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：（篇）， 故答案为：27． 14. 下列三个分式的最简公分母是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，，最简公分母为． 故答案为：． 15. 现有四张分别标有数字、1、2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a．放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点在第一象限内的概率为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．正确列表或画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及点在第一象限的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中点在第一象限有4种结果． 所点在第一象限内的概率为． 故答案为：． 16. 如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为_____ 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交轴于点，平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，进而得到，推出四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长，勾股定理求出的长，即可得出点的坐标． 【详解】解：连接，设交轴于点，交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定和性质，勾股定理，等积法求出菱形的高，解题的关键是得到四边形为菱形． 17. 如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 设，则，根据勾股定理求出x的值，利用翻折的性质和勾股定理进行列式，代入数值计算计算，可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知：， ， ， ，， ，， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，则四边形的面积是___________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形的性质是解题的关键．过点D作交延长线于点M，过点F作点N，由正方形的性质可证得可得，可证得，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，从而可得，进而求得,最后求面积即可解答． 【详解】解：过点D作交延长线于点M，过点F作点N，如图所示： ∵直角三角形，四边形为正方形，过点C作的垂线，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形的面积为：． 故答案为：80． 三．解答题 （共10题，共96分） 19. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 20. 为庆祝国庆，某校组织八年级学生进行“方阵表演”．为了整齐划一，需了解学生的身高，现随机抽取该校八年级部分学生进行调查，根据所得数据绘制出如下统计图表： 组别 身高 A B C D E 根据图表提供的信息， 回答下列问题： （1）这次抽样调查，一共抽取学生 人，请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 ； （3）已知该校八年级共有学生2000人，请估计身高在的学生约有多少人？ 【答案】（1）40，见详解 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了补全频数分布直方图，扇形统计图的圆心角，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用组别的人数除以组别的百分数得出总人数，再运用总人数分别减去其他组别的人数得出组别的人数，最后补全频数分布直方图，即可作答． （2）运用组别的人数除以总人数，再乘上，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人） 则（人） 补全频数分布直方图，如下图所示： 【小问2详解】 解：依题意，， 即扇形E的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：依题意，（人） ∴该校八年级共有学生2000人，估计身高在的学生约有人． 21. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． （1）摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是白球的概率是多少？ （2）为了使摸出白球的概率是，再放进去7个球，那么这7个球中红球和白球的数量分别应是多少？ 【答案】（1）摸出的球是红球的概率是，摸出的球是白球的概率是 （2）这7个球中红球和白球的数量分别应是个，个． 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，已知概率求数量，正确掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）先设放进的7个球中红球数量为个，则白球数量为个，结合概率公式以及摸出白球的概率是，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，，； ∴摸出的球是红球的概率是，摸出的球是白球的概率是； 【小问2详解】 解：设放进的7个球中红球数量为个，则白球数量为个， 依题意，， 则， 解得， ∴（个）； ∴这7个球中红球和白球的数量分别应是个，个． 22. 如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点F，交于点G，．求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， 平分平分 ， 即， 23. 如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点． （1）若绕点逆时针旋转可得到，则旋转角至少为______； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）若（2）中的与成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转变换和中心对称；（1）根据旋转中心的定义求角度即可；（2）根据旋转画图即可；（3）根据中点公式即可． 【小问1详解】 是绕点旋转所得． 点对应点 旋转角度至少为 【小问2详解】 将绕一个定点顺时针旋转得到的图形如图所示． 【小问3详解】 和中心对称 点对应点 对称中心的坐标为：． 24. 如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． （1）求证：和互相平分； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值可得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． 【小问2详解】 解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的面积为． 25. 如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）当C为中点，时，四边形是什么图形？请证明； （2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】（1）菱形，证明见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，平行四边形的性质，菱形的判定和矩形的判定，熟练相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，斜边上的中线，得到，即可得出结论； （2）当时，根据平行四边形的性质，结合，推出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，证明如下： ∵平行四边形， ∴， ∵连接并延长交的延长线于点F， ∴， ∵C为中点，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 当时，四边形是矩形，理由如下： 由（1）可知：四边形是平行四边形， ∵为的中点， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形． 26. 如图,在正方形ABCD中,点E､F､G分别在CD､AD､BC上,且,垂足为O． （1）求证:; （2）若O是BE的中点,且,,求AF的长． 【答案】（1）见解析;（2） 【解析】 【分析】（1）作交BE于N,BC于M,可证,从而得到,又有,可得四边形AMGF为平行四边形,即可证出结论． （2）连接BF､EF,则可得,在和中,利用勾股定理可得到,,然后设,可列出关于的方程,解出方程即可. 【详解】（1）证明:作交BE于N,BC于M． ∵在正方形ABCD中, ∴,,． ∵,∴． ∵,∴．∴ ∵．∴．∴． ∵在和中 ∴．∴． ∵,∴． ∵, ∴四边形AMGF为平行四边形． ∴． ∵,∴． （2）如图,连接BF､EF, ∵,O是BE的中点,∴． ∵在正方形ABCD中,∴． ∵∴． 设,则, 在中,由勾股定理得:． 在中,由勾股定理得:． ∵,∴． 即,解得:．∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质,三角形全等的判定和性质,平行四边形的性质和勾股定理的应用,解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形,直角三角形． 27. 已知：正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交从（或它们的延长线）于点M、N．当绕点A旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点A旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 （2）当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？猜想并加以证明； （3）如图4，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，E，F是底边上任意两点，且满足，试探究之间的关系． 【答案】（1），理由见解析 （2）．理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）如图2，把绕点A顺时针旋转得到易证可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）先证明得再证明可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）先说明；如图，以点D为旋转中心，将顺时针旋转得，则可得，然后证明可得，然后证明，最后运用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图2，把绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴点E，点B，点C三点共线， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：．理由如下： 如图：在线段上截取， 在与中， ， ∴， ∴，， 如图：连接，则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形，， ∴， 如图，以点D为旋转中心，将顺时针旋转得，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 28. 如图，在矩形中，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A，B，D的对应点分别是点E，F，G． （1）如图①，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； （2）如图②，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接交于点H，连接，直接写出，的值． 【答案】（1）1 （2） （3）50 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． （1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）如图②：过点C作于点H，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，然后再根据三角形面积公式求解即可； （3）如图：连接，，易得；由旋转的性质以及等腰三角形的性质可得，再根据矩形的性质以及三角形内角和定理可得，然后利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图①∵四边形是矩形， ， ∴， 由矩形旋转可知：， ． 【小问2详解】 解：如图②，过点C作于点H， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ∴， ， ， ∴， ． ， ． 【小问3详解】 解：的值为50， 如图③，连接，易得 由矩形旋转可知：，，， ，， ， ∵四边形是矩形， ， ∵，， ，即 ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，即的值为50． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$