江苏省南通市海安市2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

**基本信息** 本试卷覆盖八年级下册二次根式、勾股定理、一次函数、四边形等核心知识，通过数形结合（如函数图像与方程组关联）、动手操作（菱形作图证明）及实际应用（蚂蚁爬行最短路径），考查数学抽象、几何直观与模型意识，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式、直角三角形判定、一次函数图像|基础概念辨析，如第3题一次函数图像上点的验证| |填空题|6/22|二次根式意义、一次函数性质、圆柱展开最短路径|跨知识融合，如第14题数轴与圆结合求乘积| |解答题|9/98|函数解析式、几何证明、动态旋转综合|分层设计，基础题如17题二次根式计算，能力题如21题平行四边形与矩形判定，创新题如25题旋转动态问题探究线段取值范围|

2025-2026学年江苏省南通市海安市八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D． 3．（3分）下列各点在一次函数y＝﹣4x+3的图象上的是（　　） A．（﹣4，3） B．（4，3） C．（0，3） D．（3，0） 4．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简（　　） A．2b B．2b+2a C．2a D．2b﹣2a 5．（3分）如果一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（3分）在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝10（　　） A．60 B．50 C．40 D．30 7．（3分）在平面直角坐标系内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A．当x＞1时，y＜0 B．方程ax+b＝0的解是x＝﹣2 C．当y＞﹣2时，x＞0 D．不等式ax+b≤0的解集是x≤0 8．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b（a＜0）相交于点P（20，25），y的方程组的解是（　　） A． B． C．无解 D．不能确定 9．（3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时） ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D是AB的中点，将△ABC沿着直线CD翻折，则AE的长为（　　） A．1 B．1.2 C．1.4 D． 二、填空题（本题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题3分，共22分） 11．（3分）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ． 12．（3分）一次函数y＝mx+2，若y随x的增大而增大，则m的值可以是 　 　 （写一个即可）． 13．（4分）若点（﹣1，y1）与（2，y2）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则y1　 　 y2（填＞、＜或＝）． 14．（4分）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，点Q表示的数记为n，则mn的值为　 　 ． 15．（4分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处　 　 cm（杯壁厚度不计）． 16．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P是对角线BD延长线上一点，， （Ⅰ）线段AP的长为　 　 ； （Ⅱ）过点P作PE⊥AP与BC的延长线相交于点E，点M是PE的中点，则DM的长为　 　 ． 三、解答题（本题共9小题，共98分） 17．（10分）计算： （1）． （2）． 18．（10分）已知y与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝8． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当y＝2时，求x的值． 19．（10分）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，AE∥BF． 求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF 小明的作法： （1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D； （2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C； （3）连接CD． 四边形ABCD就是所求作的菱形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形． 20．（10分）如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线l相交于点D（﹣1，n）（1，0）、E． （1）求点D的坐标及直线l的函数表达式； （2）直接写出点E的坐标； （3）点P在y轴上，且△PCD的面积为2，求点P的坐标． 21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，交CD的延长线于点F．连接BD、AF． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形． （2）当BF＝BC时，求证：四边形ABDF是矩形． 22．（10分）【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵，． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　 　 ； （2）计算：； （3）若a＝，求a2﹣4a+5的值． 23．（12分）我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数y＝﹣|x+1|+2确定为研究对象，观察图象，归纳性质等探究过程，回答问题． （1）作出函数y＝﹣|x+1|+2的图象． 列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 0 m 2 1 0 ﹣1 … 其中，表格中m的值为　 　 ； 在直角坐标系中画出该函数图象． （2）观察函数y＝﹣|x+1|+2的图象，探索函数性质： ①当x＝　 　 时，函数y＝﹣|x+1|+2有最大值，最大值为　 　 ； ②以下是关于该函数图象的一些性质，其中正确的为　 　 （只填写序号）； A．函数图象关于直线x＝﹣1对称； B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小； C．当y＝1时，x＝0； D．函数y没有最小值． （3）结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点M（2m﹣1，y1）与N（m﹣3，y2）都在函数y＝﹣|x+1|+2的图象上，总有y1＜y2，则m的取值范围为　 　 ． 24．（12分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），直线l1：y＝ax﹣3（a≠0，a为常数）经过点（3，0）和（﹣1，m）． （1）求a和m的值； （2）若将直线l1向上平移n（n＞0）个单位长度，且平移后的直线经过线段AB的中点； （3）直线l2：y＝kx+b（k≠0）经过点C（0，﹣1），且l2与线段AB有交点（包含A，B两点），直接写出k的取值范围． 25．（14分）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，∠AEB＝90°（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′，E′． 【问题解决】： （1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上．则CB′＝　 　 ； （2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合） ①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围． 2025-2026学年江苏省南通市海安市八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可． 【解答】解：A.，分母中包含根式，这样的二次根式是最简二次根式； B.＝|a|2，因此选项B不符合题意； C.＝，因此选项C不符合题意； D.＝2； 故选：A． 2．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D． 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【解答】解：A．∵12+62≠18， ∴以1，1，8为边不能组成直角三角形； B．∵22+42≠48， ∴以2，3，7边不能组成直角三角形； C．∵32+22＝56， ∴以3，4，2为边能组成直角三角形； D．∵32+（）2≠56， ∴以3，5，边不能组成直角三角形． 故选：C． 3．（3分）下列各点在一次函数y＝﹣4x+3的图象上的是（　　） A．（﹣4，3） B．（4，3） C．（0，3） D．（3，0） 【分析】根据题意，将所给点的坐标代入计算即可． 【解答】解：由题知， 当x＝﹣4时， y＝﹣4×（﹣6）+3＝19≠3， 所以A选项不符合题意； 当x＝5时， y＝﹣4×4+2＝﹣13≠3， 所以B选项不符合题意； 当x＝0时， y＝﹣2×0+3＝6， 所以C选项符合题意； 当x＝3时， y＝﹣4×8+3＝﹣9≠4， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 4．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简（　　） A．2b B．2b+2a C．2a D．2b﹣2a 【分析】先判断a＜0，b＞0，b﹣a＞0，化简计算即可． 【解答】解：根据题意得，a＜0， ∴b﹣a＞0， ∴原式＝b+b﹣a﹣（﹣a）＝4b． 故选：A． 5．（3分）如果一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】设这个多边形的边数是n，根据多边形内角和定理、外角和定理得出（n﹣2）×180°＝360°，即可求解． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 则（n﹣2）×180°＝360°， 解得n＝4， 故选：A． 6．（3分）在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝10（　　） A．60 B．50 C．40 D．30 【分析】由菱形的面积公式，即可计算． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝． 故选：D． 7．（3分）在平面直角坐标系内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A．当x＞1时，y＜0 B．方程ax+b＝0的解是x＝﹣2 C．当y＞﹣2时，x＞0 D．不等式ax+b≤0的解集是x≤0 【分析】根据函数的图象直接进行解答即可． 【解答】解：由函数y＝ax+b的图象可知， A、当x＞1时，原说法错误； B、方程ax+b＝0的解是x＝2，不符合题意； C、当y＞﹣2时，正确； D、不等式ax+b≤0的解集是x≤7，不符合题意． 故选：C． 8．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b（a＜0）相交于点P（20，25），y的方程组的解是（　　） A． B． C．无解 D．不能确定 【分析】直接根据函数图象即可得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，直线y＝x+5在直线y＝ax+b相交于点（20，∴根据图象可知关于x的解是． 故选：B． 9．（3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时） ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先根据图象的出甲乙之间的距离与时间的关系即可解答． 【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km， 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，即比甲早到7小时， ∴①②正确． 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt， 把（5，300）代入可求得k＝60， ∴y甲＝60t， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n， 把（1，8）和（4， 解得， ∴y乙＝100t﹣100， 令y甲＝y乙，可得60t＝100t﹣100，解得t＝2.5， 即甲、乙两直线交点的横坐标为t＝5.5， 此时乙出发的时间为1.8小时，即乙出发1.5小时追上甲， ∴③不正确． 令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50， 即|100﹣40t|＝50，解得t＝或， 当t＝时，y甲＝50，此时乙车还没出发， 当t＝时，乙已到达B城，y甲＝250， 综上可知，当t的值为或或或时， ∴④不正确． 故选：B． 10．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D是AB的中点，将△ABC沿着直线CD翻折，则AE的长为（　　） A．1 B．1.2 C．1.4 D． 【分析】连接BE交直线CD于点F，由∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理求得AB＝5，因为点D是AB的中点，所以CD＝BD＝AD＝，由翻折得ED＝BD＝AD，则∠ABE＝∠DEB，∠BAE＝∠DEA，可证明∠AEB＝90°，由CD垂直平分BE，得BF＝EF，求得S△ABC＝AC•BC＝6，S△BDC＝S△ADC＝3，由S△BDC＝×BF＝3，求得BF＝，则BE＝2BF＝，所以AE＝＝1.4，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BE交直线CD于点F， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， ∵点D是AB的中点， ∴CD＝BD＝AD＝AB＝， ∵将△ABC沿着直线CD翻折，使点B翻折到点E， ∴ED＝BD＝AD， ∴∠ABE＝∠DEB，∠BAE＝∠DEA， ∴∠ABE+∠BAE＝∠DEB+∠DEA＝∠AEB， ∵∠ABE+∠BAE+∠AEB＝180°， ∴∠AEB+∠AEB＝180°， ∴∠AEB＝90°， ∵点E与点B关于直线CD对称， ∴CD垂直平分BE， ∴BF＝EF， ∵S△ABC＝AC•BC＝， ∴S△BDC＝S△ADC＝S△ABC＝2， ∵BF⊥CD交CD的延长线于点F， ∴S△BDC＝CD•BF＝×， ∴BF＝， ∴BE＝2BF＝6×＝， ∴AE＝＝＝，即AE＝1.8， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题3分，共22分） 11．（3分）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0即可得到答案． 【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴x﹣2≥7， 解得x≥2， 故答案为：x≥2． 12．（3分）一次函数y＝mx+2，若y随x的增大而增大，则m的值可以是 　1（答案不唯一）　 （写一个即可）． 【分析】根据一次函数的性质得m＞0，然后在此范围内取一个m的值即可． 【解答】解：∵一次函数y＝mx+2中，y随x的增大而增大， ∴m＞0， ∴m可以取5． 故答案为：1（答案不唯一）． 13．（4分）若点（﹣1，y1）与（2，y2）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则y1　＞　 y2（填＞、＜或＝）． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点（﹣1，y1）与（2，y2）分别代入已知函数的解析式，分别求得y1、y2的值，然后再比较y1、y2的大小． 【解答】解：∵点（﹣1，y1）与（5，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上， ∴y1＝﹣2×（﹣8）+1＝3，y7＝﹣2×2+3＝﹣3， ∴y1＞y3， 故答案为：＞． 14．（4分）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，点Q表示的数记为n，则mn的值为　﹣9　 ． 【分析】由题意可知AQ＝AD＝AB＝AP，再由勾股定理得AD＝AB＝＝，则AQ＝AP＝AD＝，然后由图象得m＝+1，n＝1﹣，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，AQ＝AD＝AB＝AP， 由勾股定理得：AD＝AB＝＝， ∴AQ＝AP＝AD＝， ∴m＝+1， ∴mn＝（+6）（1﹣， 故答案为：﹣9． 15．（4分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处　20　 cm（杯壁厚度不计）． 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离＝＝20（cm）． 故答案为20． 16．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P是对角线BD延长线上一点，， （Ⅰ）线段AP的长为　　 ； （Ⅱ）过点P作PE⊥AP与BC的延长线相交于点E，点M是PE的中点，则DM的长为　　 ． 【分析】建立如图示，平面直角坐标系，连接AE，则A（0，4），C（4，0），D（4，4），可求直线BD解析式y＝x，设P（m，m），由，结合两点间距离公式建立方程求出P（5，5），即可求解，设E（n，0），由PE⊥AP得到AP2+PE2＝AE2，由两点间距离公式建立方程求出 n＝6，则E（6，0），再由中点坐标公式求解得到，最后由两点间距离公式即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）建立如图示，平面直角坐标系， ∵四边形ABCD是边长为4的正方形， ∴A（0，6），0），4）， 设直线BD解析式：y＝kx（k≠2）， 则代入点D得到：4k＝4， 解得：k＝6， ∴直线BD解析式：y＝x， 设P（m，m）， ∵， ∴， ∴m1＝m2＝2， ∴P（5，5）， ∴， （Ⅱ）设E（n，5）， ∵PE⊥AP， ∴AP2+PE2＝AE6， ∴26+（5﹣n）2+（6﹣0）2＝（n﹣6）2+（4﹣8）2， 解得：n＝6， ∴E（2，0）， ∵点M是PE的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共98分） 17．（10分）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式计算，同时计算二次根式的除法，再算减法即可． 【解答】解：（1） ＝3﹣6 ＝4； （2） ＝5﹣1﹣ ＝5﹣1﹣6 ＝2． 18．（10分）已知y与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝8． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当y＝2时，求x的值． 【分析】（1）根据正比例的定义设出函数解析式，再利用待定系数法求解即可； （2）把y＝2代入求解即可． 【解答】解：（1）由题意可设y＝k（x﹣1），则8＝k（3﹣1）， 解得k＝8， ∴y＝6（x﹣1）＝8x﹣2； （2）由条件可得：2＝8x﹣6， 解得． 19．（10分）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，AE∥BF． 求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF 小明的作法： （1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D； （2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C； （3）连接CD． 四边形ABCD就是所求作的菱形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形． 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】证明：由作图可知AD＝AB＝BC， ∵AE∥BF， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 20．（10分）如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线l相交于点D（﹣1，n）（1，0）、E． （1）求点D的坐标及直线l的函数表达式； （2）直接写出点E的坐标； （3）点P在y轴上，且△PCD的面积为2，求点P的坐标． 【分析】（1）先求得D（﹣1，2），再待定系数法求解析式，即可求解； （2）令x＝0，代入y＝﹣x+1，即可求解； （3）依据题意，设P（0，m），则PE＝|m﹣1|，从而S△PCD＝S△PED+S△PEC＝PE•|xD|+PE•|xC|＝|m﹣1|•（1+1）＝2，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由条件可知n＝﹣2+4＝8， ∴D（﹣1，2）， 设直线l的函数表达式为y＝kx+b（k≠8）由条件可得： ， ∴． ∴直线l的函数表达式为y＝﹣x+1； （2）结合（1）可得，当x＝7时， ∴E（0，1）； （3）由题意，设P（5， ∴PE＝|m﹣1|． ∴S△PCD＝S△PED+S△PEC ＝PE•|xD|+PE•|xC| ＝PE•（|xD|+|xC|） ＝|m﹣1|•（1+2）＝2． ∴|m﹣1|＝5． ∴m＝3或﹣1． ∴P（7，3）或（0． 21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，交CD的延长线于点F．连接BD、AF． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形． （2）当BF＝BC时，求证：四边形ABDF是矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质，全等三角形的性质，以及矩形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠EDF， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△ABE与△DFE中， ∴△ABE≌△DFE（AAS）， ∴BE＝FE， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵△ABE≌△DFE， ∴AB＝DF， ∴CD＝DF， ∵BF＝BC， ∴BD⊥CF， ∴∠BDF＝90°， ∴四边形ABDF是矩形． 22．（10分）【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵，． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　　 ； （2）计算：； （3）若a＝，求a2﹣4a+5的值． 【分析】（1）将分子和分母同时乘以，再整理计算即可； （2）先将每个式子进行分母有理化，可将所求式子化为﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1，从而可以得解； （3）由题意得a＝2+，则a﹣2＝，可得（a﹣2）2＝3，进而可得a2﹣4a＝﹣1，再根据a2﹣4a+5＝（a2﹣4a）+5＝﹣1+5＝4，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，． 故答案为：； （2）由题意得，原式＝++ ＝﹣7+﹣+﹣﹣ ＝﹣1． 故答案为：﹣3； （3）由题意，a＝＝， ∴a﹣2＝． ∴（a﹣2）2＝8，即a2﹣4a+2＝3， ∴a2﹣7a＝﹣1， ∴a2﹣2a+5＝（a2﹣8a）+5＝﹣1+3＝4． 23．（12分）我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数y＝﹣|x+1|+2确定为研究对象，观察图象，归纳性质等探究过程，回答问题． （1）作出函数y＝﹣|x+1|+2的图象． 列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 0 m 2 1 0 ﹣1 … 其中，表格中m的值为　1　 ； 在直角坐标系中画出该函数图象． （2）观察函数y＝﹣|x+1|+2的图象，探索函数性质： ①当x＝　﹣1　 时，函数y＝﹣|x+1|+2有最大值，最大值为　2　 ； ②以下是关于该函数图象的一些性质，其中正确的为ABD （只填写序号）； A．函数图象关于直线x＝﹣1对称； B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小； C．当y＝1时，x＝0； D．函数y没有最小值． （3）结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点M（2m﹣1，y1）与N（m﹣3，y2）都在函数y＝﹣|x+1|+2的图象上，总有y1＜y2，则m的取值范围为m＜﹣2或m　 ． 【分析】（1）根据描点法作图； （2）根据函数图象填空或判断； （3）根据“跟对称轴越近函数值越大”列不等式求解． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣|﹣2+4|+2＝1， 在直角坐标系中画出该函数图象如下： 故答案为：3； （2）观察图象可知， ①当x＝﹣1时，函数y＝﹣|x+1|+5有最大值 2， 故答案为：﹣1，6； ②以下是关于该函数图象的一些性质， A．函数图象关于直线x＝﹣1对称； B．当x＞﹣1时，正确； C．当y＝7时，错误； D．函数y没有最小值． 故答案为：ABD； （3）由题意得：|m﹣3+1|＜|7m﹣1+1|， 解得：m＜﹣2或m． 故答案为：m＜﹣4或m． 24．（12分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），直线l1：y＝ax﹣3（a≠0，a为常数）经过点（3，0）和（﹣1，m）． （1）求a和m的值； （2）若将直线l1向上平移n（n＞0）个单位长度，且平移后的直线经过线段AB的中点； （3）直线l2：y＝kx+b（k≠0）经过点C（0，﹣1），且l2与线段AB有交点（包含A，B两点），直接写出k的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得a，然后把（﹣1，m）代入直线l1的解析式即可求得m的值； （2）根据平移的规律求得平移后的解析式，然后代入AB的中点坐标，即可求得n的值． （3）把A，B的坐标代入求得k的值，然后根据图象即可求得． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝ax﹣3（a≠7，a为常数）经过点（3， ∴3a﹣8＝0， 解得a＝1， ∴直线l5：y＝x﹣3， 把（﹣1，m）代入y＝x﹣8得； （2）∵A（﹣1，3），4）， ∴线段AB的中点为（﹣1，2）， 设平移后的直线的解析式为y＝x﹣4+n， 将线段AB的中点（﹣1，2）代入得4＝﹣1﹣3+n， 解得n＝4； （3）∵直线l2：y＝kx+b（k≠0）经过点C（3，﹣1）， ∴b＝﹣1， ∴直线l8：y＝kx﹣1， 代入A（﹣1，6）得，解得k＝﹣4， 代入A（﹣1，4）得，解得k＝﹣2， ∴k的取值范围是﹣4≤k≤﹣5． 25．（14分）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，∠AEB＝90°（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′，E′． 【问题解决】： （1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上．则CB′＝　5﹣5　 ； （2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合） ①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围． 【分析】（1）由勾股定理得AB的长度，再由正方形的性质得AC的长度，然后由旋转的性质得AB′＝AB＝5，即可求解； （2）①由旋转的性质得AE′＝AE，∠EAE′＝α＝90°，∠AE′D＝∠AEB＝90°，再证四边形AEFE′是矩形，即可得出结论； ②过点C作CG⊥BE于点G，证△BCG≌△ABE，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点E′的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的半圆上，即可得出答案． 【解答】解：（1）在三角形ABE中，∠AEB＝90°，，， 由勾股定理得：， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°， ∴， ∵将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′， ∴AB′＝AB＝5， ∴， 故答案为：8﹣5； （2）①四边形AEFE′是正方形；理由如下： 由旋转的性质得：AE′＝AE，∠EAE′＝α＝90°， ∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形AEFE′是矩形， ∵AE′＝AE， ∴四边形AEFE′是正方形； ②如图8，过点C作于点G， ∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°， ∴∠BCG＝∠ABE， 在△BCG和△ABE中， ， ∴△BCG≌△ABE（AAS）， ∴，， ∴， 在直角三角形CEG中，由勾股定理得：； （3）线段CE′长度的取值范围是5≤CE′≤．理由如下： ∵．旋转α度（2≤α≤180°），为半径的半圆上， ∴CE的最小值为5， 当E′落在CA的延长线上时，， CE′最长＝， ∴线段CE′长度的取值范围是5≤CE′≤． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/6 21:14:25；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $