期末模拟卷2025-2026学年七年级数学下学期北师大版

**基本信息** 立足北师大版七年级下册全册内容，以中国散裂中子源、古代时辰等真实情境为载体，通过基础题（如轴对称识别）、能力题（如注水深度函数图像）、创新题（如折叠角度探究）三级梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|轴对称、科学记数法、等腰三角形等|第2题科技情境渗透数感，第5题文化传承考查概率计算| |填空题|6/18|三角形面积、角平分线性质等|第16题折叠问题发展空间观念，第15题平行线角转化体现推理能力| |解答题|9/72|整式运算、几何证明、综合探究等|23题“等面积法”验证平方差公式培养创新意识，25题综合探究强化模型观念与应用意识|

2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 考试时间：120分钟试卷满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3. 测试范围：新教材北师大版七年级下册全部 一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：是轴对称图形，符合题意； 对于选项B：不是轴对称图形，不符合题意； 对于选项C：不是轴对称图形，不符合题意； 对于选项D：不是轴对称图形，不符合题意． 2．目前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将0.0000000000000016用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：将0.0000000000000016用科学记数法表示为 故选：C 3．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 4．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系，分情况讨论边长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而得到正确周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形腰长为时，三边长为，，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，此种情况舍去； ②当等腰三角形腰长为时，三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为， 综上，该等腰三角形的周长为． 5．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段（包含左边界值，不包含右边界值）叫一个时辰．某天文网站报道在某日到次日会出现流星雨，则流星雨出现在丑时的概率为（     ） 古时 戌时 亥时 子时 丑时 寅时 今时 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用丑时在流星雨时段内的时长除以流星雨的总时长，得到所求概率． 【详解】解：首先计算流星雨的总时长： ∵流星雨的时段为当日到次日， ∴总时长为小时； 由表格可知，丑时对应的时段为次日，全部属于流星雨的观测时段， ∴丑时的时长为小时； 因此流星雨出现在丑时的概率． 6．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容， 则回答正确的是（    ） A．“”表示邻补角的定义 B．“”表示同角的余角相等 C．“”表示同旁内角互补 D．“”表示等角的补角相等 【答案】A 【分析】根据邻补角的定义，即可求解. 【详解】 解：由题意可知：“”表示邻补角的定义， 故选A. 【点睛】本题主要考查邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是关键. 7．下列运算正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂乘法法则、完全平方公式逐一判断选项即可得到结果． 【详解】对选项A，， A错误； 对选项B， 幂的乘方底数不变指数相乘，， B错误； 对选项C， 同底数幂相乘底数不变指数相加，， C正确； 对选项D， 根据完全平方公式，， D错误． 8．如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．不妨设，，，根据全等，可得，那么的周长为：，的周长为：，然后根据周长差求得，从而得出答案． 【详解】解：， 设，，， ， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 故选：C． 9．如图1，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（ ） A．图形①与图形②的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和 C．图形①与图形②的周长差 D．图形④与图形⑥的周长差 【答案】D 【分析】根据题意设长方形的长为x，宽为y，正方形的边长为a，先用字母表示出图形②、⑤的面积，根据题意得到为已知，再用字母分别表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项． 【详解】设长方形纸片的长为x，宽为y，正方形的边长为a， 图形②的面积， 图形⑤的面积， ， 图形①的周长， 图形②的周长， ∴图形①与图形②的周长和为，故A选项不符合题意； 图形④的周长， 图形⑥的周长， ，故B选项不符合题意； 图形①与图形②的周长差为,故C选项不符合题意； 图形④与图形⑥的周长差为， 根据题意为已知，即为已知，故D选项符合题意， 综上所述，一定能求出的是D． 10．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为，表示出、、的长，根据，分和两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时， ，， ∴，， 解得， ∴； ②当时， ∴，， ∴，， 解得， ∴； 综上所述，点的运动速度为或． 故选B． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．不透明袋子中装有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出白球的概率为______． 【答案】 【分析】先求出所有可能的结果总数，再求出摸出白球的结果数，代入公式计算即可． 【详解】解：袋子中球的总个数为， 其中白球的个数为， 故随机摸出一个球，摸出白球的概率． 12．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为____． 【答案】/130度 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 13．如图，在直角三角形中，，，，是线段上的一个动点，当点从点向点运动时，运动到点停止，设，的面积为，则与之间的关系式为____． 【答案】 【分析】本题考查了用关系式表示两个变量的关系，三角形的面积，正确求出的长是解题的关键．过点作于点，根据直角三角形的面积公式求出的长，再根据的面积公式计算即可． 【详解】解：，，，， ， 过点作于点， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 14．如图，点在一水池的两侧，相交于点E．若，则水池宽______． 【答案】8 【分析】证明，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 15．如图，直线，点E，F在上，点M，N在上，已知平分平分，记的度数分别为，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，垂线定义理解，根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，，利用平行线的性质得到，，再利用即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 16．如图，将长方形纸片沿折叠，使得点，分别落在，的位置，再沿折叠，使得点，分别落在，的位置，已知，，，若，则___________°（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据翻折的性质以及平行线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，然后列出方程求解． 【详解】解：由翻折的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且由翻折可得， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分;第21，22，23题，每题8分;第24，25题每题12分;共9 小题，共72分） 17．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．先化简再求值：已知，化简代数式后求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先根据完全平方公式和平方差公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，接着根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式 19．如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上． (1)与关于直线l对称，请画出； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是作出对称点的位置． （1）先作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，然后再顺次连接即可； （2）根据梯形面积公式求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 20．如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 21．一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 【答案】(1)7.6；10 (2) (3) 【分析】（1）根据每增加一个碗增加的高度相同求解即可； （2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； （3）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知，1个碗高，2个碗高， ∴每增加1个碗，高度增加． ∴3个碗的高度为，5个碗的高度为． （2）解：由题意得：， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （3）解：当时，， 这些碗的高度为． 22．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球1个、白球3个、黑球2个，将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出1个小球．现有两种游戏规则： ①摸出白球则甲胜，摸出非白球则乙胜； ②摸出黑球则甲胜，摸出白球则乙胜，摸出红球（不放回）重新摸球． 为使游戏对甲、乙双方公平，应选择哪种游戏规则？并说明公平的理由． 【答案】解：应选择规则①，理由如下： ∵一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球1个、白球3个、黑球2个， ∴①甲胜的概率为：，乙胜的概率为：， ， ∴游戏公平； ②摸出红球重新摸球，则可看作一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球，其中白球3个、黑球2个， 甲胜的概率为：，乙胜的概率为：， ， ∴游戏不公平； ∴为使游戏对甲、乙双方公平，应选择规则①． 【分析】分别计算两种游戏规则甲、乙双方胜利的概率，进而计算即可． 【详解】略 23．综合探究：数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果． (4)【迁移应用】计算． 【答案】(1)①②③ (2)4 (3)图和证明见解析， (4) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）根据四个图形中，阴影部分的面积的计算方法即可得； （2）将原式变形为，利用平方差公式计算即可得； （3）画出一个边长为大正方形，根据大正方形的面积的两种计算方法即可得； （4）利用（3）的结果进行计算即可得． 【详解】（1）解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为，且这条边上的高等于的平行四边形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于，下底等于，高等于的直角梯形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，不可以验证平方差公式； 故答案为：①②③． （2）解：原式 ． （3）解：由题意画出图形如下： 由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 则． ∵， ∴，，， ∴， ∴． （4）解：将看作，看作，看作， 则 ． 24．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， ∴____， ____． 又∵， ∴． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数． 【答案】（1），；（2），见解析；（3） 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． （1）过点A作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）过点C作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论； （3）过点E作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数． 【详解】 解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴． 25．综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 试卷第10页，共22页 试卷第11页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 考试时间：120分钟试卷满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3. 测试范围：新教材北师大版七年级下册全部 一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．目前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将0.0000000000000016用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（     ） A． B．或 C． D．或 5．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段（包含左边界值，不包含右边界值）叫一个时辰．某天文网站报道在某日到次日会出现流星雨，则流星雨出现在丑时的概率为（     ） 古时 戌时 亥时 子时 丑时 寅时 今时 A． B． C． D． 6．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容， 则回答正确的是（    ） A．“”表示邻补角的定义 B．“”表示同角的余角相等 C．“”表示同旁内角互补 D．“”表示等角的补角相等 7．下列运算正确的是（     ）． A． B． C． D． 8．如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 9．如图1，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（ ） A．图形①与图形②的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和 C．图形①与图形②的周长差 D．图形④与图形⑥的周长差 10．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．不透明袋子中装有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出白球的概率为______． 12．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为____． 13．如图，在直角三角形中，，，，是线段上的一个动点，当点从点向点运动时，运动到点停止，设，的面积为，则与之间的关系式为____． 14．如图，点在一水池的两侧，相交于点E．若，则水池宽______． 15．如图，直线，点E，F在上，点M，N在上，已知平分平分，记的度数分别为，则的值为_________． 16．如图，将长方形纸片沿折叠，使得点，分别落在，的位置，再沿折叠，使得点，分别落在，的位置，已知，，，若，则___________°（用含的代数式表示）． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分;第21，22，23题，每题8分;第24，25题每题12分;共9 小题，共72分） 17．计算 (1)； (2)． 18．先化简再求值：已知，化简代数式后求值． 19．如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上． (1)与关于直线l对称，请画出； (2)连接，，求四边形的面积． 20．如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 21．一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 22．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球1个、白球3个、黑球2个，将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出1个小球．现有两种游戏规则： ①摸出白球则甲胜，摸出非白球则乙胜； ②摸出黑球则甲胜，摸出白球则乙胜，摸出红球（不放回）重新摸球． 为使游戏对甲、乙双方公平，应选择哪种游戏规则？并说明公平的理由． 23．综合探究：数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果． (4)【迁移应用】计算． 24．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， ∴____， ____． 又∵， ∴． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数． 25．综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 试卷第4页，共7页 试卷第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $